Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1

   

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1

கேள்வி 1.
கொடுக்கப்பட்ட கோணங்கள் எந்தக் காற்பகுதியில் அமையும் என்பதைக் காண்க.
(i) 25°
(ii) 825°
(iii) -55°
(iv) 328°
(v) -230°
தீர்வு:
(i) 25° = முதல் காற்பகுதியில் அமையும்.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 1

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1

(ii) 825°
825° = 2 × 360° + 105° = (2 × 360°) + (90°+ 15°)= இரண்டாம் காற்பகுதியில் அமையும்.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 2

(iii) – 55° = நான்காம் காற்பகுதியில் அமையும்.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 3

(iv) 328°
328° = 270° + 58° = நான்காம் காற்பகும் அமையும்.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 4

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1

(v) -230°
-230° = -180° + (-50°) = இரண் காற்பகுதியில் அமையும்.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 5

கேள்வி 2.
0 ≤ θ ≤ 360°-ல் கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு
கோணத்திற்கான இணை முனையக் கோணத்தை காண்க.
(i) 395°
(ii) 525°
(iii) 1150°
(iv) -270°
(V) -450
தீர்வு:
(i) 395° = 360° + 350
⇒ 395° – 35° = 360°
∴ 395°-க்கான இணை முனையக் கோணம் = 35°

(ii) 525
525 = 360° + 165°
⇒ 525° – 165° = 360°
∴ 525°-க்கான இணை முனையக் கோணம் = 165°

(iii)1150°
⇒ 1150° = 360° + 360° + 360° + 70°
∴ 1150°-க்கான இணை முனையக் கோணம் =70°

(iv)-270″
⇒ -270° =-360° + 900
⇒ -270° – 90° = -360°
∴ -270°-க்கான இணை முனையக் கோணம் = 90°

(v) -450°
⇒ -450° =-720° + 2700
⇒ -450° -270° =-7200
∴ 450° – க்கான இணை முனையக் கோணம் = 270°

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1

கேள்வி 3.
a cos θ – b sin θ = c எனில், a sin θ + b cos θ = ±\(\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}\) என்பதை நிறுவுக.
தீர்வு:
a cos θ – b sin θ = c எனத் தரப்பட்டுள்ளது
– (a cos θ – b sin θ)2 = (c)2
⇒ a2 cos2 θ + b2 sin2 θ – 2ab cos θ sin θ = C2
⇒ a2 (1 – sin2θ) + b2(1 – cos2θ) – 2ab cos θ sin θ = c2
⇒ a2 – a2 sin2θ + b2 cos2 θ – 2ab cos θ sin θ = c2
⇒ – a2 sin2 θ – b2 cos2 θ – 2ab cos θ sin θ = c2 – a2 – b2
⇒ a2 sin2 θ + b2 cos2 θ + 2ab cos θ sin θ = a2 + b2 – c2
⇒ (a sin θ + b cos θ) = a2 + b2 – c2
⇒ a sin θ + b cos θ = ±\(\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}\)

கேள்வி 4.
sin θ + cos θ = m னெல், cos6θ + sin6θ = \(\frac{4-3\left(m^{2}-1\right)^{2}}{4}\) என நிறுவுக. (இங்கு m2 ≤ 2)
தீர்வு:
sin θ + cos θ = m என த் தரப்பட்டுள்ளது
LHS = cos6θ + sin6θ
= (cos2θ)3 + (sin2θ)3
∴ (a + b)3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
= (cos2θ + sin2θ)
(cos4θ – cos2θ sin2θ + sin4θ)
= 1 (cos4θ – cos2θ sin2θ + sin4θ) [∵ cos2θ + sin2θ = 1]
= (cos2θ)2 + (sin2θ)2 – 3cos2θ sin2θ) [∵ a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab]
= 1 – 3 sin2θ cos2θ
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 6

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1

கேள்வி 5.
\(\frac{\cos ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \beta}+\frac{\sin ^{4} \alpha}{\sin ^{2} \beta}\) = 1, எனில்,
(i) sin4α + sin4β = 2 sin2α sin 2β
(ii) \(\frac{\cos ^{4} \beta}{\cos ^{2} \alpha}+\frac{\sin ^{4} \beta}{\sin ^{2} \alpha}\) = 1 என நிறுவக.
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 7
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 8

(i) sin4α + sin4β = 2 sin2α sin 2β
LHS = sin4α + sin4β
= (sin2α sin2β)2 + 2 sin2α sin2β
[∵ sin2α = sin2β]
(மேற்கண்ட சமன்பாடு (2) – இல் இருந்து)
LHS = 2 sin2α sin2β = RHS
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

(ii) \(\frac{\cos ^{4} \beta}{\cos ^{2} \alpha}+\frac{\sin ^{4} \beta}{\sin ^{2} \alpha}\) = 1
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 9

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1

கேள்வி 6.
y = \(\frac{2 \sin \alpha}{1+\cos \alpha+\sin \alpha}\) எனில், \(\frac{1-\cos \alpha+\sin \alpha}{1+\sin \alpha}\) = y என நிறுவுக.
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 11
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 10

கேள்வி 7.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 12
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 14
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 15
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 16
∴ x + y + z = xyz எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1

கேள்வி 8.
tan2θ = 1 – k2 எனில், sec θ + tan3θ cosec θ =(2 – k2)3/2 என நிறுவுக. மேலும் இவற்றை நிறைவு செய்யும் k இன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 17
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 18

கேள்வி 9.
sec θ + tan θ = p எனில், sec θ, tan θ, பற்றும் sin θ ஆகியவற்றின் மதிப்பை p இன் வாயிலாகக் காண்க.
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 13

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1

கேள்வி 10.
cot θ (1 + sin θ) = 4 m பிற்றும் cot θ (1 – sin θ) = 4n எனில், (m2 – n2)2 = mn என நிறுவுக.
தீர்வு:
cot θ(1 + sin θ) = 4m
⇒ cot θ + cot θ sin θ = 4m
⇒ cot θ – cot θ sin θ = 4n
⇒ cot θ + \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) × sin θ = 4m
⇒ cot θ – \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) × sin θ = 4n
⇒ cot θ + cos θ = 4m ……. (1)
cot θ – cos θ = 4n …….(2)
(1), (2) ஐ வர்க்கப்படுத்தி (1)-லிருந்து (2) ஐக் கழிக்க
(cot θ + cos θ)2 – (cot θ – cos θ)2 = (4m)2 – (4n)2 cot2θ + 2 cot θ ∙ cos θ + cos2θ – (cot2θ – 2 cot θ cos θ + cos2 θ) – 16(m2 – n2)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 19

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1

கேள்வி 11.
cosec θ – sin θ = a3 பிற்றும் sec θ – cos θ = b3 எனில், a2b2 (a2 + b2) = 1 என நிறுவுக.
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 20
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 21

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1

கேள்வி 12.
a sec θ – c tan θ = b பிற்றும் b sec θ + d tan θ = c ஆகிய சமன்பாடுகளிலிருந்து θ ஐ நீக்குக.
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 22
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 3 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 3.1 23