Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 2 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 2.4

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 2 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 2.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 2 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 2.4

கேள்வி 1.
7 மற்றும் -3 ஆகிய மூலங்களையுடைய இருபடிச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
7, -3 மூலங்கள்
மூலங்களின் கூடுதல் = 7 + (-3) = 4
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = 7 × -3 = -21
∴ தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு
⇒ x² – (மூலங்களின் கூடுதல்) x + மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = 0
⇒ x² – 4x – 21 = 0.

கேள்வி 2.
ஒரு இருபடிக் கோவையின் ஒரு பூஜ்ஜியம் 1 + √5 மேலும் p(1) = 2 எனில், அந்த இருபடிக் கோவையைக் காண்க.
தீர்வு:
இருபடிக்கோவை p(x) = k (x² – x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்).

மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = (1 + √5) (1 – √5)
= 1 – 5 = – 4
இருபடிக்கோவை p(x) = k (x² – 2x – 4) எனில்
p(1) = 2
k (1² – 2 – 4) = 2
k (-5) = 2 ⇒ k = \(-\frac{2}{5}\)
∴ p (x) = \(-\frac{2}{5}\) (x² – 2x – 4)

கேள்வி 3.
x² + √2x + 3 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α மற்றும் β எனில், பூஜ்ஜியங்கள் \(\frac{1}{\alpha}\) மற்றும் \(\frac{1}{\beta}\) உடைய இருபடிக் கோவையைக் காண்க.
தீர்வு:
இருபடிச்சமன்பாடு x² + √2x + 3 = 0 என்க

∴ தேவையான இருபடிச்சமன்பாடு
⇒ x² – (மூலங்களின் கூடுதல்) x + (மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்) = 0
⇒ x² – \(\left(\frac{-\sqrt{2}}{3}\right)\)x + \(\frac{1}{3}\) = 0
⇒ x² + \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)x + \(\frac{1}{3}\) = 0
⇒ 3x² + √2x + 1 = 0.

கேள்வி 4.
k(x – 1)² = 5x – 7 என்பதன் ஒரு மூலம் மற்றதன்
இருமடங்கு எனில், k = 2 அல்லது -25 எனக் காண்க.
தீர்வு:
k(x – 1)² = 5x – 7
⇒ k(x² – 2x + 1) = 5x – 7
⇒ kx² – 2kx + k = 5x – 7
⇒ kx² – 2kx – 5x + k + 7 = 0
kx² + x (-2k – 5) + (k + 7) = 0
α, 2α, என்பன இரு மூலங்கள் எனில்

8k² + 40k + 50 = 9k² + 63k
⇒ k² + 23k – 50 = 0
⇒ (k – 2) (k + 25) = 0
⇒ k = 2 அல்லது -25 என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 5.
2x² – (a + 1) x + a – 1 = 0 -ன் மூலங்களுக்கிடையே
உள்ள வேறுபாடும், அவைகளின் பெருக்கற்பலனும் சமம் எனில், a = 2 என நிறுவுக.
தீர்வு:
2x² – (a + 1)x + a – 1 = 0
α, β என்பன மூலங்கள் என்க.

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 6.
ax² + bx + c = 0 -ன் ஒரு மூலம்
(i) மற்றொரு மூலத்தின் மாற்று குறியீடு
(ii) மற்றொரு மூலத்தைப் போல் மூன்று மடங்கு
(iii) மற்றொரு மூலத்தின் தலைகீழி ஆக இருக்கக் கட்டுப்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
(i) ax² + bx + c = 0 இரண்டு மூலங்கள் α, -α என்க.

தேவையான கட்டுப்பாடு b = 0

(ii) ஒரு மூலம் மற்றதைப்போல் 3 மடங்கு எனில் α, 3α. என்பன இரு மூலங்கள்
α + 3α = \(\frac{-b}{a}\)

3b² = 16ac இதுவே தேவையான கட்டுப்பாடு ஆகும்.

(iii) ஒரு மூலம் மற்றதின் தலைகீழி எனில் α, \(\frac{1}{\alpha}\) என்பன மூலங்கள்
∴ α + \(\frac{1}{\alpha}\) = \(\frac{-b}{a}\)
α × \(\frac{1}{\alpha}\) = \(\frac{c}{a}\) ; 1 = \(\frac{c}{a}\)

கேள்வி 7.
x² – ax + b = 0 மற்றும் x² – ex + f = 0 ஆகிய சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு பொதுவான மூலம் உள்ளது. மேலும் . இரண்டாம் சமன்பாட்டிற்குச் சமமான மூலங்கள் உண்டு எனில், ae =2 (b + f) என நிறுவுக.
தீர்வு:
x² – ax + b = 0 ……. (1)
x² – ex + f = 0 …….. (2)
கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடுகள் a என்பது பொதுவான மூலம் என்க α, β என்பன (1)ன் மூலங்கள் என்க.
∴ α + β = \(\frac{-b}{a}=\frac{-(-a)}{1}\) = a
α, β = \(\frac{c}{a}=\frac{b}{1}\) = b
α, α என்பன (2)ன் மூலங்கள் எனில்
x² – ex + f = 0
α + α = e ⇒ 2α = e
நிரூபிக்க வேண்டியது ae = 2 (b + f)
∴ LHS = ae = (α + β) (2α)
ae = 2α² + 2αβ = 2f + 2b
= 2 (b + f) …R.H.S
∴ எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 8.
(i) x² + 3x + 1 = 0,
(ii) 4x² – x – 2 = 0,
(iii) 9x² + 5x = 0 ஆ
கியவற்றின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க.
தீர்வு:
(i) -x² + 3x + 1 = 0
a = -1, b = 3, c = 1.
D = b² – 4ac = 3² – 4 × -1 × 1
= 9 + 4 = 13.
D > 0 ∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றது.

(ii) 4x² – x – 2 = 0
a = 4, b = -1, c = -2
D = b² – 4ac
= (-1)² – 4 × 4 × -2
= 1 + 32 = 33 > 0
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றது.

(iii) 9x² + 5x = 0
9x² + 5x + 0 = 0
a = 9, b = 5, c = 0
∴ D = b² – 4ac = 5² – 4 × 9 × 0
= 25 – 0 = 25 > 0.
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றது.

கேள்வி 9.
வரைபடம் வரையாமல்
(i) y = x + x + 2,
(ii) y = x² – 3x – 7,
(iii) y = x + 6x + 9
ஆகியவை x – அச்சை வெட்டுமா எனச் சோதித்தறியவும். மேலும்
வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண்க.
தீர்வம்:
y = x² + x + 2
a = 1, b = 1, c = 2
D = b² – 4ac = 1² – 4 × 1 × 2
= 1 – 8 = -7 < 0
எனவே கொடுக்கப்பட்ட வரைபடம் x அச்சை வெட்டாது.

(ii) y = x² – 3x -7
a = 1, b = -3, c = -7
D = b² – 4ac = (-3) – 4 × 1 × -7
= 9 + 28 = 37 > 0
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமல்ல என்பதால் வரைபடம் x அச்சை இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டும்.

(iii) y = x² + 6x + 9
இங்கு a = 1, b = 6, c = 9
∴ D = b² – 4ac = 6² – 4 × 1 × 9
= 36 – 36 = 0
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் என்பதால் வரைபடம் x அச்சை ஒரே ஒரு புள்ளியில் வெட்டும்.

கேள்வி 10.
f (x) = x² + 5x + 4-ஐ வர்க்க எழுதுக.
தீர்வு:
y = x² + 5x + 4 என்க