Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 4 சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் Ex 4.2

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 4 சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் Ex 4.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 4 சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் Ex 4.2

கேள்வி 1.
(n – 1)P₃ : ⁿP₄ = 1 : 10 எனில், 1 ஐக் காண்க
தீர்வு:
(n – 1)P₃ : ⁿP₄ = 1 : 10 என்க
⇒ \(\frac{{ }^{(n-1)} \mathbf{P}_{3}}{{ }^{n} \mathrm{P}_{4}}=\frac{1}{10}\)
⇒ 10.^n-1p₃ = 1. ⁿP₄

கேள்வி 2.
¹⁰P_r-1 = 2 × ⁶P_r எனில், r ஐக் காண்க.
தீர்வு:
¹⁰P_r-1 = 2 × ⁶P_r, என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

⇒ (11 – r) (10 – r) (9 – r) (8 – r) (7 – r) = 5 × 9 × 8 × 7
⇒ (11 – r) (10 – r) (9 – r) (8 – r) (7 – r) = 7 × 6 × 5 × 4 × 3
⇒ (11 – r) (10 – r) (9 – r) (8 – r) (7 – r) = (11 – 4) (10 – 4)(9 – 4) (8 – 4) (7 – 4)
⇒ r = 4

கேள்வி 3.
(i) ஒரு நீச்சல் போட்டியில் 8 பேர் கலந்து கொள்கின்றனர். தங்கம், வெள்ளி மற்றும் வெண்கலப் பரிசுகளை எத்தனை வழிகளில் வழங்க இயலும்?
(ii) மூன்று ஆண்களிடம் 4 சட்டை, 5 மேல் சட்டை மற்றும் 6 தொப்பிகள் உள்ளன. அவற்றை அவர்கள் எத்தனை வழிகளில் அணியலாம்?
தீர்வு:
(i) தங்க பரிசை 8 மாணவர்களுக்கு 8 வழிகளிலும்
வெள்ளி பரிசை (8 – 1) மாணவர்களுக்கு = 7 வழிகளில்
வெண்கலப் பரிசை (8 – 2) மாணவர்களுக்கு = 6 வழிகளில் வழங்கலாம்.
∴ மொத்தமாக தங்கம் வெள்ளி மற்றும் வெண்கலப்பரிசை வழங்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கை = 8 × 7 × 6 = 336

(ii) 4 சட்டைகளை 3 ஆண்கள்
= ⁴P₃ வழிகளில் அணியலாம்
5 மேல் சட்டைகளை 3 ஆண்கள்
= ⁵P₃ வழிகளில் அணியலாம்
6 தொப்பிகளை 3 ஆண்கள்
= ⁶P₃ வழிகளில் அணியலாம்
∴ மொத்தமாக வழிகள் அணியும் வழிகள்

கேள்வி 4.
SIMPLE என்ற வார்த்தையில் உள்ள அனைத்து எழுத்துகளையும் ஒரே நேரத்தில் பயன்படுத்தி எத்தனை வரிசை மாற்றங்களை உருவாக்கலாம்?
தீர்வு:
‘SIMPLE’ என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துக்கள் = 6
எழுதும் வழிகள் = 6
(ஆறு எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி)
∴ மொத்த வரிசை மாற்றங்கள் = ⁶P₆ = 6!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 720

கேள்வி 5.
ஒரு தேர்வில் 10 பல்வாய்ப்பு விடையளி வினாக்கள் உள்ளன. கீழ்க்காணும் நிபந்தனைக்குட்பட்டு எத்தனை வழிகளில் இத்தேர்விற்கு விடையளிக்கலாம்.
(i) ஒவ்வொரு வினாவிற்கும் நான்கு வாய்ப்புகள் உள்ளன.
(ii) முதல் நான்கு வினாக்களுக்கு மூன்று வாய்ப்புகளும் மீதமுள்ள வினாக்களுக்கு ஐந்து வாய்ப்புகளும் உள்ளன.
(iii) n ஆவது வினாவிற்கு n + 1 வாய்ப்புகள் உள்ளன.
தீர்வு:
(i) ஒரு வினாவிற்கான வாய்ப்புகள் = 4
10 வினாக்களுக்கான வாய்ப்புகள்
= 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4¹⁰

(ii) முதல் நான்கு வினாக்களுக்கான வாய்ப்புகள்
= 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴
மீதமுள்ள ஆறு வினாக்களுக்கான வாய்ப்புகள்
= 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁶
∴ மொத்த வினாக்களுக்கான வாய்ப்புகள்
= 3⁴ × 5⁶

(iii) n ஆவது வினாவிற்கு n + 1 வாய்ப்புகள் எனில்
10 வினாக்களுக்கு 10 + 1 வாய்ப்புகள் = 11 வழிகள்

கேள்வி 6.
ஒரு மாணவன் 5 பல்வாய்ப்பு விடையளி வினாக்களுக்கு விடையளிக்க வேண்டும். ஒவ்வொரு வினாவிற்கும் உள்ள நான்கு வாய்ப்புகளில் ஒன்று சரியானது.
(i) அதிகபட்சமாக எத்தனை வெவ்வேறான விடைகளை ஒரு மாணவனால் தரமுடியும்?
(ii) ஒவ்வொரு வினாவிற்கும் ஒன்றிற்கு மேலான வாய்ப்புகளும் சரியானதாக இருக்கலாம் எனில், இந்த விடை எவ்வாறு மாற்றமடையும்?
தீர்வு:
(i) ஒவ்வொருவினாவும் 4வழிகளில் விடையளிக்கலாம் எனில்
5 வினாக்களுக்கு = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁵
வழிகளில் விடையளிக்கலாம்

(ii) ஒவ்வொரு வினாவிற்கும் ஒன்றிற்கு மேலாக வாய்ப்புகள் சரியானதாக இருக்கிறது எனில் விடை மாற்றம் அடையும் வாய்ப்புகள்
ஒரு வினாவிற்கு 1 சரியான விலை அல்லது 2 சரியான விடை அல்லது 3 அல்லது 4 அல்லது 5 சரியான விடைகள் உள்ளன.
∴ சரியான விடைகளின் எண்ணிக்கை = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
அதிகமான விடைகளின் எண்ணிக்கை = 15⁵

கேள்வி 7.
ARTICLE என்ற வார்த்தையில் உள்ள மெய் எழுத்துகள் இரட்டை இலக்க இடத்தில் வருமாறு எத்தனை எழுத்துச் சரங்கள் உருவாக்க முடியும்?
தீர்வு:
(i) ‘ARTICLE’ என்ற வார்த்தையில் உள்ள ஆங்கில
உயிர் எழுத்துக்கள் = 3 (A, I, E)
மூன்று இரட்டைப்படை இடங்கள்
∴ மூன்று உயிரெழுத்துக்களும் மூன்று இரட்டைப் படை இடங்களில் அமையும் வழிகள் = ³P₃ = 3! வழிகள்
மீதமுள்ள 4 எழுத்துகள் 4 இடங்களில் அமையும் வழிகள் = 4!
∴ தேவையான மொத்த எழுத்துச்சரங்கள்
= 4! × 3! = 4 × 3 × 2 × 3 × 2 = 144

கேள்வி 8.
8 பெண்கள் மற்றும் 6 ஆண்கள் ஓர் வரிசையில் நிற்கிறார்கள்.
(i) எவரும் எந்த இடத்திலும் நிற்கலாம் என்ற வகையில் எத்தனை வழிகளில் நிற்கலாம்?
(ii) 6 ஆண்களும் அடுத்தடுத்து வருமாறு எத்தனை வழிகளில் நிற்கலாம்?
(iii) எந்த இரு – ஆண்க ளும் ஒன்றாக நிற்காமல் எத்தனை வழிகளில் நிற்கலாம்?
தீர்வு:
எவரும் எந்த இடத்திலும் நிற்கலாம் எனில்
(i) 8 பெண்கள், 6 ஆண்கள் நிற்கும் வழிகள்
= 8 + 6 = 14 = ¹⁴P₁₄ = 14!

(ii) 6 ஆண்க ளும் அடுத்தடுத்து வருமாறு எனில் மொத்தம் 6 ஆண்களும் ஒரே குழுவாக கருதினால் 8 பெண்கள் + 1 ஆண்கள் = 9! அமைக்கலாம்
இந்த 6 ஆண்களும் அவர்களுக்குள் 6! வழிகளில் நிற்கலாம்.
∴ மொத்த அமைப்பு = 9! × 6!

(iii) எந்த இரு ஆண்களும் ஒன்றாக நிற்காமல் இருக்க வேண்டுமெனில்

X குறி ஆண்கள் நிற்பதற்குரிய இடங்கள் =9 மொத்த ஆண்கள் = 6
∴ மொத்த வழிகளின் எண்ணிக்கை = ⁹P₆ × 8!

கேள்வி 9.
MISSISSIPPI என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளைப் பயன்படுத்தி எத்தனை வெவ்வேறான வரிசை மாற்றங்களை உருவாக்கலாம்?
தீர்வு:
MISSISSIPPI என்ற வார்த்தையில் 11 எழுத்துக்கள் உள்ளன
∴ வெவ்வேறான வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை

கேள்வி 10.
a² b³ c⁴ என்ற பெருக்கலில் அடுக்குக் குறிகளைப் பயன்படுத்தாமல் எத்தனை வழிகளில் எழுதலாம்?
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட காரணிகள் = a² b³ c⁴
மொத்த அடுக்குகள் = 2 + 3 + 4 = 9
அடுக்குகளைப் பயன்படுத்தாமல் எழுதப்படும் வழிகள்

கேள்வி 11.
4 கணிதப் புத்தகங்கள், 3 இயற்பியல் புத்தகங்கள், 2 வேதியியல் புத்தகங்கள் மற்றும் 1 உயிரியல் புத்தகத்தை ஓர் அலமாரியில் ஒரே பாட புத்தகங்கள் ஒன்றாக வரும் வகையில் எத்தனை வழிகளில் அடுக்கலாம்?
தீர்வு:
நான்கு பாடப்புத்தகங்கள் 4! வழிகளில் அடுக்கலாம்.
4 கணித பாடப்புத்தகங்களை 4! வழிகளிலும்
3 இயற்பியல் பாடப்புத்தகங்களை 3! வழிகளிலும்
2 வேதியியல் பாடப்புத்தகங்களை 2! வழிகளிலும்
1 உயிரியல் பாடப்புத்தகங்களை 1! வழிகளிலும் அடுக்கலாம்.
எனவே மொத்த புத்தகங்களையும்
⇒ 4! × 4! × 3! × 2! × 1! வழிகளில் அடுக்கலாம்
= (4 × 3 × 2 × 1) (4 × 3 × 2 × 1) (3 × 2) (2 × 1)
= (24) (24) (6)(2)
தேவையான எண்ணிக்கை = 6912 வழிகள்.

கேள்வி 12.
SUCCESS என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளில் எல்லா Sகளும் ஒன்றாக வரும் வகையில் எத்தனை வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்?
தீர்வு:
SUCCESS- என்ற எழுத்தில் ‘S’ மூன்று முறை, ‘U’ ஒரு முறை ” இரண்டு முறை, ‘E’ ஒரு முறை உள்ளது.

கேள்வி 13.
ஒரு நாணயம் 8 முறை கண்டப்படுகின்றது.
(i) வெவ்வேறான தலைகள் மற்றும் பூக்களைக் கொண்ட வரிசைகள் எத்தனை இருக்கும்?
(ii) ஆறு தலைகள் மற்றும் இரண்டு பூக்கள் கொண்ட வெவ்வேறான வரிசைகள் எத்தனை இருக்கும்?
தீர்வு:
(i) ஒரு நாணயம் சுண்டும்பொழுது ஏற்படும் கூறுவெளி = 2
8 நாணயங்கள் 8 தடவை சுண்டப்படும்பொழுது வெவ்வேறான தலைகள் மற்றும் பூக்கள் கிடைக்கும் தேவையான எண்ணிக்கை = 2⁸

(ii) ஆறு தலைகள் மற்றும் இரண்டு பூக்கள் கொண்ட வெவ்வேறான வரிசைகள் = \(\frac{2^{8}}{6 ! 2 !}\) = 28

கேள்வி 14.
INTERMEDIATE என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளைப் பயன்படுத்தி கீழ்க்காணும் நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு எத்தனை எழுத்துச் சரங்களை உருவாக்கலாம்.
(i) உயிர் எழுத்துகள் மற்றும் மெய் எழுத்துகள் அடுத்தடுத்து வருமாறு
(ii) எல்லா உயிரெழுத்துகளும் ஒன்றாக வருமாறு
(iii) உயிரெழுத்துகள் ஒன்றாக வராத வகையில்
(iv) எந்த இரு உயிரெழுத்துக்களும் ஒன்றாக வராத வகையில்
தீர்வு:
(i)

வகை I
உயிர் எழுத்து முதல் இடத்தில் வருமாறு
அமைந்தால் = \(\)
மீதி 6 இடத்தில் மெய்யெழுத்து உள்ளது
வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை = \(\frac{6 !}{2 !}\)
வழிகளின் எண்ணிக்கை = \(\left(\frac{6 !}{2 ! 3 !}\right)\left(\frac{6 !}{2 !}\right)\)

வகை II
மெய்யெழுத்து முதல் இடத்தில் வருமாறு அமைந்தால்
வழிகளின் எண்ணிக்கை = \(\left(\frac{6 !}{2 ! 3 !}\right)\left(\frac{6 !}{2 !}\right)\)
∴ மொத்த வழிகளின் எண்ணிக்கை
= 2\(\left(\frac{6 !}{2 ! 3 !}\right)\left(\frac{6 !}{2 !}\right)\) = 2(60) (360) = 43200

(ii) 6 மெய் எழுத்துகள் 2 வழிகளிலும் \(\frac{6 !}{2 !}\) மற்றும்
6 உயிர் எழுத்துகளில் ‘E’ என்பது 3 மற்றும் ‘I’ என்பது 2 வழிகளிலும் வந்துள்ளதால்
7P₆ × \(\frac{1}{3 !} \times \frac{1}{2 !}\) வழிகளில் அமைக்கலாம். மொத்த வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை

= 30 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 20 × 1 = 151200.

(iii) உயிரெழுத்துக்கள் ஒன்றாக வராத வகையில் இட வரிசைகளின் மொத்த எண்ணிக்கை
= \(\frac{12 !}{2 ! 2 ! 3 !}\)
யிரெழுத்துகளின் இடவரிசைகள் \(\frac{7 !}{2 !}\left(\frac{6 !}{2 ! 3 !}\right)\)
∴ உயிரெழுத்துகள் ஒன்றாக வராத வகையில்
மொத்த எண்ணிக்கை = \(\frac{12 !}{2 ! 2 ! 3 !}-\frac{7 !}{2 !}\left(\frac{6 !}{2 ! 3 !}\right)\)
= 19958400 – 151200
= 19807200.

(iv) எந்த இரு உயிரெழுத்துகளும் ஒன்றாக வாராத வகையில் இது முதல் வகையனை ஒத்தது 43,200.

கேள்வி 15.
1, 1, 2, 3, 3 மற்றும் 4 என்ற இலக்கங்கள் தனித்தனியாக அட்டையில் எழுதப்பட்டுள்ளது. ஒரு 6-இலக்க எண்ணை அமைக்க இந்த ஆறு அட்டைகளையும் வரிசைப்படுத்தும்போது
(i) எத்தனை வெவ்வேறான 6 இலக்க எண்களை உருவாக்கலாம்?
(ii) இவற்றில் எத்தனை 6 இலக்க எண்கள் இரட்டைப்படை?
(iii) இவற்றில் எத்தனை 6-இலக்க எண்கள் 4 ஆல்
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட இலக்கங்கள் 1, 1, 2, 3, 3, 4
இங்கு 1 என்ற எண் இரண்டு தடவை வந்துள்ளது 3 என்ற எண் இரண்டு தடவை வந்துள்ளது
∴ வெவ்வேறான 6 இலக்க எண்களின்

(ii) ஒன்றாம் இடம் இரட்டை எண்ணைக் கொண்டு அமைந்தால் மட்டுமே ஓர் இரட்டை எண் கிடைக்கும்.
∴ கொடுக்கப்பட்டுள்ள எண்களில் 2,4 வைத்து இரட்டை எண்களில் இரு வழிகளில் அமைக்கலாம். மீதமுள்ள 5 இலக்கங்களில் உருவாக்கப்படும் 6 இலக்க இரட்டை எண்கள்

(iii) 4 ஆல் வகுபடும் 6 இலக்க எண்கள் ஒன்றாம் இட இலக்கம் 4 ஆல் முடிவுற்ற இலக்கமாக எழுதப்படும்போது அது எண் 4 ஆல் வகுபடும்

மீதி உள்ள 5 இலக்கங்களைக் கொண்டு \(\frac{5 !}{2 ! 2 !}\) வழிகளில் எழுதலாம்.
∴ 4 ஆல் வகுபடும் 6 இலக்க எண்கள்

கேள்வி 16.
GARDEN என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளை வரிசை மாற்றத்திற்கு உட்படுத்திக் கிடைக்கும் எழுத்துச் சரங்களை ஆங்கில அகராதியில் உள்ளது ‘ போன்று வரிசைப்படுத்தும்போது, கீழ்க்காணும் , வார்த்தைகளின் தரத்தை காண்க. (i) GARDEN , (ii) DANGER.
தீர்வு:
(i) GARDEN இதில் உள்ள எழுத்துகளை ஆங்கில எழுத்துகள் வரிசையில் எழுத A,D,E,G,N,R கிடைக்கும் இதில் எந்த எழுத்தும் திரும்ப வரவில்லை
∴ A என்ற எழுத்தை முதல் எழுத்தாக வைத்து , எழுதப்படும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 5! = 120
D என்ற எழுத்தை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 5! = 120 1
E என்ற எழுத்தை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 5! = 120
GAD என்ற எழுத்தை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 3! = 6
GAE என்ற எழுத்தை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 3! = 6
GAN என்ற எழுத்தை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 3! = 6 GARDE என்ற எழுத்தை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 1! = 1
∴ GARDEN என்ற வார்த்தையின் தரம்
= 120 + 120 + 120 + 6 + 6 + 6 + 1 = 379

(ii) DANGER என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளை ஆங்கில எழுத்துகளின் வரிசையில் A,D,E,G,N,R என எழுதலாம்
DANGER என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகள் = 6.
எந்த ஒரு எழுத்தும் ஒரு தடவைக்கு மேல் வரவில்லை.
∴ A யை வைத்து துவங்கும் வார்த்தையின் எண்ணிக்கை = 5! = 120
DAE யை வைத்து துவங்கும் வார்த்தையின் எண்ணிக்கை = 3! = 6
DAG யை வைத்து துவங்கும் வார்த்தையின் எண்ணிக்கை = 3! = 6
DANG யை வைத்து துவங்கும் வார்த்தையின் எண்ணிக்கை = 2! = 2 DANGER யை வைத்து துவங்கும் வார்த்தையின் எண்ணிக்கை = 1
DANGER என்ற வார்த்தையில் உள்ள
எழுத்துச்சரம் = 120 + 6 + 6 + 2 + 1 = 135.

கேள்வி 17.
THING என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளை வரிசை மாற்றத்திற்கு உட்படுத்தி எத்தனை எழுத்துச் சரங்களை பெறலாம். மேலும், இதனை ஆங்கில அகராதியில் உள்ளது – போன்று வரிசைப்படுத்தும்போது 85ஆவது எழுத்துச் சரம் என்னவாக இருக்கும்?
தீர்வு:
THING-ல் உள்ள எழுத்துகள் = 5
அவற்றை ஆங்கில அகராதியில் உள்ளது போல் எழுத G,H,I,N,T என பெறலாம்
∴ G வை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 4! = 24
H வை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 4! = 24
I வை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 4! = 24
NG யை முதலில் வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 3! = 6
NGH யை முதலில் வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 2! = 2 NGHI யை முதலில் வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 1! = 1
NGHIT யை முதலில் வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 1! = 1
24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 1 + 1 = 85
∴ 85 வது எழுத்துச்சரம் = NIGHT

கேள்வி 18.
FUNNY என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளை வரிசை மாற்றத்திற்கு உட்படுத்திக் கிடைக்கும் எழுத்துச் சரங்களை ஆங்கில அகராதியில் உள்ளது ! போன்று வரிசைப்படுத்தும்போது FUNNY என்ற வார்த்தையின் தரம் காண்க.
தீர்வு:
FUNNY-ல் உள்ள எழுத்துகள் = 5
ஆங்கில அகராதிப்படி எழுத என F,N,N,U,Y பெறலாம் N இருமுறை வந்துள்ளது
∴ Fஐ முதலில் கொண்டு எழுதப்படும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 3! = 6 FUNNY ஐ முதலில் கொண்டு எழுதப்படும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 1! = 1
∴ FUNNY என்ற வார்த்தையின் தரம் = 6 + 1 = 7

கேள்வி 19.
1, 2, 3, 4 மற்றும் 5 என்ற இலக்கங்கள் மீண்டும் திரும்ப வராத வகையில் உருவாகும் எல்லா 4 இலக்க எண்களின் கூட்டுத் தொகை காண்க.
தீர்வு:
1, 2, 3, 4, 5 என்ற ஐந்து எண்களைக் கொண்டு நான்கு
இலக்க எண்களை உருவாக்கும் வழிகள் = 5P₄ = 120.
ஒன்றுக்கான இடத்தில் உள்ள எண்களின் கூடுதலைக் காண்போம்.
ஒன்றாம் இடத்தில் 1 வருமாறு அமையும் 4 இலக்க எண்க ள் = 4P₃ = 24
இதைப்போலவே மற்ற எண்கள் 2, 3, 4, 5 இவற்றை ஒன்றாம் இடத்தில் வருமாறு அமையும் எண்கள் 24 தடவைகள்
∴ 120 எண்க ளின் கூடுதல்
= (4P₃ × 1) (4P₃ × 2) (4P₃ × 3) (4P₃ × 4) (4P₃ × 5)
= 4P₃ (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
= 4P₃ 15 = 24 × 15 = 360
10ம் இலக்கங்களின் கூடுதல் = 3600
100ம் இலக்கங்களின் கூடுதல் = 36000
1000ம் இலக்கங்களின் கூடுதல் = 360000
∴ கிடைக்கும் 4 இலக்க எண்களின் கூடுதல்
= 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960

கேள்வி 20.
0, 2, 5, 7, 8 என்ற இலக்கங்கள் மீண்டும் வராத வகையில் உருவாக்கப்படும் எல்லா 4 இலக்க எண்களின் கூட்டுத் தொகையை காண்க.
தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட நான்கு இலக்கங்கள் 0, 2, 5, 7, 8 4 இலக்க எண்களை அமைக்கும் வழிகள் 4 × 4 × 3 × 2 = 96.
மொத்தம் 96, இதில் 24 எண்கள் பூஜ்ஜியத்தில் முடியும்.
18 எண்க ள் 2-ல் முடியும்
18 எண்க ள் 5-ல் முடியும்
18 எண்க ள் 7-ல் முடியும்
18 எண்க ள் 8-ல் முடியும்
ஒன்றாம் இடத்திற்கான கூடுதல்
(24 × 0) + (18 × 2) + (18 × 5) + (18 × 7) + (18 × 8)
= 18 (2 + 5 + 7 + 8) = 18 × 22 = 396
∴ 4 இலக்கங்களின் கூடுதல்
= 396 + 3960 + 39600 + (24 × 22) × 1000 = 571956