Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 11.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.7

பின்வருவனவற்றின் தொகை காண்க.

Question 1.
(i) 9xe^3x
(ii) x sin 3x
(iii) 25x e^-5x
(iv) x sec xtan x
தீர்வு :
(i) 9xe^3x
I = ∫ 9x. e^3x dx என்க
u = 9x; dv = e^3x dv
⇒ du = 9 dx; v = \(\frac{e^{3 x}}{3}\)

∴ பகுதித் தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்தி

∫ u dv = uv- ∫ vdu
∫ 9xe^3x dx = (9x) \(\frac{e^{3 x}}{3}\) – ∫ \(\frac{e^{3 x}}{3}\) . 9 dx
= 3xe^3x – 3 ∫ e^3x dx
= 3x e^3x – 3 . \(\frac{e^{3 x}}{3}\) + c
= 3xe^3x – e^3x + c
= e^3x (3x – 1) + c

(ii) x sin 3x
I = ∫ x sin 3x dx என்க
u = x;

dv = sin 3x dx
⇒ du = dx; v = \(\frac{\cos 3 x}{3}\)
∴ பகுதித் தொகையிடல் முறையில்

∫ udv = uv – ∫ vdu
∫ x sin 3x dx = x \(\left(-\frac{\cos 3 x}{3}\right)+\int \frac{\cos 3 x}{3} d x\)

= -x \(\frac{\cos 3 x}{3}+\frac{\sin 3 x}{9}\) + c

(iii) 25xe^-5x
I = ∫ 25x . e^-5x dx என்க

u = 25x;
dv = e^-5x dx
⇒ du = 25 dx;
v = \(\frac{e^{-5 x}}{-5}\)

∴ பகுதித் தொகையிடல் முறையில்

∫ u dv = uv – ∫ v du
∫25 x e^-5x dx = 25 x \(\frac{e^{-5 x}}{-5}\) + ∫ \(\frac{e^{-5 x}}{5}\) (25)

= -5xe^-5x + 5 ∫ e^-5x dx
= -5xe^-5x + 5 \(\frac{e^{-5 x}}{-5}\) + c
= -5xe^-5x – e^-5x + c
= -e^-5x(5x + 1) + c

(iv) x sec x tan x
I = ∫ x sec x tan x dx என்க
u = x;
dv = sec x tan x dx

⇒ du = dx;
v = sec x
பகுதித் தொகையிடல் முறையில்
∫ u dv. = uv – ∫ v du
∫ x sec x tan x dx = x sec x – ∫ sec x dx
=x sec x-log |sec x + tan x|
[∵ ∫ sec x dx = log|sec x + tan x|]

Question 2.
(i) x log x
(ii) 27 x² e^3x
(i) x² cos x
(iv) x³ sinx
தீர்வு :
(i) x log x
I = ∫ x log x dx என்க
u = log x; dv = x dx
du = \(\frac{1}{x}\) dx; v = \(\frac{x^{2}}{2}\)

∴ பகுதித் தொகையிடல் முறையில்
∫ udv = uv – ∫ v du
∫ x log x dx = \(\frac{x^{2}}{2}\) log x – ∫ \(\frac{x^{2}}{2}\) . \(\frac{1}{x}\) dx

= \(\frac{x^{2}}{2}\) log x – \(\frac{1}{2}\) ∫ x dx

= \(\frac{x^{2}}{2}\) log x – \(\frac{1}{2}\) \(\frac{x^{2}}{2}\) + c

= \(\frac{x^{2}}{2}\) log x – \(\frac{x^{2}}{4}\) + c

(il) 27 x² e^3x
I = ∫ 27 x² e^3x dx
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
∫ u dv = uv – u’v₁ + u”v₂ ………
∴ ∫ 27 x² e^3x dx = x² . 9 . e^3x – 2x(3 e^3x) + 2(e^3x) + c

= 9 x² e^3x – 6xe^3x + 2e^3x + c

= e^3x (9x² – 6x + 2) + c

(iii) x² cos x
I = ∫ x² cos x dx
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
∫ u dv = uv – u’v₁ + u”v₂ …………..
= x² sinx – 2x (-cos x) + 2(-sinx) + c
= x² sin x + 2x cosx – 2sinx + c

(iv) x³ sin x
I = ∫ x³ sin x dx
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
∫ u dv = uv – u’v₁ + u”v₂ + u”‘v₃ ………….
= x³ (-cos x) – 3x² (-sin x) + 6x (cos x) – 6 (sin x) + c
= – x³ cos x + 3x² sin x + 6x cos x – 6sin x + c

Question 3.
(i) \(\frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

(ii) x⁵ e^x2

(iii) \(\tan ^{-1}\left(\frac{8 x}{1-16 x^{2}}\right)\)

(iv) \(\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)\)

குறிப்பு :
(i) ∫ \(\frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}\) dx என்க

sin^-1 x = t

⇒ \(\frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}\) = dt

மற்றும் x = sin t
∴ I = ∫ sin t t dt = ∫ t . sin t dt
u = t; dv = sin t dt
⇒ du = dt; v = -cos t
பகுதித் தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த
∫ u dv = uv – ∫ v du
⇒∫ t . sint dt = t (-cos t) + ∫ cos t dt
⇒ I = -t cos t + sin t + C
I = – sin^-1 x . (\(\sqrt{1-x^{2}}\)) + x + c

(ii) x⁵ e^x2
I = ∫ x⁵ e^x2 dx
= ∫ x² . x² . x¹ . e^x2 dx
x² = t ⇒ 2x dx = dt
⇒ x dx = \(\frac{d t}{2}\)
∴ I = ∫ t . t . e^t \(\frac{d t}{2}\)
= ∫ t² e^t \(\frac{d t}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) ∫ t² . e^t dt
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தின்படி
∫ u dv = uv – u’₁ + u”v₂ …………
∫ t² . e^t dt = t² e^t – 2te^t + 2e^t + c
= e^t(t² – 2t + 2) + c
= e^x2(x⁴ – 2x² + 2) + c [∵ t = x²]

(iii) \(\tan ^{-1}\left(\frac{8 x}{1-16 x^{2}}\right)\)

I = ∫ \(\tan ^{-1}\left(\frac{8 x}{1-16 x^{2}}\right)\) dx

= ∫ \(\tan ^{-1}\left(\frac{2 \cdot 4 x}{1-(4 x)^{2}}\right)\) dx

4x = t ⇒ dx = \(\frac{d t}{4}\)

∴ I = \(\frac{1}{4}\) ∫ \(\tan ^{-1}\left(\frac{2 t}{1-t^{2}}\right)\) dt

t = tan θ ⇒ dt = sec² θ dθ; θ = tan^-1 (t)

∴ I = \(\frac{1}{4}\) ∫ \(\left(\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}\right)\) . sec² θ. dθ

θ = tan^-1 (t)

∴ I = \(\frac{1}{4}\) ∫ tan^-1 \(\left(\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}\right)\) . sec² θ . dθ

= \(\frac{1}{4}\) ∫ tan^-1 (tan 2θ) sec² θ dθ

= \(\frac{1}{4}\) ∫ 2θ . sec² θ dθ

I = \(\frac{1}{2}\) ∫ θ sec² θ dθ

u = θ என்சு dv = sec² θ dθ
⇒ du = dθ; v = tan θ

பகுதித்தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த

∫ u dv = uv + ∫ v du

∴ \(\frac{1}{2}\) ∫ θ sec² θ dθ = \(\frac{1}{2}\) [θ tan θ – ∫ tan θ dθ]

= \(\frac{1}{2}\) [θ tan θ – log sec θ] + C
[∵ ∫ tan θ dθ = log |sec θ|]

= \(\frac{1}{2}\) [t tan^-1 (t) – log |\(\sqrt{1+t^{2}}\) |] + C
[∵ θ = tan^-1 t]

= \(\frac{1}{2}\) [4x tan^-1 (4x) – log |\(\sqrt{1+(4 x)^{2}}\)|] + C

= \(\frac{1}{2}\) [4x tan^-1 (4x) – log |\(\sqrt{1+16 x^{2}}\)|] + C [∵ t = 6x]

(iv) \(\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)\)

I = ∫ \(\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)\) dx என்க

x = tan θ ⇒ θ = tan^-1 (x)

dx = sec² θ dθ

I = ∫ sin^-1 (\(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\)) sec² θ dθ

= ∫ sin^-1 (sin 2θ) . sec² θ dθ

= ∫ 2θ sec² dθ

u = 2θ; dv = sec² θ dθ

du = 2 dθ; v = tan θ

∴ பகுதித்தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த

I = ∫ 2θ sec² θ dθ = 2θ tan θ – ∫ 2 tan θ dθ
= 2θ tan θ – 2 log|sec θ| + C
= 2[x tan^-1 x – log |\(\sqrt{1+x^{2}}\)| + C
[∵ sec θ = \(\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}=\sqrt{1+x^{2}}\)]