# Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.12

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 11.12 Textbook Questions and Answers, Notes.

## TN Board 11th Maths Solutions Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.12

பின்வரும் சார்புகளின் தொகைக் காண்க.

Question 1.
(i) $$\sqrt{x^{2}+2 x+10}$$

(ii) $$\sqrt{x^{2}-2 x-3}$$

(iii) $$\sqrt{(6-x)(x-4)}$$
தீர்வு :
(i) $$\sqrt{x^{2}+2 x+10}$$

I = ∫ $$\sqrt{x^{2}+2 x+10}$$ dx

= ∫ $$\sqrt{x^{2}+2 x+1-1+10}$$ dx

= ∫ $$\sqrt{(x+1)^{2}+9}$$ dx

= ∫ $$\sqrt{(x+1)^{2}+3^{2}}$$ dx

∫ $$\sqrt{x^{2}+a^{2}}$$ dx = ∫ $$\frac{x}{2}$$ $$\sqrt{x^{2}+a^{2}}$$ + $$\frac{a^{2}}{2}$$ log |x + $$\sqrt{x^{2}+a^{2}}$$| + c

∴ I = $$\frac{x+1}{2} \sqrt{x^{2}+2 x+10}$$ + $$\frac{9}{2}$$ log |x + 1 + $$\sqrt{x^{2}+2 x+10}$$| + c

(ii) $$\sqrt{x^{2}-2 x-3}$$

I = ∫ $$\sqrt{x^{2}-2 x-3}$$ dx என்க

= ∫ $$\sqrt{x^{2}-2 x+1-1-3}$$ dx
= ∫ $$\sqrt{(x-1)^{2}-4}$$ dx
= ∫ $$\sqrt{(x-1)^{2}-2^{2}}$$ dx
ஆனால் ∫ $$\sqrt{x^{2}-a^{2}}$$ dx = $$\frac{x}{2}$$ $$\sqrt{x^{2}-a^{2}}$$ – $$\frac{a^{2}}{2}$$ log |x + $$\sqrt{x^{2}-a^{2}}$$| + c

∴ I = $$\frac{x-1}{2} \sqrt{x^{2}-2 x-3}$$ – $$\frac{4}{2}$$ log |x – 1 + $$\sqrt{x^{2}-2 x-3}$$| + c

= $$\frac{x-1}{2} \sqrt{x^{2}-2 x-3}$$ – 2 log |x – 1 + $$\sqrt{x^{2}-2 x-3}$$| + c

(iii) $$\sqrt{(6-x)(x-4)}$$

I = ∫ $$\sqrt{(6-x)(x-4)}$$ dx என்க

= ∫ $$\sqrt{6 x-24-x^{2}+4 x}$$ dx

∴ I = ∫ $$\sqrt{-x^{2}+10 x-24}$$ dx

= ∫ $$\sqrt{-\left(x^{2}-10 x+24\right)}$$ dx

= ∫ $$\sqrt{-\left(x^{2}-10 x+25-25+24\right)}$$ dx

= ∫ $$\sqrt{-\left[(x-5)^{2}-1^{2}\right]}$$ dx

= ∫ $$\sqrt{1^{2}-(x-5)^{2}}$$ dx

∫ $$\sqrt{a^{2}-x^{2}}$$ dx = $$\frac{x}{2}$$ $$\sqrt{a^{2}-x^{2}}$$ + $$\sqrt{a^{2}-x^{2}}$$ sin-1 ($$\frac{x}{a}$$) + c

∴ I = $$\frac{x-5}{2} \sqrt{(6-x)(x-4)}+\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x-5}{1}\right)$$ + c

= $$\frac{x-5}{2} \sqrt{(6-x)(x-4)}+\frac{1}{2} \sin ^{-1}(x-5)$$ + c

Question 2.
(i) $$\sqrt{9-(2 x+5)^{2}}$$
தீர்வு :
I = ∫ $$\sqrt{9-(2 x+5)^{2}}$$ dx

t = 2x + 5 ⇒ dt = 2 dx ⇒ $$\frac{d t}{2}$$ = dx

∴ I = $$\sqrt{3^{2}-t^{2}}$$ $$\frac{d t}{2}$$

= $$\frac{1}{2}$$ ∫ $$\sqrt{3^{2}-t^{2}}$$ dt

= $$\frac{1}{2}$$ [$$\frac{t}{2}$$ $$\sqrt{3^{2}-t^{2}}$$ + $$\frac{9}{2}$$ sin-1 ($$\frac{t}{3}$$) + c

= $$\frac{1}{2}$$ [$$\frac{2 x+5}{2} \sqrt{9-(2 x+5)^{2}}$$ + $$\frac{9}{2}$$ sin-1 $$\left(\frac{2 x+5}{3}\right)$$] + c

= $$\frac{1}{4}$$ [(2x + 5) $$\sqrt{9-(2 x+5)^{2}}$$ + 9 sin-1 $$\left(\frac{2 x+5}{3}\right)$$] + c

(ii) $$\sqrt{81+(2 x+1)^{2}}$$
தீர்வு :
I = ∫ $$\sqrt{81+(2 x+1)^{2}}$$ dx என்க

t = 2x + 1 ⇒ dt = 2 . dx ⇒ $$\frac{d t}{2}$$ = dx

∴ I = ∫ $$\sqrt{9^{2}+t^{2}} \frac{d t}{2}$$

= $$\frac{1}{2} \int \sqrt{9^{2}+t^{2}}$$ dt

$$\int \sqrt{a^{2}+x^{2}} d x=\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \log \left|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right|+c$$

I = $$\frac{t}{2}$$ $$\sqrt{81+t^{2}}$$ + $$\frac{81}{2}$$ log |t + $$\sqrt{81+t^{2}}$$| + c

∴ I = $$\frac{1}{2}$$ ∫ $$\frac{2 x+1}{2} \sqrt{81+(2 x+1)^{2}}$$ + $$\frac{81}{2}$$ log |2x + 1 + $$\sqrt{81+(2 x+1)^{2}}$$|] + c

= ∫ $$\frac{1}{4}$$ [(2x + 1) $$\sqrt{81+(2 x+1)^{2}}$$ + 81 log |2x + 1 + $$\sqrt{81+(2 x+1)^{2}}$$|] + c

(iii) $$\sqrt{(x+1)^{2}-4}$$
தீர்வு :
I = ∫ $$\sqrt{(x+1)^{2}-4}$$ dx

= ∫ $$\sqrt{(x+1)^{2}-2^{2}}$$ dx என்க

t = x + 1 ⇒ dt = dx

I = ∫ $$\sqrt{t^{2}-2^{2}}$$ dt

∫ $$\sqrt{x^{2}-a^{2}}$$ dx = $$\frac{x}{2}$$ $$\sqrt{x^{2}-a^{2}}$$ – $$\frac{a^{2}}{2}$$ log |x + $$\sqrt{x^{2}-a^{2}}$$| + c

I = $$\frac{t}{2}$$ $$\sqrt{t^{2}-4}$$ – $$\frac{4}{2}$$ log|t + $$\sqrt{t^{2}-4}$$| + c

I = $$\frac{x+1}{2} \sqrt{(x+1)^{2}-4}$$ – 2 log |x + 1 + $$\sqrt{(x+1)^{2}-4}$$| + c