Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3

கேள்வி 1.
ஒரு பள்ளியில் பதினோராம் வகுப்பில் 4 பிரிவுகளில் மொத்தம் 120 மாணவர்கள் படிக்கின்றனர். மாணவர்களின் கணம் A மற்றும் பிரிவுகளின் கணம் B என்க. “x என்ற மாணவர் y பிரிவிலிருந்தால் .x ஆனது y உடன் தொடர்புடையது” என வரையறுக்கப்படுகிறது. இத்தொடர்பு சார்பாகுமா? இதன் நேர்மாறு தொடர்பு பற்றி விளக்குக.
தீர்வு:
n(A) = 120, n(B) = 4
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 1
P, Q, R, S என்பன 4 வகுப்புகள் என்க.
xRy என்பது X என்பவர் y வகுப்பைச் சார்ந்தவர் என்ற தொடர்பைக் குறிக்கிறது.
A உள்ள ஒவ்வொருவரும் B-ல் உள்ள ஏதேனும் ஒரு வகுப்புடன் தொடர்பு படுத்தப் படுகின்றனர்
∴ இது ஒரு சார்பு ஆகும்.
⇒ A → B ஒரு சார்பு
ஆனால் f-1: B → A ஒரு சார்பு ஆகாது. ஏனென்றால் ஒவ்வொரு வகுப்பிலும் 1 க்கு மேற்பட்ட மாணவர்களைக் கொண்டிருப்பதால் B → A ஒரு சார்பாகாது.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3

கேள்வி 2.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 2
என வரையறுக்கப்படின் -4, 1, -2, 7, 0 ஆகியவற்றில் fன் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
f(-4) = 4 + 4 = 8
f(1) = 1 – 12 = 0
f(-2) = – 22 – (-2) = 4 + 2 = 6
f(7) = 0
f(0) = 02 – 0 = 0
∴ f(-4) = 8, f(1) = 0, f(-2) = 6
f(7) = 0, f(0) = 0.

கேள்வி 3.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 3
என வரையறுக்கப்படின் -3, 5, 2, -1, 0 ஆகியவற்றில் f-ன் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
∴ f(-3) = (-3)2 + (-3) – 5 = 9 – 8 = 1
f(5) = 52 + 3(5) – 2 = 25 + 15 – 2 = 38
f(2) = 22 – 3 = 4 – 3 = 1
f(-1) = (-1)2 + (-1) – 5 = -5
f(0) = 02 – 3 = -3.
∴ f(-3) = 1, f(5) = 38, f(2) = 1, f(-1) = -5,
f(0) = – 3.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3

கேள்வி 4.
கீழ்க்காணும் தொடர்புகள் சார்புகளா? என்பதனைச் சோதிக்கவும். சார்புகள் எனில் அவை ஒன்றுக்கொன்றா மற்றும் மேற்கோர்த்தலா எனச் சோதிக்கவும். சார்பு இல்லை எனில் காரணம் கூறவும்.
(i) A = {a, b, c} மற்றும் f = {(a, c), (b, c), (c, b); (f: A → A)
தீர்வு:
A= {a, b, c}; f; A→ A
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 4
இது ஒரு சார்பு ஆனால் ஒன்றுக் கொன்றான சார்பு அல்ல.

(ii) X = {x, y, z} மற்றும் f = {(x, y), (x, 3), (3, x); (f: X → X)
தீர்வு:
X = {x, y, z} f = {(x, y), (x, 3), (3, x); (f: X → X)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 5
f ஒரு சார்பு அல்ல.
ஏனென்றால் x ∈ Xற்கு இரண்டு நிழல் உறுப்புக்கள் உள்ளன (x, y) (x, z).

கேள்வி 5.
A= {1, 2, 3, 4} மற்றும் B = {a, b, c, d} எனில் பின்வரும் ஒவ்வொன்றிற்கும் A → Bக்கு ஒரு சார்பு உதாரணமாகத் தருக.
(i) ஒன்றுக்கொன்றும் அல்ல மற்றும் மேற்கோர்த்தலும் அல்ல.
(ii) ஒன்றுக்கொன்று அல்ல ஆனால் மேற்கோர்த்தல்.
(iii) ஒன்றுக்கொன்று ஆனால் மேற்கோர்த்தல் அல்ல.
(iv) ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தல்.
தீர்வு:
ஒன்றுக்கொன்றும் அல்ல மற்றும் மேற்கோர்த்தலும் அல்ல.
A = {1, 2, 3, 4}
B = {a, b, c, d}

(i)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 6
இது ஒன்றுக்கொன்றும் அல்ல. மேற்கோர்த்தலும் அல்ல.

(ii) A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d} எனில் f : A → B ஒரு சார்பு அல்ல. ஒரு சார்பு மேற்கோர்த்தல் எனில் அது ஒன்றுக் கொன்றாக இருத்தல் வேண்டும். ஆனால் ஒன்றுக்கொன்று அல்ல என்பதால் இது சார்பாக இருக்க முடியாது.

(iii) f: A → B ஒன்றுக்கொன்று எனில் A உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் B -ல் ஒவ்வொரு உறுப்புடனும் தொடர்பு படுத்தப்பட்டிருக்க வேண்டும். அப்படி இருக்கும் பொழுது அது மேற்கோர்த்தல் ஆகும். எனவே ஒன்றுக்கொன்று ஆனால் மேற்கோர்த்தல் அல்ல என்பது ஒரு சார்பாகாது.

(iv)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 7

f = A → B
f = {(1, a), (2, b), (3, C), (4, a)}
க்க வெவ்வேறு உறுப்புகள் வெவ்வேறு நிழல் உறுப்புக்களைக் கொண்டுள்ளன. எனவே இது ஒரு ஒன்றுக் கொன்றான சார்பு. இங்கு துணை மதிப்பகம் B = {a, b, c, d} வீச்ச கம் = {a, b, c, d}=B
∴ ஒரு மேற்கோர்த்தல்
∴ ஒரு ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் மேற்கோர்த்தல்

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3

கேள்வி 6.
\(\frac{1}{1-2 \sin x}\) என்ற சார்பின் சார்பகத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
f(x) = \(\frac{1}{1-2 \sin x}\)
பகுதி = 0 எனில் 1 – 2 sin x = 0
⇒ 1 = 2 sin x
⇒ ∴ sin x = \(\frac{1}{2}\) ⇒ sin x = sin \(\frac{\pi}{6}\)
⇒ x = nπ + {-1}n\(\frac{\pi}{6}\), n ∈ Z
(∵ sin x = sin α ⇒ x = nπ + (-1)nα, n ∈ Z)
f -ன் சார்பகம் = R – [nπ + (-1)n\(\frac{\pi}{6}\)], n ∈ Z

கேள்வி 7.
f(x) = \(\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{\sqrt{x^{2}-9}}\) என்ற சார்பின் மீப்பெரு சார்பகத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 8
x-ன் மற்ற எல்லா மதிப்புகளுக்கும் குறை எண்களின் வர்க்க மூலமாக கிடைப்பதால் அது சார்பாகாது.
எனவே மீப்பெரு சார்பகம் = Φ

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3

கேள்வி 8.
\(\frac{1}{2 \cos x-1}\) என்ற சார்பின் வீச்சகத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
\(\frac{1}{2 \cos x-1}\) -ன் வீச்சகம் – 1 ≤ cos x ≤ 1
⇒ – 2 ≤ 2 cos x ≤ 2
⇒ – 2 – 1 ≤ 2 cos x – 1 ≤ 2 – 1
⇒ -3 ≤ 2 cos x – 1 ≤ 1 .
⇒ \(\frac{-1}{3}\) ≥ \(\frac{1}{2 \cos x-1}\) ≥ \(\frac{1}{1}\)
⇒ \(\frac{-1}{3}\) ≥ f(x) ≥ 1
∴ f(x) -ன் வீச்சகம் \(\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right]\) ∪\([1, \infty)\)

கேள்வி 9.
xy = -2 எனும் தொடர்பு தகுந்த சார்பகத்தில் ஒரு
சார்பு எனக் காட்டுக. அதன் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம் காண்க.
தீர்வு:
xy = -2 என்ற தொடர்பில் x = \(\frac{-2}{y}\)
f(x1) = f(x2) = \(\frac{-2}{y_{1}}=\frac{-2}{y_{2}}\)
⇒ \(\frac{1}{y_{1}}=\frac{1}{y_{2}}\) ⇒ y1 = y2
f ஆனது ஒரு ஒன்றுக்கொன்று சார்பு.
O என்ற உறுப்பிற்கு நிழல் உரு கிடையாது.
∴ சார்பகம் = R – {0}
வீச்ச கம் = R – {0}.

கேள்வி 10.
f(x) = |x |+ x மற்றும் g(x) = |x | –  x = என f, g : R → R வரையறுக்கப்படின் gof மற்றும் fog காண்க.
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 9

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3

கேள்வி 11.
f, g, h என்பன R-ல் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்புகெனில், (f + g)oh = foh + goh என நிரூபிக்க. மேலும் f o (g + h) பற்றி என்ன கூற இயலும்? தகுந்த காரணங்களுடன் விடை தருக.
தீர்வு:
f, g, h என்பன R -ன் சார்புகள் என்க. R → R
(i) (f + g) oh : R → R
foh + goh : R → R, X ∈ R
[(f + g)oh] (x) = (f + g) h(x)]
= f(h(x)) + g(h(x))]
= foh (x) + goh (x)
∴ (f + g) oh = foh + goh

(ii) fo (g+h) = f[[g+h) (x)], x ∈ R
= f[g(x) + h(x)] |
= fog (x) + foh(x).

கேள்வி 12.
f : R → R என்ற சார்பு f (x) = 3x – 5 என வரையுயறுக்கப்படின் அது ஒரு இருபுறச் சார்பு என நிரூபித்து அதன் நேர்மாறு காண்க.
தீர்வு:
y = 3x – 5 என்க.
y + 5 = 3x ⇒ x = \(\frac{y+5}{3}\)
g(y) = \(\frac{y+5}{3}\)
gof (x) = 3(f(x)) = g(3x – 5)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 10
எனவே gof(x) = lx
fog(y) = ly
இங்கு l என்பது சமனிச் சார்பு
⇒ f, g இரண்டும் இருபுறச் சார்பாகும். அவை ! ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாகும்.
எனவே f ஓர் இருபுறச் சார்பு. f-1(y) = \(\frac{y+5}{3}\)
y-ற்கு பதில் x-ஐ பிரதியிட f-1(x) = \(\frac{x+5}{3}\) என கிடைக்கும்.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3

கேள்வி 13.
ஒரு மனிதனின் தசைகளின் எடை W ஆனது அவரது உடல் எடை x-ன் சார்பாக அமைகிறது. மற்றும் W(x) = 0.35x எனவும் குறிப்பிடப்படுகிறது. எனில், இச்சார்பின் சார்பகத்தை தீர்மானிக்கவும்.
தீர்வு:
W(x) = 0.35 x, W(0) = 0, W(1) = 0.35, W(2) = .7,
W(∞) = ∞
சார்பகம் (0, ∞) வீச்சகம் (0, ∞).

கேள்வி 14.
மேலிருந்து கீழே விழும் ஒரு பொருளின் உயரம் t நேரத்தைப் பொறுத்துச் சார்பாக, s(t) = -16 t2 என அமைகிறது. இச்சார்பினை வரைபடமாகக் கொண்டு ஒன்றுக்கொன்றா எனத் தீர்மானிக்கவும்.
தீர்வு:
s(t) = – 16 t2
s(t1) = s(t2) ⇒ -16t12 = -16t22
⇒ t12 = t22 = ± t1 = ± t2
s(t1) = s(t2) ≠ t1 = t2
∴ இந்த சார்பு ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு அல்ல.
s(t) = – 16 t2
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 11

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3

கேள்வி 15.
ஒரு குறிப்பிட்ட வான்வழிப் பயணக் கட்டணமானது, அடிப்படை வானூர்திக் கட்டணம் (ரூபாயில்) C உடன் எரிபொருள் கூடுதல் கட்டணம் S உள்ளடக்கியது. C மற்றும் S ஆகிய இரண்டுமே வான் தொலைவு அளவு mஆல் அமைகிறது. மேலும் C (m) = 0.4m + 50 மற்றும் S(m) =0.03m எனில் வான் தொலைவு அளவு ரீதியாக ஒரு பயணச் சீட்டின் மொத்தக் கட்டணத்தினை m-ன் சார்பாக எழுதுக. மேலும் 1600 வான் தொலைவு மைல்களுக்கான பயணச் சீட்டின் தொகையைக் காண்க.
தீர்வு:
வானூர்திக் கட்டணம்
C(m) = 0.4m + 50
எரிபொருள் கட்டணம் S(m) = 0.03m
வானூர்தி பயணக் கட்டணம் = C(m) + S(m)
∴ f(x) = 0.4 m + 50 + 0.03 m
= 0.43 m + 50
m = 1600 மைல்கள்
∴ 1600 மைல்கள் வான்தொலைவு பயணச்சீட்டின் கட்ட ணம் = 0.43 × 1600 + 50 = ₹ 738.

கேள்வி 16.
ஒரு விற்பனை பிரதிநிதியின் ஆண்டு வருமானத்தைக் குறிக்கும் சார்பு A(x) = 30,000 + 0.04x இங்கு x என்பது அவர் விற்கும் பொருளின் விலைமதிப்பை ரூபாயாகக் குறிக்கின்றது. விற்பனைத் துறையில் உள்ள அவர் மகனின் வருமானம் S(x) = 25,000 + 0.05x எனும் சார்பாகக் குறிக்கப்படுகிறது எனில், (A+S) (x) காண்க. மேலும் ₹1,50,00,000 மதிப்புள்ள பொருட்களை அவர்களிருவரும் தனித்தனியே விற்றால் குடும்ப மொத்த வருமானத்தினைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு:
A(x) = 30,000 + 0.04x
S(x) = 25,000 + 0.05x தரப்பட்டுள்ள து.
(A + S) x = 30,000 + 0.04x + 25,000 + 0.05x
= 55,000 + 0.09x
(A + S) (x) = 55,000 + 0.09 (₹ 1,50,00,000)
= 55,000 + 13,50,000 = 14,05,000
குடும்ப மொத்த வருமானம் = ₹14,05,000.

கேள்வி 17.
அமெரிக்க டாலரை சிங்கப்பூர் டாலராக ஒரு குறிப்பிட்ட நாளில் பண மதிப்பு மாற்றம் செய்யும் சார்பு f(x) = 1.23x ஆகும். இங்கு x என்பது அமெரிக்க டாலர்களின் எண்ணிக்கை ஆகும். அதே நாளில் இந்திய ரூபாய்க்கு சிங்கப்பூர் டாலரை மற்றும் சார்பு g(y) = 50.50y இங்கு y என்பது சிங்கப்பூர் டாலர்களின் எண்ணிக்கை ஆகும். இந்திய ரூபாயின் அடிப்படையில் அமெரிக்க டாலரின் நாணயப் பரிவர்த்தனை விகிதத்தை வழங்கும் சார்பினை எழுதுக.
தீர்வு:
f(x) = 1.23 x
x என்பது அமெரிக்க டாலரின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும்.
g(y) = 50.50 y
y என்பது சிங்கப்பூர் டாலரின் எண்ணிக்கையை குறிக்கும்.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 12
அமெரிக்க டாலரை இந்திய ரூபாயாக மாற்ற gof(x) -ஐக் காண வேண்டும்.
∴ gof (x) = g(f(x)) = g (1.23x)
= 50.50 (1.23x) = 62.115x
∴ இந்திய ரூபாயின் அடிப்படையில் அமெரிக்க டாலரின் நாணய பரிவர்த்தனை விகிதத்தின் சார்பு.
⇒ gof(x) = 62.115 x.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3

கேள்வி 18.
ஒரு சிறிய உணவகத்தின் உரிமையாளர் ₹ 100 செலவில் ஒரு குறிப்பிட்ட உணவைத் தயாரிக்க முடியும். உணவு வகைப் பட்டியிலின்படி அந்த உணவின் விலை x என நிர்ணயித்தால், அந்நாளில் அவ்வுணவைப் பெறும் வாடிக்கையாளர்களின் எண்ணிக்கை D(x) = 200 – X என்ற சார்பாக அமைகிறது. அந்த உணவைப் பொறுத்து அவருடைய அன்றைய வருமானம், மொத்தச் செலவு மற்றும் லாபம் ஆகியவற்றை X-ன் சார்பாக அமைக்கவும்.
தீர்வு:
வாடிக்கையாளர்களின் எண்ணிக்கை = 200 – x
ஒரு உணவின் விலை = ₹100
மொத்த செலவு = ₹100(200 – x)
ஒரு உணவின் மூலம் கிடைக்கும் வருமானம் =x மொத்த வருமானம் = ₹ x (200 – x)
இலாபம் = வருமானம் – செலவு
= ₹ x(200 – x) – 100 (200 – x)
= ₹ (200 – x) (x – 100).

கேள்வி 19.
பாரன்ஹீட்டிலிருந்து செல்சியஸ் வெப்பநிலைக்கு மாற்றும் சார்பு y = \(\frac{5 x}{9}-\frac{160}{9}\) எனில், y-ன் நேர்மாறு சார்பினைக் காண்க. நேர்மாறு சார்பும் ஒரு சார்பு எனவும் காண்க.
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 13
= f, g என்பன இருபுறச் சார்பாகும்.
அவை ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாகும்.
∴ f-1(y) = \(\frac{9 y+160}{5}\)
y = x எனப் பிரதியிட
f-1x = \(\frac{9 x+160}{5}=\frac{9 x}{5}\) + 32

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3

கேள்வி 20.
f (x) – 5 5 ஒரு சாதாரண சங்கேத மொழியில் ஓர் உருவினை மாற்றியமைக்க எண்ணால் எழுதப் பயன்படுத்தப்படும் சார்பு f(x) = 3x – 4 இச்சார்பின் நேர்மாறினையும், அந்நேர்மாறு ஒரு சார்பு என்பதையும் காண்க. அவை y = x என்ற நேர்க்கோட்டில் சமச்சீர் உடையது
என்பதை வரைந்து காண்க.
தீர்வு:
f(x) = 3x – 4 எனத் தரப்பட்டுள்ளது.
y = 3x – 4 ⇒ y + 4 = 3x என்க.
⇒ x = \(\frac{y+4}{3}\); g(y) = \(\frac{y+4}{3}\) என்க
gof(x) = g (f(x)) = g(3x -4)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 14
எனவே gof(x) = Ix மற்றும் fog(y) = Iy
⇒ f-ம், g-ம் இருபுறச் சார்பாகும். அவை ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாகும். எனவே f ஒரு இருபுறச் சார்பு.
f-1y = \(\frac{y+4}{3}\)
y – ஐ X ஐக் கொண்டு எழுத f-1(x) = \(\frac{x+4}{3}\)
f(x) = 3x – 4
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 15
f-1(x) = \(\frac{x+4}{3}\)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 1 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 1.3 16
எனவே y = f-1(x) -ன் வரைபடம் f வரைபடத்தின் நேர்மாறாகும். அந்த சார்பு y = x ஆகும்.