Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.9

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 11.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 11 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 11.9

கீழ்க்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக..

Question 1.
e^x(tan x + log sec x)
தீர்வு :
I = ∫ e^x (tan x + log (sec x)) dx என்க
f(x) = log (sec x) என்க
⇒ f'(x) = \(\frac{1}{\sec x}\) tan x sec x
⇒ f'(x) = tan x
I ஆனது ∫ e^x (f'(x)+ f (x)) dx
= e^x × f(x) எனும் வடிவில் உள்ளது.
I = e^x log |sec xl + c

Question 2.
e^x \(\left(\frac{x-1}{2 x^{2}}\right)\)
தாவு:
I = ∫ e^x (tan x + log (sec x)) dx

= ∫ e^x (\(\frac{x}{2 x^{2}}-\frac{1}{2 x^{2}}\)) dx

= ∫ e^x (\(\frac{1}{2 x}-\frac{1}{2 x^{2}}\)) dx

f(x) = \(\frac{1}{2 x}\) = \(\frac{1}{2}\) x^-2 = \(\frac{-1}{2 x^{2}}\)

∴ I ஆனது ∫ e^x . \(\frac{1}{2 x}\) = \(\frac{e^{x}}{2 x}\) + c

Question 3.
e^x sec x{1 + tan x)
தாவு :
I =∫ e^x sec x{1 + tan x) dx
= ∫ e^x (sec x + sec x tan x) dx
f(x) = sec x
⇒ f'(x) = sec x tan x
∴ I ஆனது ∫ e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x . f (x)
எனும் வடிவில் உள்ளது.
∴ I = e^x. sec ^x + c.

Question 4.
e^x \(\left(\frac{2+\sin 2 x}{1+\cos 2 x}\right)\)
தாவு :
I = ∫ e^x \(\left(\frac{2+\sin 2 x}{1+\cos 2 x}\right)\) dx என்க

= ∫ e^x \(\left(\frac{2+2 \sin x \cos x}{2 \cos ^{2} x}\right)\) dx

= ∫ e^x (2 \(\frac{1+\sin x \cos x}{\mathcal{2} \cos ^{2} x}\)) dx

= ∫ e^x \(\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}+\frac{\sin x \cos x}{\cos ^{2} x}\right)\) dx

= ∫ e^x (sec² x + tan x) dx

∴ I ஆனது ∫ e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x . f(x)
எனும் வடிவில் உள்ளது.
∴ I = e^x . tan x + c

Question 5.
\(e^{\tan ^{-1} x}\left(\frac{1+x+x^{2}}{1+x^{2}}\right)\)
தாவு :
I = ∫ \(e^{\tan ^{-1} x}\left(\frac{1+x+x^{2}}{1+x^{2}}\right)\) dx என்க

t = tan^-1 x
⇒ dt = \(\frac{1}{1+x^{2}}\) dx and x = tan t என்க
∴ I = ∫ e^t (1 + tan t + tan² t) . dt

= ∫ e^t (1 + tan t + tan² t) dt

= ∫ e^t (sec² t + tan t) dt

f(t) = tan t ⇒ f'(t) = sec² t dt என்க

∴ I ஆனது I = ∫ e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t . f(t)
எனும் வடிவில் உள்ளது.

∴ I = e^t tan t
I = e^{tan-1 x} tan(tan^-1 x) [∵ t = tan^-1 x]

I = e^{tan-1 x} . x

I = x . e^{tan-1 x} + c

Question 6.
\(\frac{\log x}{(1+\log x)^{2}}\)
தாவு :
I = ∫ \(\frac{\log x}{(1+\log x)^{2}}\) dx என்க
t = log x ⇒ x = e^t என்க

dx = e^t dt
∴ I = ∫ \(\frac{t \cdot e^{t}}{(t+1)^{2}}\) dt

= ∫ \(\frac{(t+1-1) e^{t}}{(t+1)^{2}}\) dt

= ∫ \(\left[\frac{t+1}{(t+1)^{2}}-\frac{1}{(t+1)^{2}}\right]\) e^t dt

= ∫ \(\left(\frac{1}{t+1}-\frac{1}{(t+1)^{2}}\right)\) e^t dt

f(t) = \(\frac{1}{t+1}\) ⇒ f'(t) = \(\frac{-1}{(t+1)^{2}}\) dt என்க

ஆனது ∫ e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t . f(t) எனும் வடிவில் உள்ளது.

∴ I = e^t . f(t) + c = e^t (\(\frac{1}{t+1}\)) + c

= e^{log x} . \(\left(\frac{1}{\log |x|+1}\right)\) + c [∵ t = log x]

= x\(\left(\frac{1}{1+\log |x|}\right)\) + c