Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 10 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 10.1

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 10 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 10.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 10 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 10.1

Question 1.
முதல் கொள்கையினைப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்களைக் காண்க.
(i) f(x) = 6
(ii) f(x) = -4x + 7
(iii) f(x) = -x2 + 2
தீர்வு :
(i) f(x) = 6 ……….(1)
f'(x) = \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
f(x) = 6
⇒ f(x + ∆x) = 6 ………….. (2)
∴ f'(x) = \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{6-6}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0}{\Delta x}\) = 0
(1), (2) லிருந்து
∴ f(x) = 0

(ii) f(x) = -4x + 7 ………… (1)
∴ f(x + ∆x) = -4 (x + ∆x) + 7 = -4x – 4∆x + 7 ………(2)
∴ \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\) = \(\frac{-4 x-4 \Delta x+7-(-4 x+7)}{\Delta x}\)
(1), (2) லிருந்து
= Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 10 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 10.1 1
f'(x) = -4

(iii) f(x) = -x2 + 2 ………….(1)
f(x + ∆x) = – (x + ∆x)2 + 2
= – (x2 + 2x ∆x + (∆x)2) + 2
= -x2 – 2x ∆x – (∆x)2 + 2 ………(2)
(2) – (1) ⇒ f(x + ∆x) – f(x)
= Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 10 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 10.1 2
= – 2x ∆x – (∆x)2
= ∆x (-2x – ∆x)
∴ \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(-2 x-\Delta x)}{\Delta x}\)
= \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\) – 2x – ∆x
= – 2x – (0) = -2x
∴ f'(x) = -2x

Question 2.
கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு x = 1-ல் இடப்பக்க மற்றும் வலப்பக்க வகைக்கெழு (கிடைக்கப்பெறின்) காண்க. x = 1-ல் சார்புகளுக்கு வகைமைத்தன்மை உள்ளதா என்பதனையும் காண்க
(i) f(x) = |x – 1|
(ii) f(x) = \(\sqrt{1-x^{2}}\)
(iii) f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
x, & x \leq 1 \\
x^{2}, & x>1
\end{array}\right.\)
தீர்வு :
(1) f(x) = |x – 1|
f'(1) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{|x-1|-0}{x-1}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{|x-1|}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}-\frac{(x-1)}{x}\) = -1
∴ f'(-1) = -1
∴ f'(1+) = \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-0}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{|x-1|-0}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{|x-1|}{x-1}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x-1}{x-1}\) = 1
∴ f'(1+) = 1
ஒரு பக்க வகைக்கெழு, f'(1) ≠ f'(1+). அதனால் f'(1) கிடைக்கப்பெறாது.
∴ x = 1ல் வகைமை இல்லை.

(ii) f(x) = \(\sqrt{1-x^{2}}\)
f(1) = \(\sqrt{1-1}\) = 0
∴ f'(1) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{\sqrt{1-x^{2}}-0}{x-1}\) [∵ f(1) = 0]

= \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{\sqrt{1+x} \cdot \sqrt{1-x}}{-(1-x)}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{\sqrt{1+x} \cdot \sqrt{1-x}}{-(\sqrt{1-x}) \cdot \sqrt{1-x}}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}=-\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\)

f'(1) = -∞ ……..(1)

∴ f'(1+) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\sqrt{1-x^{2}}-0}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x-1}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\sqrt{1+x} \cdot \sqrt{1-x}}{-(1-x)}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\sqrt{1+x} \cdot \sqrt{1-x}}{-\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{1-x}}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}-\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\) ………(2)
(1), (2) ⇒ f'(1) ≠ f'(1+)
∴ f'(x) க்கு x = 1-ல் வகைமை இல்லை.

(iii) f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
x, & x \leq 1 \\
x^{2}, & x>1
\end{array}\right.\)

∴ f'(1) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x-1}{x-1}\) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) 1 = 1 ………..(1)

∴ f'(1+) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{2}-1}{x-1}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \) x + 1 = 1 + 1 = 2
∵ f'(1) ≠ f'(1+), f(x)-க்கு x = 1-ல் வகைமை இல்லை.

Question 3.
கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகளில் கீழ்காணும் சார்புகள் வகைமையானதா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.
(i) f(x) = x|x|; x = 0
(ii) f(x) = |x2 – 1|; x = 1
(iii) f(x) = |x| + |x – 1|; x = 0, 1
(iv) f(x) = sin|x|; x = 0
தீர்வு :
(i) f(x) = x|x| = \(\left\{\begin{array}{ll}
x^{2}, & x \geq 0 \\
-x^{2}, & x<0
\end{array}\right.\)

f'(0) = \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x^{2}-0}{x-0}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x^{2}}{x}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\) (-x) = 0

∴ f'(0+) = \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}-0}{x-0}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}}{x}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\) x = 0 …………(2)

(1), (2) ⇒ f'(0) = f'(0+)
f(x) = x|x| க்கு x = 0-ல் வகைமை உள்ளது.

(ii) f(x) = |x2 – 1|
f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
-\left(x^{2}-1\right), & x<1 \\
+\left(x^{2}-1\right), & x \geq 1
\end{array}\right.\)
∴ f'(1) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 10 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 10.1 3

(1), (2) ⇒ f'(1) ≠ f'(1)
f(x) -க்கு x = 1-ல் வகைமை இல்லை.

(iii) f(x) = |x| + |x – 1|
f(x) =\(\left\{\begin{array}{rrr}
-x-(x-1) & = & -2 x+1 & x<0 \\
x-(x-1) & = & 1 & 0 \leq x<1 \\
x+x-1 & = & 2 x-1 & x \geq 1
\end{array}\right.\)

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 10 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 10.1 4

(iv) f(x) = sin |x| = \(\left\{\begin{array}{rl}
\sin x & x \geq 0 \\
-\sin x & x<0
\end{array}\right.\)

∴ f'(0) = \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-\sin x-\sin 0}{x-0}\)
= \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-\sin x}{x} = -1 [∵ \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}\) = 1]

f'(0+) = \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x-\sin 0}{x-0}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x}{x}\) = 1
f'(0) = f'(0+)

∴ f(x) க்கு x = 0-ல் வகைமை இல்லை.

Question 4.
கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்குக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள புள்ளிகளில் வகைமை இல்லை என்பதை நிறுவுக.
(i) f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
-x+2, & x \leq 2 \\
2 x-4, & x>2
\end{array} ; x=2\right.\)

(ii) f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
3 x, & x<0 \\ -4 x, & x \geq 0 \end{array} ; x=0\right.\) தீர்வு : f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll} -x+2, & x \leq 2 \\ 2 x-4, & x>2
\end{array} ; x=2\right.\)

f'(2) = \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{-x+2-(0)}{x-2}\)
[∵ f(x) = -x + 2
⇒ f(2) = =2 + 2 = 0]

= \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{-x+2}{x-2}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{-(x-2)}{x-2}\) = -1 ……..(1)

∴ f'(2+) = \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{(2 x-4)-0}{x-2}\)
[∵ f(x) = 2x – 4
f(2) = 4 – 4 = 0]

= Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 10 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 10.1 5 = 2. ……………(2)
(1), (2) ⇒ f'(2) ≠f'(2+)
∴ f(x)க்கு x = 2-ல் வகைமை இல்லை.

(ii) f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
3 x, & x<0 \\
-4 x, & x \geq 0
\end{array} ; x=0\right.\)

∴ f'(0) = \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{3 x-0}{x}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\) \(\frac{3x}{x}\) = 3 [f(x) = 3x] ………(1)

∴ f'(0+) = \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-4 x-0}{x}\)
[∵ f(x) = -4x-0f(0) = 4(0) = 0]
= \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\) \(-\frac{4x}{x}\) = -4
(1), (2) ⇒ f'(0) ≠ f'(0)
∴ f(x) க்கு x = 0 -ல் வகைமை இல்லை.

Question 5.
தரப்பட்டுள்ள ன் வரைபடத்தில் எந்தெந்தன் மதிப்புகளுக்கு (எண்களுக்கு) f வகைமை இல்லை என்பதனையும் அதற்கான காரணங்களையும் கூறுக.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 10 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 10.1 6
தீர்வு :
(i) வரைபடத்திலிருந்து x = -1-ல் வரைபடத்திற்கு கூர்முனை உள்ளது.
x=-1-ல் வகைமை இல்லை .

(ii) x = 4-ல் தொடர்ச்சியற்றது.
fக்கு x= 4-ல் வகைமை இல்லை.

(iii) x = 8-ல் வரைபடம் கூர்முனையில் சந்திக்கிறது.
ரிக்கு x = 8-ல் வகைமை இல்லை.

(iv) x = 11-ல் செங்குத்து தொடுகோடு அமைகிறது.
ரிக்கு x = 11-ல் வகைமை இல்லை.

Question 6.
f(x) = |x + 100| + x2 எனில், f'(-100) கிடைக்கப்பெறுமா எனச் சோதித்துப் பார்க்கவும்.
தீர்வு :
f(x) = |x + 100| + x2
∴ f'(-100) = \(\lim _{x \rightarrow-100^{-}} \frac{f(x)-f(-100)}{x-(-100)}\)

= \(\lim _{x \rightarrow-100^{-}} \frac{|x+100|+x^{2}-(-100)^{2}}{x+100}\)

[∵ f(x) = |x + 100| + x2
f(-100) = |-100 + 100| + (-100)2 = 1002]

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 10 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 10.1 9

= \(\lim _{x \rightarrow-100^{-}}\) (x – 101) = -201 ….(1)

∴ f'(-100) = Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 10 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 10.1 10
= \(\lim _{x \rightarrow-100^{+}}\) [1 + x -100] = -199 ……… (2)
(1), (2) ⇒ f (x) க்கு x = – 100-ல் வகைமை இல்லை .
⇒ f'(x) கிடைக்கப் பெறாது.

Question 7.
கீழ்க்காணும் சார்புகளின் வகைமைத் தன்மையைப் படங்கள் வரைந்து R -ல் பரிசோதிக்கவும்.
(i) |sinx|
(ii) |cos x|
தீர்வு :
(i) f(x) = |sin x|

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 10 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 10.1 7

f(x) = | sinx| க்கு செங்குத்து தொடுகோடு x = π, -π, 2π, -2π ஆகியவற்றில்.
∴ f(x) = | sin x |க்கு x = nπ, n ∈ Z-ல் வகைமை இல்லை.

(ii) f(x) = cos x|

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 10 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 10.1 8

f(x) = |cos x| க்கு, x = \(\frac{pi}{2}\), \(-\frac{pi}{2}\), \(3\frac{pi}{2}\), –\(3\frac{pi}{2}\), \(5\frac{pi}{2}\), –\(5\frac{pi}{2}\)ல் செங்குத்து தொடுகோடு உள்ளது.
∴ f(x) = |cos x|க்கு x = (2n + 1)\(\frac{pi}{2}\), n ∈ Z-ல் வகைமை இல்லை.