Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 2 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 2.9

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 2 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 2.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 2 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 2.9

கேள்வி 1.
\(\frac{1}{x^{2}-a^{2}}\)
தீர்வு:

⇒ 1 = A(x – a) + B (x + a) …. (1)
x = a என 1- ல் பிரதியிட
1 = B(2a) ⇒ B = \(\frac{1}{2 a}\)
x = – a என 1ல் பிரதியிட
1 = A(-2a) ⇒ A = –\(\frac{1}{2 a}\)

கேள்வி 2.
\(\frac{3 x+1}{(x-2)(x+1)}\)
தீர்வு:

⇒ 3x + 1 = A(x + 1) + B(x – 2) ….. (1)
x = -1 என (1)- ல் பிரதியிட
-3 + 1 = B(- 3)
⇒ B = \(\frac{2}{3}\)
x = 2 என (1)-ல் பிரதியிட
6 + 1 = A(2 + 1)
⇒ A = \(\frac{7}{3}\)

கேள்வி 3.
\(\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)(x-1)(x+2)}\)
தீர்வு:

⇒ x = (Ax + B) (x – 1) (x + 2) + c(x² + 1) (x + 2) + D(x² + 1)(x – 1) …. (1)
x = 1 என (1)-ல் பிரதியிட
1 = C(2)(3)
⇒ c = \(\frac{1}{6}\)
x = -2 என (1)-ல் பிரதியிட
-2 = D{5)(-3)
⇒ D = \(\frac{2}{15}\)
x = 0 என (1) – ல் பிரதியிட
⇒ 0 = B(-1)(2) + C(1)(2) + D(1)(-1)
⇒ 0 = -2B + 2C – D
⇒ 0 = -2B + 2\(\left(\frac{1}{6}\right)-\frac{2}{15}\)

கேள்வி 4.
\(\frac{x}{(x-1)^{3}}\)
தீர்வு:

x = A(x – 1)² + B(x – 1) + C ….. (1)
x = 1 என (1) ல் பிரதியிட
1 = C
x = 0 என (1) ல் பிரதியிட
0 = A – B + C
⇒ 0 = A – B + 1
⇒ A – B = -1 ….. (2)
x²-ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த
0 = A
A = 0 என (2) ல் பிரதியிட
0 – B = -1 ⇒ B = 1
∴ \(\frac{x}{(x-1)^{3}}=\frac{0}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{(x-1)^{3}}\)
= \(\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{(x-1)^{3}}\)

கேள்வி 5.
\(\frac{1}{\left(x^{4}-1\right)}\)
தீர்வு:

1 = (Ax + B)(x + 1)(x – 1) + C(x² + 1)(x – 1) + D(x² + 1)(x + 1) ….. (1)
x = 1 என (1)-ல் பிரதியிட
= \(\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)(x-1)}\)
1 = D(2)(2) ⇒ D = \(\frac{1}{4}\)
x = -1 என (1)-ல் பிரதியிட
1 = C(2)(-2) ⇒ c = \(\frac{-1}{4}\)
x³-ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த
0 = A + C + D ⇒ A = – C – D

கேள்வி 6.
\(\frac{(x-1)^{2}}{x^{3}+x}\)
தீர்வு:
\(\frac{(x-1)^{2}}{x\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}\)
⇒ x = (x – 1)² = A(x² + 1) + (Bx + C)x ….. (1)
x = 0 என (1) -ல் பிரதியிட
1 = A
x = 1 என (1) -ல் பிரதியிட
0 = A(2) + (B + C)1
⇒ 0 = 2A + B + C ….. (2)
x²-உன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த
1 = A + B ⇒ 1 = 1 + B
⇒ B = 0
A = 1,
B = 0 என (2)-ல் பிரதியிட
0 = 2 + 0 + C ⇒ C = -2
∴ \(\frac{(x-1)^{2}}{x^{3}+x}=\frac{1}{x}+\frac{0 x-2}{x^{2}+1}\)
⇒ \(\frac{(x-1)^{2}}{x^{3}+x}=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}+1}\)

கேள்வி 7.
\(\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-5 x+6}\)
தீர்வு:
= \(\frac{x^{2}+x+1}{(x-3)(x-2)}\)
தொகுதி, பகுதிகளின் படி சமம் என்பதால் தொகுதியை பகுதியால் வகுப்போம்.

6x – 5 = A(x – 2) + B (x – 3) ….(2)
x = 2 என (2) ல் பிரதியிட
7 = B(-1) ⇒ B = -7
x = 3 என (2)-ல் பிரதியிட
13 = A(1) ⇒ A = 13
∴ \(\frac{6 x-5}{x^{2}-5 x+6}=\frac{13}{x-3}-\frac{7}{x-2}\)
– இதை (1) ல் பிரதியிட
\(\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-5 x+6}=1+\frac{13}{x-3}+\frac{7}{x-2}\)

கேள்வி 8.
\(\frac{x^{3}+2 x+1}{x^{2}+5 x+6}\)
தீர்வு:
தீங்கு தொகுதியின் படி பகுதியின் படியை விட அதிகமாக இருப்பதால் தொகுதியை பகுதிகளால் வகுப்போம்

⇒ 2|x + 3| = A (x + 2) + B (x + 3) ….. (2)
x = -2 என (2)-ல் பிரதியிட
-11 = B(1) ⇒ B = -11
x = -3 என (2)-ல் பிரதியிட
– 32 = A (-1) ⇒ A = 32
21x+31 32 -11

இதை (1) ல் பிரதியிட நமக்கு கிடைப்பது.
⇒ \(\frac{x^{3}+2 x+1}{x^{2}+5 x+6}\) = (x – 5) + \(\frac{32}{x+3}-\frac{11}{x+2}\)

கேள்வி 9.
\(\frac{x+12}{(x+1)^{2}(x-2)}\)
தீர்வு:
\(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{x-2}\)
⇒ x + 12 = A(x + 1)(x – 2) + B(x – 2) + C(x + 1)² …(1)
x = -1 என (1)-ல் பிரதியிட
11 = B(-3)
⇒ B = \(\frac{-11}{3}\)
x = 2 என (1)-ல் பிரதியிட
14 = C(9)
⇒ c = \(\frac{14}{9}\)
x²-ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த
0 = A+ c
⇒ A = \(\frac{-14}{9}\)
∴ \(\frac{x+12}{(x+1)^{2}(x-2)}=\frac{-14}{9(x+1)}-\frac{11}{3(x+1)^{2}}+\frac{14}{9(x-2)}\)

கேள்வி 10.
\(\frac{6 x^{2}-x+1}{t^{3}+x^{2}+x+1}\)
தீர்வு:

⇒ 6x² – x + 1 = (Ax + B) (x + 1) + C (x² + 1) …… (1)
x = -1 என (1)-ல் பிரதியிட
6 + 1 + 1 = C(1 + 1) ⇒ C = 4
x²-ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த
6 = A + C = A + 4 ⇒ A = 2
x = 0 என (1) ல் பிரதியிட
1 = B + C ⇒ B + 4 = 1
⇒ B = -3

கேள்வி 11.
\(\frac{2 x^{2}+5 x-11}{x^{2}+2 x-3}\)
தீர்வு:
இங்கு பகுதி, தொகுதியின் படிகள் சமம். தொகுதியை பகுதியால் வகு.

⇒ ∴ x – 5 = A (x – 1) + B (x + 3) …..(2)
x = 1 என (2) ல் பிரதியிட
-4 = B(4) ⇒ B = -1
x = -3 என (2) ல் பிரதியிட
∴ \(\frac{x-5}{x^{2}+2 x-3}=\cdot \frac{2}{x+3}-\frac{1}{x-1}\)
இதை (1)ல் பிரதியிட்ட
⇒ \(\frac{2 x^{2}+5 x-11}{x^{2}+2 x-3}\) = 2 + \(+\frac{2}{x+3}-\frac{1}{x-1}\)

கேள்வி 12.
\(\frac{7+x}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)}\)
தீர்வு:

⇒ x + 7 = A (x² + 1) + (Bx + C) (x + 1) ……(1)
x = -1 என (1) ல் பிரதியிட.
6 = A(2) ⇒ A = 3
x²-ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த
0 = A + B = B = -3
x = 0 என 1-ல் பிரதியிட
7 = A + c ⇒ c = 4