Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 11.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7

பின்வருவனவற்றின் தொகை காண்க.

Question 1.
(i) 9xe3x
(ii) x sin 3x
(iii) 25x e-5x
(iv) x sec xtan x
தீர்வு :
(i) 9xe3x
I = ∫ 9x. e3x dx என்க
u = 9x; dv = e3x dv
⇒ du = 9 dx; v = \(\frac{e^{3 x}}{3}\)

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7 1

∴ பகுதித் தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்தி

∫ u dv = uv- ∫ vdu
∫ 9xe3x dx = (9x) \(\frac{e^{3 x}}{3}\) – ∫ \(\frac{e^{3 x}}{3}\) . 9 dx
= 3xe3x – 3 ∫ e3x dx
= 3x e3x – 3 . \(\frac{e^{3 x}}{3}\) + c
= 3xe3x – e3x + c
= e3x (3x – 1) + c

(ii) x sin 3x
I = ∫ x sin 3x dx என்க
u = x;

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7 1

dv = sin 3x dx
⇒ du = dx; v = \(\frac{\cos 3 x}{3}\)
∴ பகுதித் தொகையிடல் முறையில்

∫ udv = uv – ∫ vdu
∫ x sin 3x dx = x \(\left(-\frac{\cos 3 x}{3}\right)+\int \frac{\cos 3 x}{3} d x\)

= -x \(\frac{\cos 3 x}{3}+\frac{\sin 3 x}{9}\) + c

(iii) 25xe-5x
I = ∫ 25x . e-5x dx என்க

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7 1

u = 25x;
dv = e-5x dx
⇒ du = 25 dx;
v = \(\frac{e^{-5 x}}{-5}\)

∴ பகுதித் தொகையிடல் முறையில்

∫ u dv = uv – ∫ v du
∫25 x e-5x dx = 25 x \(\frac{e^{-5 x}}{-5}\) + ∫ \(\frac{e^{-5 x}}{5}\) (25)

= -5xe-5x + 5 ∫ e-5x dx
= -5xe-5x + 5 \(\frac{e^{-5 x}}{-5}\) + c
= -5xe-5x – e-5x + c
= -e-5x(5x + 1) + c

(iv) x sec x tan x
I = ∫ x sec x tan x dx என்க
u = x;
dv = sec x tan x dx

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7 1

⇒ du = dx;
v = sec x
பகுதித் தொகையிடல் முறையில்
∫ u dv. = uv – ∫ v du
∫ x sec x tan x dx = x sec x – ∫ sec x dx
=x sec x-log |sec x + tan x|
[∵ ∫ sec x dx = log|sec x + tan x|]

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7

Question 2.
(i) x log x
(ii) 27 x2 e3x
(i) x2 cos x
(iv) x3 sinx
தீர்வு :
(i) x log x
I = ∫ x log x dx என்க
u = log x; dv = x dx
du = \(\frac{1}{x}\) dx; v = \(\frac{x^{2}}{2}\)

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7 1
∴ பகுதித் தொகையிடல் முறையில்
∫ udv = uv – ∫ v du
∫ x log x dx = \(\frac{x^{2}}{2}\) log x – ∫ \(\frac{x^{2}}{2}\) . \(\frac{1}{x}\) dx

= \(\frac{x^{2}}{2}\) log x – \(\frac{1}{2}\) ∫ x dx

= \(\frac{x^{2}}{2}\) log x – \(\frac{1}{2}\) \(\frac{x^{2}}{2}\) + c

= \(\frac{x^{2}}{2}\) log x – \(\frac{x^{2}}{4}\) + c

(il) 27 x2 e3x
I = ∫ 27 x2 e3x dx
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
∫ u dv = uv – u’v1 + u”v2 ………
∴ ∫ 27 x2 e3x dx = x2 . 9 . e3x – 2x(3 e3x) + 2(e3x) + c

= 9 x2 e3x – 6xe3x + 2e3x + c

= e3x (9x2 – 6x + 2) + c

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7 2

(iii) x2 cos x
I = ∫ x2 cos x dx
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
∫ u dv = uv – u’v1 + u”v2 …………..
= x2 sinx – 2x (-cos x) + 2(-sinx) + c
= x2 sin x + 2x cosx – 2sinx + c

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7 3

(iv) x3 sin x
I = ∫ x3 sin x dx
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
∫ u dv = uv – u’v1 + u”v2 + u”‘v3 ………….
= x3 (-cos x) – 3x2 (-sin x) + 6x (cos x) – 6 (sin x) + c
= – x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x – 6sin x + c

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7 4

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7

Question 3.
(i) \(\frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

(ii) x5 ex2

(iii) \(\tan ^{-1}\left(\frac{8 x}{1-16 x^{2}}\right)\)

(iv) \(\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)\)

குறிப்பு :
(i) ∫ \(\frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}\) dx என்க

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7 1

sin-1 x = t

⇒ \(\frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}\) = dt

மற்றும் x = sin t
∴ I = ∫ sin t t dt = ∫ t . sin t dt
u = t; dv = sin t dt
⇒ du = dt; v = -cos t
பகுதித் தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த
∫ u dv = uv – ∫ v du
⇒∫ t . sint dt = t (-cos t) + ∫ cos t dt
⇒ I = -t cos t + sin t + C
I = – sin-1 x . (\(\sqrt{1-x^{2}}\)) + x + c

(ii) x5 ex2
I = ∫ x5 ex2 dx
= ∫ x2 . x2 . x1 . ex2 dx
x2 = t ⇒ 2x dx = dt
⇒ x dx = \(\frac{d t}{2}\)
∴ I = ∫ t . t . et \(\frac{d t}{2}\)
= ∫ t2 et \(\frac{d t}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) ∫ t2 . et dt
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தின்படி
∫ u dv = uv – u’1 + u”v2 …………
∫ t2 . et dt = t2 et – 2tet + 2et + c
= et(t2 – 2t + 2) + c
= ex2(x4 – 2x2 + 2) + c [∵ t = x2]

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7 5

(iii) \(\tan ^{-1}\left(\frac{8 x}{1-16 x^{2}}\right)\)

I = ∫ \(\tan ^{-1}\left(\frac{8 x}{1-16 x^{2}}\right)\) dx

= ∫ \(\tan ^{-1}\left(\frac{2 \cdot 4 x}{1-(4 x)^{2}}\right)\) dx

4x = t ⇒ dx = \(\frac{d t}{4}\)

∴ I = \(\frac{1}{4}\) ∫ \(\tan ^{-1}\left(\frac{2 t}{1-t^{2}}\right)\) dt

t = tan θ ⇒ dt = sec2 θ dθ; θ = tan-1 (t)

∴ I = \(\frac{1}{4}\) ∫ \(\left(\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}\right)\) . sec2 θ. dθ

θ = tan-1 (t)

∴ I = \(\frac{1}{4}\) ∫ tan-1 \(\left(\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}\right)\) . sec2 θ . dθ

= \(\frac{1}{4}\) ∫ tan-1 (tan 2θ) sec2 θ dθ

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7 1

= \(\frac{1}{4}\) ∫ 2θ . sec2 θ dθ

I = \(\frac{1}{2}\) ∫ θ sec2 θ dθ

u = θ என்சு dv = sec2 θ dθ
⇒ du = dθ; v = tan θ

பகுதித்தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த

∫ u dv = uv + ∫ v du

∴ \(\frac{1}{2}\) ∫ θ sec2 θ dθ = \(\frac{1}{2}\) [θ tan θ – ∫ tan θ dθ]

= \(\frac{1}{2}\) [θ tan θ – log sec θ] + C
[∵ ∫ tan θ dθ = log |sec θ|]

= \(\frac{1}{2}\) [t tan-1 (t) – log |\(\sqrt{1+t^{2}}\) |] + C
[∵ θ = tan-1 t]

= \(\frac{1}{2}\) [4x tan-1 (4x) – log |\(\sqrt{1+(4 x)^{2}}\)|] + C

= \(\frac{1}{2}\) [4x tan-1 (4x) – log |\(\sqrt{1+16 x^{2}}\)|] + C [∵ t = 6x]

(iv) \(\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)\)

I = ∫ \(\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)\) dx என்க

x = tan θ ⇒ θ = tan-1 (x)

dx = sec2 θ dθ

I = ∫ sin-1 (\(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\)) sec2 θ dθ

= ∫ sin-1 (sin 2θ) . sec2 θ dθ

= ∫ 2θ sec2

u = 2θ; dv = sec2 θ dθ

du = 2 dθ; v = tan θ

∴ பகுதித்தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த

I = ∫ 2θ sec2 θ dθ = 2θ tan θ – ∫ 2 tan θ dθ
= 2θ tan θ – 2 log|sec θ| + C
= 2[x tan-1 x – log |\(\sqrt{1+x^{2}}\)| + C
[∵ sec θ = \(\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}=\sqrt{1+x^{2}}\)]