Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 4 சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் Ex 4.1

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 4 சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் Ex 4.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 4 சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் Ex 4.1

கேள்வி 1.
(i) ஒருவர் இரவு விருந்திற்காக ஒரு உணவு விடுதிக்கு சென்றார். அங்கிருந்த உணவு பட்டியலில் 10 இந்திய மற்றும் 7 சீன உணவு வகைகள் இருந்தன. ஒரு இந்திய அல்லது ஒரு சீன உணவை அவர் எத்தனை வகைகளில் தேர்ந்தெடுக்க முடியும்?
தீர்வ:
ஒருவர் 10 இந்திய உணவை 10 வழியிலும் 7 சீன உணவை 7 வழியிலும் தேர்வு செய்ய முடியும்.
ஃ கூட்டுதலின் அடிப்படைக் கொள்கையின்படி 10 – இந்தியன் மற்றும் 7 சீன உணவை (10 + 7) = 17 வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம்.

(ii) ஓர் கடையில் 3 விதிமான மகிழுந்து பொம்மைகளும், 2 விதமான தொடர் வண்டி பொம்மைகளும் உள்ளன. ஒரு குழந்தை ஒரு மகிழுந்து பொம்மையையும் மற்றும் ஒரு தொடர் வண்டி பொம்மையையும் எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?
தீர்வ:
3 விதமான மகிழுந்து பொம்மைகளை = 3 வழிகளில் வாங்கலாம்.
2 விதமான தொடர்வண்டி பொம்மைகளை = 2 வழிகளில் வாங்கலாம். பெருக்கலின் அடிப்படைக்கொள்கையின்படி = (3 × 2) = 6 வழிகளில் வாங்கலாம்.

(iii) 1, 2, 3, 4, 5 என்ற இலக்கங்களை திரும்ப வராத முறையில் பயன்படுத்தி எத்தனை இரண்டு – இலக்க எண்களை உருவாக்கலாம்?
தீர்வ:

ஒன்றாவது இடத்தை 1,2,3,4,5 என்ற எண்களைப் பயன்படுத்தி 5 வழிகளில் நிரப்பலாம்.
பத்தாவது இடத்தை 4 வழிகளில் நிரப்பலாம்.
∴ இரண்டு இலக்க எண்களை (எந்த எண்ணும் திரும்ப வராத முறையில் 4 × 5 = 20 வழிகளில் நிரப்பலாம்.

(iv) 10 இருக்கைகள் உள்ள அரங்கில் மூன்று நபர்கள் நுழைகிறார்கள். எத்தனை வழிகளில் அவர்கள் அந்த இருக்கையில் அமரலாம்?
தீர்வ:
முதல் மனிதர் ஒரு இருக்கையில் = 10 வழிகளில்
அமரலாம் இரண்டாவது மனிதர் ஒரு இருக்கையில் = 9 வழிகளில் அமரலாம் மூன்றாவது மனிதர் ஒரு இருக்கையில் = 8 வழிகளில் அமரலாம்.
∴ பெருக்கலின் அடிப்படைக் கொள்கையின்படி மூன்று மனிதர்கள் = 10 × 9 × 8 = 720 வழிகளில் அமரலாம்.

(v) 5 நபர்களை ஒரு வரிசையில் எத்தனை வழிகளில் அமர வைக்கலாம்?
தீர்வ:
5 நபர்களை அமர வைக்க 5 இருக்கைகள் தேவை
முதல் நபரை அமர வைக்க = 5 வழிகள்
2 வது நபரை அமர வைக்க = 4 வழிகள்
3 வது நபரை அமர வைக்க = 3 வழிகள்
4 வது நபரை அமர வைக்க = 2 வழிகள்
5 வது நபரை அமர வைக்க = 1 வழி
∴ 5 நபர்களையும் அமரவைக்க = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 பெருக்கலின் அடிப்படைக்கொள்கையின்படி = 120 வழிகள் கிடைக்கும்

கேள்வி 2.
(i) ஒரு அலைபேசியில் 6 வெவ்வேறான இலக்கங்களைக் கொண்ட கடவுச் சொல் உள்ளது. அந்த கடவுச்சொல்லை மீட்டெடுக்க அதிக பட்சம் எத்தனை முயற்சிகளை செய்ய வேண்டும்?
தீர்வு:
-கடவுச்சொல்லில் உள்ள இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 6
∴ முதல் எண்ணை மீட்டெடுக்க = 10 வழிகள்
2ம் எண்ணை மீட்டெக்க = 9 வழிகள்
3ம் எண்ணை மீட்டெக்க = 8 வழிகள்
4ம் எண்ணை மீட்டெக்க = 7 வழிகள்
5ம் எண்ணை மீட்டெக்க = 6 வழிகள்
6ம் எண்ணை மீட்டெக்க = 5 வழிகள்
∴ கடவுச்சொல்லை மீட்டெடுக்க அதிகபட்சமான முயற்சிகள் = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 151200 முயற்சிகள் செய்யலாம்

(ii) 4 வெவ்வேறு நிற கொடிகளில் 3 கொடிகளை ஒன்றின் கீழ் ஒன்றாக அமைத்து எத்தனை வெவ்வேறு விதமான சமிக்கைகளை 1] உருவாக்கலாம்?
தீர்வு:
மொத்த சமிக்கைகள் எண்ணிக்கை
வெவ்வேறு நிற கொடிகள் = 4
பயன்படுத்த வேண்டிய நிறங்கள் = 3
∴ முதல் இடம் = 4 வழிகள்
இரண்டாம் இடம் = 3 வழிகள்
மூன்றாம் இடம் = 2 வழிகள்
∴ பெருக்கலின் அடிப்படைக்கொள்கையின்படி, உருவாக்க வேண்டிய சமிக்கைகள் = 4 × 3 × 2 = 24 வழிகளில் சமிக்கைகளை உருவாக்கலாம்.

கேள்வி 3.
நான்கு குழந்தைகள் ஒரு ஓட்டப்பந்தயத்தில் ஓடுகிறார்கள்.
(i) முதல் இரண்டு இடங்களை எத்தனை வழிகளில் நிரப்பலாம்?
தீர்வு:
முதல் இடத்தை = 4 வழிகளிலும்
2 ம் இடத்தை = 3 வழிகளிலும் ஆக மொத்தம் பெருக்கலின் அடிப்படைக் கொள்கையின்படி = 4 × 3 = 12 வழிகளில் நிரப்பலாம்

(ii) அந்தபந்தயத்தை எத்தனை வழிகளில் முடிக்கலாம்?
தீர்வு:
∴ அந்த பந்தயத்தை = 4 × 3 × 2 × 1 வழிகளில்
= 4! = 24 வழிகளில் முடிக்கலாம்

கேள்வி 4.
2, 4, 6, 8 என்ற இலக்கங்களைப் பயன்படுத்தி எத்தனை 3 – இலக்க எண்களை
(i) இலக்கங்கள் திரும்ப வருமாறு
தீர்வு:

இலக்கங்கள் திரும்ப வருமாறு எனில் நிரப்பினால் = 4 × 4 × 4 = 64 வழிகளில் உருவாக்கலாம்

(ii) இலக்கங்கள் திரும்ப வராதவாறு காணலாம்.
தீர்வு:

இலக்கங்கள் திரும்ப வராதவாறு எனில் = 4 × 3 × 2 = 24 வழிகளில் உருவாக்கலாம்

கேள்வி 5.
எத்தனை மூன்று – இலக்க எண்களை 3 ஆனது ஒன்றாம் இலக்க இடத்தில் வருமாறு
(i) இலக்கங்கள் திரும்ப வரும் நிலையில்
(ii) இலக்கங்கள் திரும்ப வராதவாறு காணலாம்.
தீர்வு:

இலக்கங்கள் திரும்ப வரும் வழியில்
ஒன்றாம் இடம் = 1
பத்தாம் இடம் = 10
நூறாம் இடம் = 9 (0 வைத் தவிர )
பெருக்கலின் அடிப்படைக்கொள்கையின்படி 3 ஆனது ஒன்றாம் இலக்க இடத்தில் திரும்ப வரும் நிலைகள் = 1 × 10 × 9 = 90

(ii) இலக்கங்கள் திரும்ப வராதவாறு

ஒன்றாம் இடம் = 1 வழியில்
பத்தாம் இடம் = 8 வழிகளில்
நூறாம் இடம் = 8 வழிகளில்
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (0 மற்றும் 9 ஐத் தவிர)
∴ மொத்த வழிகள் = 1 × 8 × 8 = 64

கேள்வி 6.
100 மற்றும் 500- க்கு இடையில் 0, 1, 2, 3, 4, 5 என்ற இலக்கங்களை பயன்படுத்தி
(i) இலக்கங்கள் திரும்ப வரும் நிலையில் எத்தனை எண்களை உருவாக்கலாம்.
(ii) இலக்கங்கள் திரும்ப வராமல் எத்தனை எண்களை உருவாக்கலாம்.
தீர்வு:
(i) இலக்கங்கள் திரும்ப வரும் நிலையில்

0, 1, 2, 3, 4, 5 என்ற இலக்கங்களில்
1-ம் இடத்தில் = 6 வழிகளில்
(6 இலக்கங்களைக்கொண்டு )
10-ம் இடத்தில் = 6 வழிகளில்
(6 இலக்கங்களைக்கொண்டு)
100ம் இடத்தில் = 4 வழிகளில்
(1, 2, 3, 4) ஐப் பயன்டுத்தி
∴ பெருக்கலின் அடிப்படைக்கொள்கையைப் பயன்படுத்தி கிடைக்கும் 3இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கை = 4 × 6 × 6 = 144

(ii) இலக்கங்கள் திரும்ப வராமல் [Govt. MQP – 2018]

100 ம் இடம் = 4 வழிகளில்
10ம் இடம் = 5 வழிகளில்
1ம் இடம் = 4 வழிகளில்
∴ பெருக்கலின் அடிப்படைக் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி
= 4 × 5 × 4
= 80 வழிகளில் பெறலாம்.

கேள்வி 7.
எத்தனை 3-இலக்க ஒற்றைப் படை எண்களை 0, 1, 2, 3,4, 5 என்ற இலக்கங்களை பயன்படுத்தி
(i) இலக்கங்கள் திரும்ப வராமல்
தீர்வு:
இலக்கங்கள் திரும்ப வராமல் (0, 1, 2, 3, 4, 5)

ஒற்றைப்பட எண்களை பயன்படுத்த
ஒன்றாம் இடம் = 3 வழிகளில் (1,3,5)
பத்தாம் இடம் = 4 வழிகளில்
நூறாம் இடம் = 4
(0, ஒன்றாம் இட இலக்கம் தவிர )
பெருக்கலின் அடிப்படைக் கொள்கையின் படி
= 3 × 4 × 4
= 48 வழிகளில் ஒற்றை எண்களை அமைக்கலாம்.

(ii) இலக்கங்கள் திரும்ப வருமாறு காணலாம்.
தீர்வு:
இலக்கங்கள் திரும்ப வருமாறு (0, 1, 2, 3, 4, 5)

1ம் இடத்தை நிரப்புவதற்கு தேவையான வழிகள் = 3
10ம் இடத்தை நிரப்புவதற்கு தேவையான வழிகள் = 6
100ம் இடத்தை நிரப்புவதற்கு தேவையான வழிகள் = 5
∴ பெருக்கலின் அடிப்படைக்கொள்கையின்படி
= 3 × 6 × 5 = 90 வழிகள்

கேள்வி 8.
கீழ்க்காணும் நிபந்தனைக்கு உட்பட்டு 999 மற்றும் 10000-க்கு இடையே உள்ள எண்களை எண்ணுக.
(i) எந்த நிபந்தனையும் இல்லாமல்
தீர்வு:
எந்த நிபந்தனையும் இல்லாமல்

இலக்கங்கள் = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
1ம் இடம் = 10 வழிகள்
10ம் இடம் = 10 வழிகள்
100ம் இடம் = 10 வழிகள்
1000ம் இடம் = 9 வழிகள் (0-வைத்தவிர )
ஃமொத்த எண்கள் = 9 × 10 × 10 × 10 = 9000

(ii) எந்த இலக்கமும் திரும்ப வராமல்
தீர்வு:
எந்த இலக்கமும் திரும்ப வராமல்

1000ம் இடம் = 9 வழிகளில்
1ம் இடம் = 9 வழிகளில்
10ம் இடம் = 8 வழிகளில்
100ம் இடம் = 7 வழிகளில்
பெருக்கலின் அடிப்படைக்கொள்கையின்படி = 9 × 7 × 8 × 9 = 4536

(iii) குறைந்தபட்சம் ஏதேனும் ஒரு இலக்கம் திரும்ப வருமாறு.
தீர்வு:
குறைந்தபட்சம் ஏதேனும் ஒரு இலக்கம் திரும்ப வருமாறு
தேவையான எண்ணிக்கை = மொத்த 4 இலக்க எண்கள் – எண்கள் திரும்ப வராமல் இருக்கும்போது உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை
= 9000 – 4536 = 4464.

கேள்வி 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5 என்ற இலக்கங்களை பயன்படுத்தி, 5ஆல் வகுபடும், மூன்று – இலக்க எண்கள் கீழ்க்காணும் நிபந்தனைக்குட்பட்டு எத்தனை உள்ளன.
(i) இலக்கங்கள் திரும்ப வராமல்?
தீர்வு:
இலக்கங்கள் திரும்ப வராமல்

1 ஆம் இடத்தில் 0 என்க.
10 மற்றும் 100 – வது இடத்தில் முறையே 4 மற்றும் 5 இலக்கங்கள்
வழிகளின் எண்ணிக்கை = 4 × 5 × 1 = 20

(ii) இலக்கங்கள் திரும்ப வருமாறு?
தீர்வு:
1ஆம் இடத்தில் 5 என்க.

நூறாவது இடத்தை , நிரப்ப தேவையான இலக்கங்கள் 1, 2, 3, 4 (0 வைத் தவிர) = 4 வழிகள் மேலும் பத்தாவது இடத்தை நிரப்ப 4 இலக்கங்கள் (0 வைத் தவிர)
∴ வழிகளின் எண்ணிக்கை = 4 × 4 = 16
∴ மொத்த வழிகளின் எண்ணிக்கை = 20 + 16 × 36

கேள்வி 10.
A என்ற இடத்திலிருந்து B என்ற இடத்திற்கு செல்ல B₁, B₂ என்ற இரண்டு பேருந்து வழித்தடங்களும் T₁, T₂ என்ற இரண்டு இரயில் வழித்தடங்களும் மேலும் A₁ என்ற வான் வழித்தடமும் உள்ளது. B என்ற இடத்திலிருந்து C என்ற இடத்திற்கு செல்ல B’, என்ற ஒரு பேருந்து வழித்தடமும், T’₁, T’₂ என்ற இரண்டு இரயில் வழித்தடங்களும் மேலும் A’₁ என்ற வான் வழித்தடமும் உள்ளது. A என்ற இடத்திலிருந்து C என்ற இடத்திற்கு B என்ற இடம் வழியே ஒரே வழித்தடத்தை மீண்டும் பயன்படுத்தாமல் எத்தனை வழிகளில் செல்லலாம்?
தீர்வு:

Aலிருந்து Cக்கு ஒரே வழித்தடத்தை மீண்டும் பயன்படுத்தாமல் கீழ்க்கண்ட வழிகளில் செல்லலாம். (B₁, T’₁) (B₁, T’₂) (B₁, A₁) (B₂, T’₁) (B₂, T’₂) (B₂, A’₁) (T₁, B’₁) (T₁, A’₁) (T₂, B’₁) (T₂, A’₁) (A₁,B’₁) (A₁, T’₁) மற்றும் (A₁, T’₂).
தேவையான வழித்தடங்களின் எண்ணிக்கை = 13.

கேள்வி 11.
1-க்கும் 1000-க்கும் இடையே உள்ள (இரண்டையும் ! உள்ளடக்கிய) எண்களில் 2 ஆலும் 5 ஆலும் வகுபடாத எண்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட எண்க ள் 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
ஒரு எண் 2 மற்றும் 5 ஆல் வகுபடாமல் இருக்க வேண்டுமானால் அந்த எண் 1, 3, 7, 9 ல் முடிந்திருக்க வேண்டும்,
தேவையான ஓரிலக்க எண்கள் = 4 …… (1)
இரண்டு இலக்க எண்கள்

1ம் இடத்தில் = 4 வழிகளில் (1, 3, 7, 9 ல் இருக்க)
10ம் இடத்தில் = 9 வழிகளில்
∴ தேவையான ஈரிலக்க எண்கள் = 4 × 9 = 36  …..(2)
மூன்று இலக்க எண்கள்

1ம் இடம் = 4 வழிகளில்
(1,3,7,9 ல் இருக்க )
10ம் இடத்தில் = 10 வழிகளில்
100ம் இடம் = 9 வழிகளில்
∴ தேவையான மூன்றிலக்க எண் = 4 × 9 × 10 = 360 ….. (3)
4 இலக்க எண் 1000. அது 2, 5 ஆல் வகுபடும்
∴ தேவையான எண்கள் (கூட்டலின் அடிப்படைக் கொள்கையின்படி)
4 + 36 + 360 மற்றும் ((1) (2) மற்றும் (3))

கேள்வி 12.
LOTUS எனும் வார்த்தையிலுள்ள எழுத்துகளைப் பயன்படுத்தி
(i) L இல் ஆரம்பித்து அல்லது S இல் முடிக்கும் வகையில் எத்தனை எழுத்துச் சரங்கள் உள்ளன.
தீர்வு:
L ல் ஆரம்பித்து அல்லது S ல் முடிக்கும் வகையில் உள்ள எழுத்துச் சரங்கள்

டல் ஆரம்பிக்குமாறு அமைவன
= 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24 …… (1)
Sல் முடியுமாறு அமைவன
= 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ……. (2)

L லில் ஆரம்பித்தும் S ல் முடியுமாறும் எழுத்துச்சரங்கள் = 3 × 2 × 1 = 6 …..(3)
∴ கூட்டலின் அடிப்படைக் கொள்கையின்படி டல் ஆரம்பித்தோ அல்லது Sல் முடியுமாறு அமைவன
= 24 + 24 – 6 = 48 – 6 = 42

(ii) L இல் துவங்கவோ, மற்றும் S இல்
முடிக்கவோ கூடாத எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
தீர்வு:
L லில் ஆரம்பிக்கவோ S-ல் முடியவோ கூடாத எழுத்துச்சரங்களின் எண்ணிக்கை
LOTUS என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துக்களிலிருந்து உருவாக்கப்படும் மொத்த எழுத்துச் சரங்கள்
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
டல் ஆரம்பித்தோ அல்லது Sல் முடிந்தோ இருக்கக்கூடாத எழுத்துச் சரங்கள் = மொத்த எண்ணிக்கை L, Sல் தொடக்க முடிவு எழுத்தாக இல்லாத எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை = 120 – 42 = 78

கேள்வி 13.
(i) ஒவ்வொரு குறிக்கோள் வினாவிற்கும் 4 வாய்ப்புகள் உள்ளன. 6 வினாக்களுக்கு எத்தனை வழிகளில் விடையளிக்கலாம்?
(ii) 3 புறாகூடுகளில் 10 புறாக்களை எத்தனை வழிகளில் தங்க வைக்கலாம்?
(iii) 10மாணவர்களுக்கு 12வெவ்வேறான பரிசுகளை எத்தனை வழிகளில் பகிர்ந்தளிக்கலாம்?
தீர்வு:
(i) ஒவ்வொரு குறிக்கோள் வினாவிற்கும் உள்ள வாய்ப்புகள் = 4
மொத்த வினாக்கள் = 6
∴ மொத்த வாய்ப்புகள் = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 46

(ii) புறாக்கூடுகள் = 3
புறாக்கள் = 10
∴ 3 புறாக்கூடுகளில் 10 புறாக்களை தங்க வைக்கும் வழிகள் = 3¹⁰

(iii) ஒவ்வொருமுதல்பரிசும் எந்த ஒருமாணவர்களுக்கும் 10 வழிகளில் பகிர்ந்த ளிக்கலாம்
∴ 12 வெவ்வேறான பரிசுகளை ஒவ்வொரு 10 மாணவர்களுக்கும்
= 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
= 10¹² வழிகளில் பகிர்ந்த ளிக்கலாம்.

கேள்வி 14.
மதிப்பினைக் காண்க.
(i) 6!
தீர்வு:
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

(ii) 4! + 5!
தீர்வு:
4! + 5! = 4 × 3 × 2 × 1 + 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 24 + 120 = 144.

(iii) 3! – 2!
தீர்வு:
3! – 2! = 3 × 2 × 1 – 2 × 1 = 6 – 2 = 4

(iv) 3! × 4!
தீர்வு:
3! × 4! = (3 × 2 × 1) × (4 × 3 × 2 × 1)
= 6 × 24 = 144.

(v) \(\frac{12 !}{9 ! \times 3 !}\)
தீர்வு:

(vi) \(\frac{(n+3) !}{(n+1) !}\)
தீர்வு:

கேள்வி 15.
மதிப்புக் காண்க \(\frac{n !}{r !(n-r) !}\), இங்கு
(i) n = 6, r = 2
தீர்வு:
n = 6, r = 2 என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

(ii) n = 10, r = 3.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டுள்ளது n = 10, r = 3

(iii) எந்த 7-க்கும், r = 2.
தீர்வு:

கேள்வி 16.
n-ன் மதிப்பை காணக
(i) (n + 1)! = 20 (n – 1)!
தீர்வு:
(i) (n + 1)! = 20 (n – 1)! கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

⇒ (n + 1) (n) = 20
⇒ n² + n – 20 = 0
⇒ (n + 5) (n – 4) = 0
n = -5 ஆக இருக்க முடியாது
∴ n = 4

(ii) \(\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 !}=\frac{n}{10 !}\)
தீர்வு: