Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 4 சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் Ex 4.4

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 4 சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் Ex 4.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 4 சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் Ex 4.4

கேள்வி 1.
கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் n ≥ 1-க்கு
1³ + 2³ + 3³ + ….. + n³ = \(\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}\) என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
P(n) என்பது கொடுக்கப்பட்டுள்ள தொடர் என்க.
1³ + 2³ + 3³ + ….. + n³ = \(\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}\)
படி (1)
n = 1 என்க
= 1³ = \(\left[\frac{1(1+1)^{2}}{2}\right]=\left[\frac{1(2)}{2}\right]^{2}\)
⇒ 1 = 1 எனவே P(1) உண்மை

படி (2)
P(n) = P(k); 13 + 23 + 33 + …… + k3
= \(\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^{2}\) … (1)

படி (3)
P(k + 1) ம் உண்மை என நிரூபிக்க
P(k+ 1)1³ + 2³ + …… k³ + (k + 1)³

2 எனவே P (k + 1) என்பது உண்மை.
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மையாகும் என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 2.
கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் n ≥ 1-க்கு
1² + 3² + 5² + …… + (2n – 1)²2 = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\) என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
P(n) = 1² + 3² + 5² + …… + (2n – 1)²2 = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\) என்க.

படி (1)
n = 1 என்க
⇒ 1² = \(\frac{1(2-1)(2+1)}{3}=\frac{3}{3}\) = 1
P(1) என்பது உண்மையாகும்.

படி (2)
⇒ P(k) உண்மை எனகொள்வோம்.
1² + 3² + 5² + …… + (2k – 1)² = \(\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3}\)

படி (3)
P(k + 1) உண்மை என நிருபிப்போம்.


∴ P(k + 1) – ம் உண்மையாகும்
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி ! n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மையாகும் என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 3.
பூஜ்ஜியமற்ற முதல் n இரட்டை எண்களின் கூடுதல் n² + n என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
P(n) = 2 + 4 + 6 + ……. + 2n = n² + n என்க.
படி (1)
⇒ n = 1 என்க .
∴ P(1) = 1² + 1 = 2
∴ P(1) உண்மை

படி (2)
P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம்.
2 + 4 + 6 + … + 2k = k² + k ……. (1)

படி (3)
P(k + 1) உண்மை என நிரூபிப்போம்
நிருபிக்க 2 + 4 + 6 + …. + 2k + 2 (k + 1)
= (k + 1)² + (k + 1)
= (k+ 1) (k + 1 + 1)
= (k+ 1) (k + 2)
LHS = 2 + 4 + 6 + … + 2k + 2 (k + 1)
= k² + k + 2k + 2 [பயன்படுத்தவும் (1)];

= k² + 3k + 2
= (k + 1) (k + 2) = RHS
∴ P(k+ 1) என்பது உண்மை.
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மையாகும் என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 4.
கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் n ≥ 1-க்கு 1.2 + 2.3 + 3.4 + ……… + n(n + 1) = \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ……. + n(n + 1)
= \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) என்க

படி (1)
n = 1 என்க

∴ P(1) உண்மையாகும்

படி (2)
P(k) உண்மை எனக்கொள்வோம்
1.2 + 2.3 + 3.4 + ……. + \(\frac{k(k+1)(k+2)}{3}\) …….. (1)

படி (3)
P(k + 1) உண்மை என நிருபிப்போம்
நிருபிக்க 1.2 + 2.3 + 3.4 + ……. + k(k + 1) + (k + 1) (k + 2)
LHS = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …….. k(k + 1) + (k + 1) (k + 2)
\(\frac{k(k+1)(k+2)}{3}\)
= (k + 1) (k + 2)
= (k + 1) (k + 2)[\(\frac{k}{3}\) + 1]
= \(\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\)
= RHS
∴ P(k+ 1) உண்மை.
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மையாகும் எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 5.
கணிதத் தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி n ≥ 2 எனக் கொண்ட எந்த ஒரு இயல் எண்ணுக்கும் \(\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 n}\) என நிரூபிக்க.
தீர்வு:



∴ P(k + 1) உண்மை . எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 6.
கணிதத் தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி n = 2 எனக் கொண்ட எந்த ஒரு இயல் எண்ணுக்கும்
\(\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+. .+n}=\frac{n-1}{n+1}\)
தீர்வு:
இரண்டு பக்கங்களிலும் ஒன்றை கூட்டவும்.

படி (2)
⇒ P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம்.

படி (3)
எனவே P(k + 1) உண்மை என நிரூபிப்போம்


P(k + 1) என்பது உண்மையாகும். எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி –ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 7.
கணிதத் தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி எந்த ஒரு இயல் எண் n-க்கும்
\(\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+. .+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\) என நிரூபிக்க.
தீர்வு:


∴ P(k + 1) என்பது உண்மையாகும். எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 8.
கணிதத் தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி எந்த ஒரு இயல் எண் n-க்கும்
\(\frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\ldots+\frac{1}{(3 n-1)(3 n+2)}=\frac{n}{6 n+4}\) என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
P(n) = \(\frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\ldots+\frac{1}{(3 n-1)(3 n+2)}=\frac{n}{6 n+4}\) என்க

படி (1)
n = 1 என்க
\(\frac{1}{2 \cdot 5}=\frac{1}{6(1)+4} \Rightarrow \frac{1}{10}=\frac{1}{10}\)
∴ P(1) என்பது உண்மை

படி (2)
P(k) – என்பது உண்மை எனக் கொள்வோம்.
∴ \(\frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\ldots+\frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}=\frac{k}{6 k+4}\)

படி (3)
⇒ P(k + 1) உண்மை என நிரூபிப்போம்.



∴ P(k + 1) -ம் உண்மையாகும். எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 9.
கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவுக.
1! + (2 × 2!) + (3 × 3!) + ….. + (n × n!) = (n + 1)!-1
தீர்வு:
P(n) = 1! + (2 × 2!) + (3 × 3!) + …… + (n × n!)
= (n + 1)! – 1 என்க

படி (1)
n = 1 என்க
1! = (1 + 1)! – 1 ⇒ 1 = 2 – 1 = 1
∴ P(1) என்பது உண்மை

படி (2)
⇒ P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம்.
∴ 1! + (2 × 2!) + (3 × 3!) + ……. + (k × k!) × (k + 1)
(k+ 1)! = (k + 2)! – 1
LHS = 1! + (2 × 2!) + (3 × 3!) + …… + (k × k!) + (k × 1) (k × 1)!
= (k + 1)! – 1 + (k + 1) (k + 1)!
= (k + 1)! + (k+ 1) (k + 1) – 1
= (k + 1)! [1 + k + 1] – 1
= (k + 1)! [k + 2] – 1
= (k + 2)! – 1 = RHS
∴ P(k + 1) என்பது உண்மை . எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 10.
கணிதத் தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி எந்த ஒரு இயல் எண் n-க்கும் x²ⁿ – y²ⁿ ஆனது x + y ஆல் வகுபடும் என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
P(n) என்பது x²ⁿ – y²ⁿ-ஐ (x + y) ஆல் வகுக்க முடியும்

படி (1)
n = 1 என்க
x² – y² = (x + y) (x – y)
(x+y ஐ கொண்டு வகுக்க)
P(1) என்பன உண்மை

படி (2)
P(k) – ம் உண்மை எனக் கொள்வோம்
x^2k – y^2k ஐ கொண்டு வகுக்க
x^2k = m(x + y) + y^2k …….. (1)

படி (3)
P(k + 1) என்பது உண்மை என நிரூபிப்போம்.
= x^{2(k + 1)} – y^{2(k + 1)}
= x² . x^2k – y^{2k + 2}
= x² [m(x + y) + y^2k] – y^2k + 2
= m (x + y) (x²) + x²y^2k – y^2k .y²
= m(x + y) x² + y^2k (x² – y²)
= m(x + y) x² + y^2k (x + y) (x – y)
= (x + y) [mx² + (x – y) y^2k]
∴ x^{2 (k + 1)} – y^{2 (k + 1)}
∴ P(k + 1) என்பது உண்மையாகும். எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 11.
கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n ≥ 1-க்கு 1² + 2² + 3² + …… + n² > \(\frac{n^{3}}{3}\) என நிரூபிக்க.
தர்வு:
P(n) = 1² + 2² + 3² + …… + n² > \(\frac{n^{3}}{3}\) என்க.

படி (1)
n = 1 என்க
1 > \(\frac{1^{3}}{3}\) ⇒ 1 > \(\frac{1}{3}\) என்பது உண்மை
∴ P(1) என்பது உண்மை

படி (2)
P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம்.
∴ 1² + 2² + 3² + …… + k² > \(\frac{k^{3}}{3}\) …….. (1)

படி (3)
P(k + 1) உண்மை என நிரூபிப்போம்
1² + 2² + 3² + …… + k² + (k + 1)² > \(\frac{(k+1)^{3}}{3}\)
1² + 2² + 3² + …… + k² + (k + 1)²
> \(\frac{k^{3}}{3}\) + (k+1)² [(1) ஐ பயன்படுத்த)]
> \(\frac{k^{3}}{3}\) + k² + 2k + 1 > \(\frac{1}{3}\) [k³ + 3k² + 6k + 3]
[∴ (a + b)³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b²]
> \(\frac{1}{3}\)(k + 1)³
∴ P(k + 1)-ம் உண்மை . எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி 1-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 12.
தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி எல்லா இயல் எண்கள் –க்கும் n³ – 7n + 3 ஆனது 3ஆல் வகுபடும் என நிரூபிக்க.
தீர்வு :
P(n) = (n³ – 7n + 3) என்க (n³ – 7n + 3) ஆனது 3 ஆல் வகுபடும்

படி (1)
⇒ n = 1 என்க
1³ – 7(1) + 3 = 1 – 7 + 3
= -3 3ஆல் வகுபடும்
∴ P(1) என்பது உண்மை

படி (2)
⇒ P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம்.
∴ k³ – 7k + 3 ஆனது 3 ஆல் வகுபடும்
⇒ K³ – 7k + 3 = 3m … (1)

படி (3)
⇒ P(k + 1) உண்மை என நிரூபிப்போம்
(k + 1)³ – 7(k + 1) + 3 = k³ + 3k² + 3k + 1 – 7k – 7 + 3
= (k³ – 7k + 3) + (3K² + 3k – 6)
= 3m + 3 (k² + k – 2)
[(1) ஐ பயன்படுத்த
= 3 [m + k² + k – 2]| 3 ஆல் வகுபடும்
∴ P(k + 1)-ம் உண்மை . எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 13.
தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி எல்லா இயல்
எண்க ள் n-க்கும் 5^{n + 1} + 4 × 6ⁿ ஐ 20 ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி 9 என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
5^{n + 1} + 4 × 6ⁿ -ஐ 20 ஆல் வகுக்க மீதி 9

படி (1)
⇒ n = 1 என்க
5² + 4 × 6 = 25 + 24
= 49 = 2 × 20 + 9

படி (2)
⇒ P(k) என்பது உண்மை
5^{k + 1} + 4 × 6k = m (20 + 9)
⇒ P(k + 1) உண்மை என நிருபிப்போம்.
5^{k + 1} = 20m + 9 – 4 (6^k) + 24.6^k …… (1)
⇒ P(k + 1) என்பது உண்மை என நிருபிப்போம்.
5^{k + 2} + 4 × 6^{k + 1} = 5^{k + 1} . 5¹ + 4 . 6^k 6¹
= 5^{k + 1}. 5 + 246^k
= 20m + 9 – 4(6^k) + 24 (6^k)
[(1) ஐ பயன்படுத்த]
= 20m + 9 + 20. 6k
= 20 (m + 6^k) + 9
= 20 (m + 6^k).
∴ P(k + 1) என்பது உண்மை . எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 14.
தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி எல்லா இயல் எண்க ள் n-க்கும் 10ⁿ + 3 × 4^{n + 2} + 5 ஆனது 9ஆல் வகுபடும் என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
P(n) = 10ⁿ + 3 × 4^{n + 2} + 5
ஆனது 9 ஆல் வகுபடும் என்க.

படி (1)
⇒ n = 1 என்க
10¹ + 3 × 4^{1 + 2} + 5 = 10 + 3(4³) + 5
= 15 + 3(64) = 207.
இது 9 – ஆல் வகுபடும்.
∴ P(1) என்பது உண்மை

படி (2)
P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம்.
∴ 10^{k + 3} × 4^{k + 2} + 5
⇒ 10^{k + 3} × 4^{k + 2} + 5 = 9m
⇒ 10^k = 9m – 5 – 3 × 4k + 2 …. (1)

படி (3)
⇒ P(k + 1) உண்மை என நிரூபிப்போம்
10^{k + 1} + 3 × 4k + 3 + 5 ஆனது 9 ஆல் வகுபடும்
⇒ 10k . 10 + 3 . 4^{k + 2} . 4¹ + 5
= 10 [9m – 5- 3 × 4^{k + 2}] + 12 (4^{k + 2}) + 5
[(1) ஐ பயன்படுத்த ]
= 90m – 50 – 30 × 4^{k + 2} + 12 (4^{k + 2}) + 5
= 900 – 45 – 18 (4^{k + 2})
= 9[10m – 5 – 2] (4^{k + 2})
என்பது 9 ஆல் வகுபடும்.
∴ P(k + 1) உண்மை . எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி 7-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 15.
கணிதத் தொகுத்தறிதலைப் பயன்படுத்தி கீழ்க்கண்ட கூற்றை நிறுவுக.

தீர்வு:






∴ P(k + 1)ம் உண்மையாகும். எனவேகணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் உண்மை என நிருபிக்கப்பட்டது.