Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 12 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 12.3 Textbook Questions and Answers, Notes.
TN Board 11th Maths Solutions Chapter 12 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 12.3
Question 1.
இரு நிகழ்ச்சிகள் ஒரே சமயத்தில் ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள் மற்றும் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாக இருக்க இயலுமா?
தீர்வு :
இரு நிகழ்ச்சிகள் ஒரே சமயத்தில் ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகளாவும் மற்றும் சார்பிலா நிகழச்சிகளாக இருக்க இயலாது.
P(A∩B) = 0 (ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள்)
P(A∩B) = P(A). P(B) (சார்பிலா நிகழச்சிகள்)
Question 2.
A மற்றும் B என்ற இரு நிகழச்சிகளுக்கு P(A∪B) = 0.7, P(A∩B) = 0.2 மற்றும் P(B) = 0.5, எனில் A மற்றும் B சார்பிர நிகழ்ச்சிகள் எனக்காட்டுக.
தீர்வு :
P(A∪B) = 0.7, P(A∩B) = 0.2,
P(B) = 0.5
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
0.7 = P(A) + 0.5 – 0.2
⇒ 0.7 = P(A) + 0.3
⇒ P(A) = 0.7 – 0.3 = 0.4
P(A). P(B) = (0.4) (0.5)
= 0.20 மற்றும்
P(A∩B) = 0.2
⇒ P(A∩B) = P(A) . P(B) எனவே A, B சார்பிலா நிகழச்சிகள் ஆகும்.
Question 3.
A மற்றும் B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகவும் P(A∪B) = 0.6, P(A) = 0.2 எனில் P(B) காண்க.
தீர்வு :
A, B சார்பிலா நிகழச்சிகள்
⇒ P(A∩B) = P(A) . P(B) ………..(1)
மேலும் P(A∪B) = 0.6, P(A) = 0.2
இங்கு P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
⇒ 0.6 = 0.2 + P(B) – P(A) P(B)
⇒ 0.6 – 0.2 = P(B) – 0.2 P(B)
⇒ 0.4 = P(B) [1 – 0.2]
⇒ 0.4 = P(B) [0.8]
⇒ P(B) = \(\frac{0.4}{0.8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\) = 0.5
ஆகையால் P(B) = 0.5
Question 4.
P(A) = 0.5, P(B) = 0.8 மற்றும் P(B/A) = 0.8, எனில் P(A/ B) மற்றும் P(A∪B) காண்க.
தீர்வு :
P(A) = 0.5, P(B) = 0.8
P(B/A) = 0.8
P(B/A) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
⇒ 0.8 = \(\frac{P(A \cap B)}{0.5}\)
⇒ P(A∩B) = (0.8) (0.5) = 0.4
(i) P(A/B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
= \(\frac{0.4}{0.8}=\frac{1}{2}\) = 0.5
(ii) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 0.5 + 0.8 – 0.4
= 1.3 – 0.4 = 0.9
Question 5.
A ,B என்ற நிகழ்ச்சிகளுக்கு P(A) = \(\frac{3}{4}\), P(B) = \(\frac{2}{5}\) மற்றும் A∪B = S (கூறுவெளி) எனில் சார்புநிலை நிகழ்தகவு காண்க.
தீர்வு :
P(A) = \(\frac{3}{4}\), P(B) = \(\frac{2}{5}\)
(A∪B) = S
⇒ P(A∪B) = P(S) = 1
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P (A∩B)
⇒ 1 = \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{2}{5}\) – P(A∩B)
P(A∩B) = \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{2}{5}\) – 1
= \(\frac{15+8-20}{20}=\frac{23-20}{20}\)
∴ P(A∩B) = \(\frac{3}{20}\)
P(A/B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
= \(\frac{\frac{3}{20}}{\frac{2}{5}}\)
= \(\frac{3}{20} \times \frac{5}{2}=\frac{3}{8}\)
Question 6.
கணிதவியலில் ஒரு வினாவானது மூன்று மாணவர்களிடம் தீர்வு காண்பதற்காக கொடுக்கப்படுகிறது. அவர்கள் தனித்தனியே
தீர்ப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), மற்றும் \(\frac{1}{5}\)
(i) அந்த வினா தீர்வு கண்டதற்கான நிகழ்தகவு யாது?
(ii) சரியாக ஒருவர் மட்டுமே அந்த வினாவிற்குத் தீர்வு காண்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?
தீர்வு :
P(A) தீர்வு காண்பது) = P(A) = \(\frac{1}{3}\)
P(A தீர்வு காணாதது) = P(\(\overline{\mathrm{A}}\))
= 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
P(B தீர்வு காண்பது) = P(B) = \(\frac{1}{4}\)
P(B தீர்வு காணாதது) = P(\(\overline{\mathrm{B}}\))
= 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
P(C தீர்வு காண்பது) = \(\frac{1}{5}\)
P (C தீர்வு காணாதது) = P(\(\overline{\mathrm{C}}\))
=1 – \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{4}{5}\)
P (எவரும் தீர்வு காணாதது) = P(\(\overline{\mathrm{A}}\) Q\(\overline{\mathrm{B}}\) O\(\overline{\mathrm{C}}\))
= P(\(\overline{\mathrm{A}}\)) . P(\(\overline{\mathrm{B}}\)) . P(\(\overline{\mathrm{C}}\))
= \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{2}{5}\)
∴ P (தீர்வு காண்பது) = 1 – \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{3}{5}\)
(ii) P (ஒருவர் மட்டும் தீர்ப்ப து)
Question 7.
பெட்ரோல் நிரப்பப்பட்ட ஒரு மகிழ்வுந்துக்கு எண்ணெய் மாற்ற நிகழ்தகவு 0.30, எண்ணெய் வடிப்பான் மாற்ற நிகழ்தகவு 0.4, எண்ணெய் மற்றும் எண்ணெய் வடிப்பான் இரண்டையும் மாற்ற நிகழ்தகவு 0.15.
(i) எண்ணெய் மாற்றப்பட வேண்டும் என்றால் ஒரு புதிய எண்ணெய்வடிப்பான் தேவைப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
(ii) புதிய எண்ணெய் வடிப்பான் தேவைப்பட்டால், எண்ணெய் மாற்றப்பட வேண்டியதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
தீர்வு :
B ( பெட்ரோல் நிரப்பப்பட்ட மகிழ்வுந்திற்கு எண்ணெய் மாற்றுவது)
⇒ P(B) = 0.30
E1 (எண்ணெய் வடிப்பான் தேவைப்படுவது)
⇒ P(E1) = 0.40
∴ P(B∩E1) = 0.15
(i) எண்ணெய் மாற்றப்படவேண்டும் என்றால் ஒரு புதிய எண்ணெய் வடிப்பான் தேவைக்கான நிகழ்கவு –
= P(E1/B)
= \(\frac{P\left(E_{1} \cap B\right)}{P(B)}=\frac{0.15}{0.30}=\frac{1}{2}\)
= 0.5
(ii) எண்ணெய் வடிப்பான் தேவைப்பட்டால் எண்ணெய் மாற்றப்பு தேவைக்கான நிகழ்தகவு
= P(B/E1)
= \(\frac{P\left(B \cap E_{1}\right)}{P\left(E_{1}\right)}=\frac{0.15}{0.40}\)
= 0.375
Question 8.
ஒரு பையில் 5வெள்ளை மற்றும் 3 கருப்பு நிறப்பந்துகள் உள்ளன. மற்றொரு பையில் 4 வெள்ளை மற்றும் 6 கருப்பு நிறப் பந்துகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு கையிலிருந்தும் ஒரு பந்து எடுக்கப்படுகிறது எனில்,
(i) இரண்டும் வெள்ளை நிறப்பந்துகள்.
(ii) இரண்டும் கருப்பு நிறப்பந்துகள்.
(iii) ஒரு வெள்ளை மற்றும் ஒரு கருப்புப் பந்து கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவுகள் காண்க.
தீர்வு :
(i) I = A (5 வெள்ளை 3 கருப்பு பந்துகள்) = 5 + 3 = 8
II = B (4 வெள்ளை 6 கருப்பு பந்துகள்) = 4 + 6 = 10
∴ P (I பையிலிருந்து வெள்ளைபந்து) = \(\frac{5}{8}\)
P(II பையிலிருந்து வெள்ளை) = \(\frac{4}{10}\)
∴ தேவையான நிகழ்தகவு = \(\frac{5}{8}\) × \(\frac{4}{10}\)
= \(\frac{20}{80}\) = \(\frac{1}{4}\)
(ii) P(I பை கருப்பு பந்து) = \(\frac{3}{8}\)
P (II பை கருப்பு பந்து) = \(\frac{6}{10}\)
ஃதேவையான நிகழ்தகவு = \(\frac{3}{8}\) × \(\frac{6}{10}\)
= \(\frac{18}{80}\) = \(\frac{9}{40}\)
(iii) P (I பை வெள்ளை பந்தும் II பை கருப்பு பந்தும்) + P (1 பை கருப்பு பந்தும் II வெள்ளைப் பந்தும்)
Question 9.
ஒரு வகுப்பில் \(\frac{2}{3}\) பங்கு மாணவர்களும், மீதம் மாணவியர்களும் உள்ளனர். ஒரு மாணவி முதல் தரத்தில் தேர்ச்சிப் பெற நிகழ்தகவு 0.85 மற்றும் மாணவர் முதல் தரத்தில் தேர்ச்சிப் பெற நிகழ்தகவு 0.70. சமவாய்ப்பு முறையில் ஒருவர் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால் அவரின் முதல் தரத்தில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு யாது?
தீர்வு :
P (மாணவர் தேர்வு) = \(\frac{2}{3}\)
P (மாணவி தேர்வு) = \(\frac{1}{3}\)
P (மாணவன் 1 வகுப்பு) = 0.70
P ( மாணவி வகுப்பு) = 0.85
P(I தரத்தில் தேர்வு பெறுபவர்) = P (மாணவன்) × P (I வகுப்பு மாணவன்) + P (மாணவி) × P (I வகுப்பு மாணவி)
= \(\frac{2}{3}\) × 0.70 + \(\frac{1}{3}\) × 0.85
= \(\frac{1.4}{3}\) + \(\frac{0.85}{3}\)
= \(\frac{2.25}{3}\) = 0.75
Question 10.
P(A) = 0.4 மற்றும் P(AUB)= 0.7 எனில் P(B)-ஐ கீழ்க்காணும் நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டுக் காண்க.
(i) A மற்றும் B ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள்
(ii) A மற்றும் B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள்
(iii) P(A/B) = 0.4
(iv) P(B/A) = 0.5
தீர்வு :
P(A) = 0.4, P (A∪B) = 0.7
(i) A, B ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள்
∴ P(A∩B) = 0
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P (A∩B)
⇒ 0.7 = 0.4 + P(B) – 0
⇒ P(B) = 0.7 – 0.4
⇒ P(B) = 0.3
(ii) A, B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள்
P(A∩B) = P(A) . P(B)
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
⇒ 0.7 = 0.4 + P(B) – P(A).P(B)
⇒ 0.7 – 0.4 = P(B) [1 – P(A)]
⇒ 0.3 = P(B) [1 – 0.4)
⇒ 0.3 = P(B) (0.6)
⇒ P(B) = \(\frac{0.3}{0.6}\)
⇒ P(B) = 0.5
(iii) P(A/B) = 0.4
P(A/B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
⇒ 0.4 = \(\frac{P(A)+P(B)-P(A \cup B)}{P(B)}\)
[∵ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)]
⇒ = \(\frac{0.4+\mathrm{P}(\mathrm{B})-0.7}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}\)
⇒ 0.4 P(B) = P(B) – 0.3
⇒ 0.3 = P(B) – (0.4)
⇒ P(B) 0.3 = P(B)[1 – 0.4]
⇒ P(B) = \(\frac{0.3}{0.6}\)
⇒ P(B) = 0.5
(iv) P(B/A) = 0.5
⇒ P(B/A) = \(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}\)
⇒ 0.5 = \(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})}{0.4}\)
(0.5)(0.4) = 0.4 + P(B) – 0.7
⇒ 0.2 = P(B) – 0.3
⇒ P(B) = 0.2 + 0.3
⇒ P(B) = 0.5
Question 11.
சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு வருடம் தேர்ந்தெடுக்கப் படுகிறது. அது
(i) 53 ஞாயிற்றுகளைக் கொண்டதாக இருப்பதன் நிகழ்தகவு யாது?
(ii) 53 ஞாயிற்றுகளைக் கொண்ட ஒரு லீப் வருடமாக கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?
தீர்வு :
(i) 1 வருடம் = 365 நாட்கள் = 52 வாரங்கள் + 1 நாள் அந்த 1 நாள் ஞாயிறு, திங்கள், செவ்வாய், புதன், வியாழன், வெள்ளி, சனி என ஏதேனும் 1 கிழமையில் வரும்.
∴ n(S) = 7, n(A) = 1
* P(A) = \(\frac{n(\mathrm{~A})}{n(\mathrm{~S})}\) = \(\frac{1}{7}\)
சமவாய்ப்பு முறையில்
சாதாரண வருட நிகழ்தகவு = \(\frac{3}{4}\)
லீப் வருட நிகழ்தகவு = \(\frac{1}{4}\)
∴ தேவையான நிகழ்தகவு = \(\frac{3}{4} \times \frac{1}{7}+\frac{1}{4} \times \frac{2}{7}=\frac{3}{28}+\frac{2}{28}=\frac{5}{28}\)
(ii) ஒரு லீப் வருடத்தில் 53 ஞாயிற்றுக்கிழமைகள் கிடைப்பது.
ஒரு லீப் வருடத்தின் 366 நாட்கள் = 52 வாரங்கள் + 2 நாட்கள்
அந்த மீதி 2 நாட்கள் ஞாயிறு & திங்கள், திங்கள் & செவ்வாய், செவ்வாய் & புதன், புதன் & வியாழன், வியாழன் & வெள்ளி, வெள்ளி & சனி, சனி & ஞாயிறு என்ற 7 நிகழ்வுகளாக இருக்கும் நிகழ்வு B-ஞாயிற்றுக்கிழமை வரும் நிகழ்வு.
∴ n(S) = 7, n (B) = 2
∴ P(B) = \(\frac{2}{7}\)
லீப் வருடத்தில் 53 ஞாயிற்றுக்கிழமைகள் வருவதற்கான நிகழ்தகவு = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{2}{7}\)
= \(\frac{1}{14}\)
Question 12.
ஒரு இலக்கை குறிபார்த்து சுடும் போது 4 ல் 3 முறை X-ம், 5 இல் 4 முறை Y-ம், 3-ல் 2 முறை Z-ம் சரியாக இலக்கைச் சுடுகின்றனர். மூவரும் அந்த இலக்கைச் சுடும்போது சரியாக இருவர் மட்டுமே சுடுவதற்கான நிகழ்தகவு யாது?
தீர்வு :
P(X சுடும் நிகழ்தகவு) = P (X) = \(\frac{3}{4}\)
∴ P(\(\overline{\mathrm{X}}\)) = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
P(Y சுடும் நிகழ்தகவு) = P(Y)= \(\frac{4}{5}\)
⇒ P(\(\overline{\mathrm{Y}}\)) = 1 – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
P(Z சுடும் நிகழ்தகவு) = P(Z) = \(\frac{2}{3}\)
⇒ P(\(\overline{\mathrm{Z}}\)) = 1 – \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)
P(இருவர் மட்டும் சரியாக சுடும் நிகழ்தகவு )
= P(X∩Y∩\(\overline{\mathrm{Z}}\)) + P(X∩\(\overline{\mathrm{Y}}\)∩ Z) + P(\(\overline{\mathrm{X}}\)∩Y∩z)
= P(X) . P(Y) . P(\(\overline{\mathrm{Z}}\)) + P(X). P(\(\overline{\mathrm{Y}}\)) . P(Z) + P(\(\overline{\mathrm{X}}\)) . P(Y) . P(Z)
= \(\frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{3}+\frac{3}{4} \times \frac{1}{5} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{3}\)
= \(\frac{12+6+8}{60}\)
= \(\frac{26}{60}\) = \(\frac{13}{30}\)