Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.1 Textbook Questions and Answers, Notes.
Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.1
கேள்வி 1.
கீழ்க்காண்பவைகளை பட்டியல் முறையில் எழுதுக.
(i) {x ∈ N : x2 < 121 மற்றும் x ஒரு பகா எண்ணாகும்.}
(ii) (x – 1) (x + 1) (x2 – 1) = 0 எனும் சமன்பாட்டின் மிகை மூலங்களின் கணம்.
(iii) {x ∈ N: 4x + 9 < 52}
(iv) {x:- = 3, x ∈ R – {-2}
தீர்வு:
(i) A = {x ∈ N, x2 < 121 மற்றும் x ஓர் பகா எண்} என்க.
A = { 2, 3, 5,7}.
(ii) B = {(x – 1), (x + 1), (x2 – 1) = 0 எனும் சமன்பாட்டின் மிகை மூலங்களின் கணம்} என்க.
⇒ x = 1, -1 : B = {1}.
(iii) C = {x ∈ N, 4x + 9 < 52} என்க.
⇒ C = {x ∈ N, 4x < 52 – 9}
⇒ C = {x ∈ N, 4x < 43}
⇒ C = {x ∈ N, x = 10.75}
⇒ c = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(iv)
⇒ D = {x: x – 4 = 3x + 6, x ∈ R}
⇒ D = {x: x – 4 – 6 = 3x – x, x ∈ R}
⇒ D = {x : – 10 = 2x, x ∈ R}
⇒ D = {x: x = -5, x ∈ R}
⇒ D = {-5}.
கேள்வி 2.
{-1, 1} எனும் கணத்தைக் கணக் கட்டமைப்பு : முறையில் எழுதுக.
தீர்வு:
P = {-1, 1} என்க
= P = {x ∈ R ∴ x என்பது x2 – 1 = 0 – ன் தீர்வு}.
கேள்வி 3.
கீழ்க்காண்பனவற்றுள் எவை முடிவுள்ள கணம், முடிவில்லாத கணம் என்பதனைக் குறிப்பிடுக.
(i) {x ∈ N: x என்பது ஒரு இரட்டைப் படை பகா எண்}.
(ii) {x ∈ N: x என்பது ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண்}.
(iii) {x ∈ Z: X என்பது பத்தை விடக் குறைந்த இரட்டைப் படை எண்}.
(iv) {x ∈ R: X என்பது ஒரு விகிதமுறு எண்}.
(v) {x ∈ N: X என்பது ஒரு விகிதமுறு எண்}.
தீர்வு:
A = {x ∈ N, X என்பது ஒரு இரட்டைப் படை பகா எண்} என்க,
⇒ A= {2} = A ஒரு முடிவுறு கணம்.
(ii) B = {x ∈ N, x என்பது ஒரு ஒற்றைப் படை பகா எண்} என்க.
⇒ B = {3, 5, 7, 11……} ஒரு முடிவுறா கணம்.
(iii) C = {x ∈ Z, X என்பது பத்தை விடக் குறைந்த இரட்டைப்படை எண்} என்க.
⇒ C = {- ∞ … -4. -2, 2, 4, 6, 8} முடிவுறா கணம்.
(iv) D = {x ∈ R, என்பது ஒரு விகித முறு எண்} என்க.
⇒ D = { விகித முறு எண்க ளின் கணம்} ஒரு முடிவுறா கணம்.
(v) E = {x ∈ N: X ஒரு விகித முறு எண்}
= E ஒரு முடிவுறா கணம்.
கேள்வி 4.
பின்வருவனவற்றை, தகுந்த A,B,C கணங்களைக்
கொண்டு சரிபார்க்கவும்.
(i) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
(ii) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(iii) (A × B) ∩ (B × A) = (A ∩ B) × (B ∩ A).
(iv) C – (B – A) = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B’).
(v) (B – A) ∩ C = (B ∩ C) – A = B ∩ (C – A).
(vi) (B – A) ∪ C = (B ∪ C) – (A – C).
தீர்வு:
(i). A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
A = { 1, 2, 3}
B = {4, 5, 6, 7},
C = {4, 3, 5,9} என்க..
L.H.S = A × (B ∩ C)
(B ∩ C) = {4, 5}
A × (B ∩ C) = {1, 2, 3} × {4, 5)
= {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} ……… (1)
R.H.S = (A × B) (A × C)
A × B = {1, 2, 3} × {4, 5, 6, 7}
= {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7)}
A × C = {1, 2, 3} × {4, 3, 5, 9}
= {(1, 4), (1, 3), (1, 5), (1, 9), (2, 4), (2, 3),(2, 5), (2, 9), (3, 4), (3, 3), (3, 5), (3, 9)}
(A × B) ∩ (A × C) = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5),
(3, 4), (3, 5)} …(2)
(1) = (2)
∴ L.H.S = R.H.S. நிரூபிக்கப்பட்டது.
(ii) L.H.S = A × (B ∪ C)
B ∪ C = {4, 5, 6, 7} ∪ {4, 3, 5, 9}
= {3, 4, 5, 6, 7, 9}
A × (B ∪ C) = {1, 2, 3} × {3, 4, 5, 6, 7, 9}
= {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 9), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3,6), (3, 7), (3,9)} …. (1)
R. H.S = (A × B) ∪ (A × C)
A × B = {1, 2, 3} × {4, 5, 6, 7}
= {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 4), , (3, 5), (3, 6), (3, 7)}
A × C = {1, 2, 3} × {4, 3, 5, 9}
= {(1, 4), (1, 3), (1, 5), (1, 9), (2, 4), (2, 3), (2, 5), (2, 9), (3, 4), (3, 3), (3, 5), (3, 9)}
(A × B) ∪ (A × C) = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 9), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 9), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 9)} …. (2)
(1) = (2)
∴ LHS = RHS நிரூபிக்கப்பட்டது.
(iii) (A × B) ∩ (B × A) = (A ∩ B) × (B ∩ A)
A × B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 4), (2, 5), (2,6), (2, 7), (3, 4), (3, 5), (3,6), (3, 7)}
B × A = {(4, 1), (4.2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3)}
L.H.S = (A × B) ∩ (B × A) = {} … (1)
A ∩ B = {}, B ∩ A = {}
∴ RHS = (A ∩ B) × (B ∩ A)= {} …(2)
(1) = (2).
∴ LHS = RHS நிரூபிக்கப்பட்டது.
iv. C – (B – A) = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B’)
L.H.S = C – (B – A)
B – A = {4, 5, 6, 7} – {1, 2, 3}
= {4, 5, 6, 7}
C – (B – A) = {3, 4, 5, 9} – {4, 5, 6, 7}
= {3, 9} ….. (1)
R.H.S = (C ∩ A) ∪ (C∩B’)
C ∩ A = {3, 4, 5, 9} ∩ {1, 2, 3} = {3}
C ∩ B’ = {3, 4, 5,9} ∩ {1, 2, 3, 8, 9}
= {3, 9}
R.H.S = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B’)
= {3, 9} … (2)
(1) = (2)
∴ LHS = RHS நிரூபிக்கப்பட்டது.
(v) (B – A) C = (B ∩ C) – A
= B ∩ (C – A)
B – A = {4, 5, 6, 7}
(B – A) ∩ C = {4, 5, 6, 7} ∩ {3, 4, 5,9}
= {4, 5} …. (1)
(B ∩ C) – A = {4, 5, 6, 7} ∩ {3, 4, 5, 9} – {1, 2, 3}
= {4, 5} – {1, 2, 3}
= {4, 5} ….. (2)
B ∩ (C – A) = {4, 5, 6, 7} ∩ [{3, 4, 5, 9} – {1, 2, 3}]
= {4, 5, 6, 7} ∩ {4, 5, 9}
= {4, 5} ….. (3)
(1) = (2) = (3) என நிரூபிக்கப்பட்டது.
(vi) (B – A∪ C = (B ∪ C) – (A – C)
L.H.S = (B – A) ∪ C
B – A = {4, 5, 6, 7}
(B – A) ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7,9} ….. (1)
RHS = (B ∪ C) – (A – C)
B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7,9}
A – C = {1, 2}
(B ∪ C) – (A – C) = {3, 4, 5, 6, 7,9} ….. (2)
(1) = (2)
∴ LHS = RHS.
கேள்வி 5.
“ஒரு கணத்திலுள்ள ஓர் உறுப்பு எப்பொழுதும் தன் கணத்திற்கே உட்கணமாக அமையாது” என்ற கூற்றின் உண்மைத்தன்மையை ஆராய்க்.
தீர்வு:
P = {a,b,c,d}
உட்க ணங்க ள் P(A) = {{a}, {b}, {c}, {d}}
ஒரு கணத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் ! அக்கணத்தின் உட்கணமாகும்.
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கூற்று தவறு.
கேள்வி 6.
n(P(A)) = 1024, n (A∪ B) = 15 மற்றும் n(P(B)) = 32 , எனில், n(A ∩ B) காண்க.
தீர்வு:
n(P(A)) = 1024 = 210
n(P(A)) = 2n(A)
∴ n(A)) = 10
n(P(B)) = 32 = 25
n(B)) = 5
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
15 = 10 + 5 – n(A ∩ B)
n(A∩ B) = 15 – 15 = 0.
கேள்வி 7.
n(A ∩ B) =3 மற்றும் n (A ∪ B) = 10 எனில், n(P(A ∆ B) காண்க.
தீர்வு:
A, B என்பன ஒன்றையொன்று வெட்டும் கணங்கள் எனில்
n(A ∪ B) = n(A – B) + n(B – A) + n(A ∩ B)
n(A – B) + n(B – A) = n(A ∪ B) – n(A ∩ B)
n(A ∆ B) = 10 – 3
∴ n(A ∆ B) = 7
n[p(A ∆ B)] = 27 = 128.
கேள்வி 8.
A × A என்ற கணத்தில் 16 உறுப்புகள் உள்ளன. மேலும் அதிலுள்ள இரு உறுப்புகள் (1,3) மற்றும் (0, 2) எனில் A-ன் உறுப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
A × A -ல் 16 உறுப்புகள் உள்ளது எனில் A ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 4 ஆகும். –
⇒ n(A) = 4
A × A -ல் உறுப்புகள் (1, 3), (0, 2) எனில்
A-ல் உள்ள உறுப்புகள் A = {0, 1, 2, 3} என இருக்கலாம்.
கேள்வி 9.
n(A) = 3 மற்றும் n(B) = 2 எனும் நிபந்தனைக்குட்பட்டு
அமைந்துள்ள இரு கணங்கள் A, B ஆகும். (x, 1), (y, 2), (z, 1) என்பவை A × B எனும் கணத்திலுள்ள சில உறுப்புகள் எனில், A, B கணங்களைக் காண்க. (இங்கு, x, y, z முற்றிலும் வேறுபட்ட உறுப்புகள்).
தீர்வு:
A × B = {(x, 1), (y, 2), (z, 1)} எனத் தரப்பட்டுள்ளது.
n(A) = 3, n(B) = 2 என்ப தால்
n(A × B) = 6
A × B = {{x, 1), (y, 2), (z, 1), (x, 2), (y, 1), (z, 2)}
⇒ A = {x, y, z}, B = {1, 2}.
கேள்வி 10.
A × A கணத்தில் 16 உறுப்புகள் உள்ளன. S={(a, b) ∈ A × A; a < b} என்ற கணத்தில் உள்ள இரு உறுப்புகள் (-1, 2) மற்றும் (0, 1) எனில் S இல் உள்ள மீதமுள்ள உறுப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
n(A × A) = 16 ⇒ n(A) = 4;
S = {(a, b) ∈ A × A; a < b}
A = {0, 1, 2, -1}
A × A = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, -1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, -1), (-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (-1, -1)}
∴ S = {(0, 1), (0, 2), (1, 2), (-1, 0), (-1, 1), (-1, 2)}.
∴ எஞ்சியுள்ள S-ன் உறுப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ள (-1, 2), (0, 1) ஐத் தவிர்த்து
= {(0, 2), (1, 2), (-1, 0), (-1, 1)}