Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 4 சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் Ex 4.3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 4 சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் Ex 4.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 4 சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் Ex 4.3

கேள்வி 1.
ⁿC₁₂ = ⁿC₉ எனில், ²¹C_n ஐக் காண்க ?
தீர்வு:
ⁿC_x = ⁿC_y ⇒ x = y அல்லது x + y = n
⇒ 12 + 9 = n
⇒ n = 21
⇒ ²¹C_n = ²¹C₂₁ = 1 [∴ ⁿC_n = 1]

கேள்வி 2.
¹⁵C_{2r – 1} = ¹⁵C_{2r + 4} எனில், 7 ஐக் காண்க?
தீர்வு:
ⁿC_x = ⁿC_y
¹⁵C_{2r – 1} = ¹⁵C_{2r + 4}
என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
ⁿC_x = ⁿC_y = x = y அல்லது
x + y = n
நமக்கு கிடைப்பது 2r – 1 = 2r + 4r
1 ≠ 4 ஆக இருக்க முடியாது (அல்லது)
2r – 1 + 2r + 4 = 15
4r + 3 = 15 ; 4r = 12
⇒ r = \(\frac{12}{4}\) = 3
∴ r = 3

கேள்வி 3.
ⁿP_r = 720 மற்றும் ⁿC_r = 120 எனில், 1, 7 ஐக் காண்க ?
தீர்வு:
ⁿP_r = 720, ⁿC_r = 120
என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

((1) மற்றும் (2) னை வகுக்க)

⇒ r! = 6
⇒ r! = 3 × 2 × 1 = 3!
⇒ r = 3
r = 3 என்பதை (1)ல் பிரதியிட

⇒ n (n – 1) (n – 2) = 720
⇒ n (n – 1)(n – 2) = 10 × 9 × 8
⇒ n = 10

கேள்வி 4.
நிறுவுக ¹⁵C₃ + 2 × ¹⁵C₄ + ¹⁵C₅ = ¹⁷C₅
தீர்வு:

கேள்வி 5.

தீர்வு:

கேள்வி 6.
^{(n + 1)}C₈: ^{(n − 3)}P₄ = 57 : 16 எனில், n ஐக் கான்க ?
தீர்வு:

கேள்வி 7.
நிறுவுக ²ⁿC_n = \(\frac{2^{n} \times 1 \times 3 \times \ldots \ldots . \times(2 n-1)}{n !}\)
தீர்வு:

கேள்வி 8.
1 ≤ r ≤ n எனில் n × ^(n-1)C_r-1 =(n – r + 1) × ⁿC_r-1 என நிறுவுக.
தீர்வு:

கேள்வி 9.
(i) ஒரு கபடி பயிற்சியாளரிடம் 14 விளையாட்டு வீரர்கள் விளையாட தயார் நிலையில் உள்ளனர். 7 விளையாட்டு வீரர்களைக் கொண்ட எத்தனை வெவ்வேறான குழுக்களை அவர் அமைக்கலாம்?
(ii) ஒரு விருந்தில் 15 நபர்கள் உள்ளனர். எந்த இரு நபர்களும் தங்களுக்குள் கைகுலுக்கிக் கொள்கிறார்கள் எனக் கொண்டால், அந்த விருந்தில் எத்தனை கைகுலுக்கல் நிகழும்?
(iii) ஒரு வட்டத்தின் மீதுள்ள 20 புள்ளிகள் வழியே எத்தனை நாண்களை வரைய முடியும்?
(iv) ஒரு வண்டி நிறுத்தும் இடத்தில் ஒரு வருட பழைய, மகிழுந்துகள் 100 நிறுத்தப்பட்டுள்ளன. அந்த மகிழுந்துகளின் மாசு கட்டுப்பாட்டுக் கருவிகள் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதை சோதனை செய்ய ஏதேனும் ஐந்து மகிழுந்துகளைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். எத்தனை விதமாக இந்த ஐந்து மகிழுந்துகளை தேர்ந்தெடுக்கலாம்?
(v) 3 ஆண்கள், 2 பெண்கள் மற்றும் 1 திருநங்கை ஆகியோர்களை 5 ஆண்கள், 2 பெண்கள் மற்றும் 2 திருநங்கைகளில் இருந்து எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?
தீர்வு:
(i) 14 விளையாட்டு வீரர்களில் 7 பேரை ¹⁴C₇ வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம். தேர்வு செய்யப்படும் வெவ்வேறான குழுக்களின் எண்ணிக்கை

= 13 × 11 × 2 × 3 × 4 = 3432

(ii) கைகுலுக்களின் மொத்த எண்ணிக்கை = 15
பேர்களில் இருவரை தேர்வு செய்தல் தேவையான குலுக்கல்

(iii) வட்டத்தின் மீதுள்ள இரண்டு புள்ளிகள் இணைக்கப்படும் பொழுது நாண் கிடைக்கிறது.
∴ கிடைக்கும் நாண்களின் எண்ணிக்கை = 20
புள்ளியிலிருந்து 2 புள்ளிகளை தேர்வு செய்தல் = ²⁰C₂

(iv) நூறு மகிழுந்துக்களிலிருந்து ஐந்து மகிழுந்தை ¹⁰⁰C₅ வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம்.

= 451725120

(v) 5 ஆண்களிலிருந்து 3 பெண்களை C வழிகளிலும் 4 பெண்களிலிருந்து 2 பெண்களை C வழிகளிலும் 2 திருநங்கைகளிலிருந்து 1 திருநங்கையை 2C, வழிகளிலும் தேர்வு செய்யலாம்.
∴ மொத்த தேர்வுகளின் எண்ணிக்கை
= ⁵C₃ × ⁴C₂ × ⁴C₂

கேள்வி 10.
கீழ்க்காணும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை உள்ள கணங்களின் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையை காண்க. (விடைகுறிப்பு: ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ …… + ⁿC_n = 2ⁿ)
(i) 4 உறுப்புகள்
(ii) 5 உறுப்புகள்
(iii) n உறுப்புகள்
தீர்வு:
4 உறுப்புகள்

(i) ஓர் உறுப்பும் இல்லாத உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = ⁴C₀
ஓர் உறுப்பு உள்ள உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = ⁴C₁
இரண்டு உறுப்பு உள்ள உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = ⁴C₂
மூன்று உறுப்பு உள்ள உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = ⁴C₃
நான்கு உறுப்பு உள்ள உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = ⁴C₄
மொத்த உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை
= ⁴C₀ + ⁴C₁ + ⁴C₂ + ⁴C₃ + ⁴C₄

= 5 + 6 + 4 + 1 = 16

(ii) 5 உறுப்புகள்
ஓர் உறுப்பும் இல்லாத உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = ⁵C₀
ஓர் உறுப்பு மட்டும் உள்ள உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = ⁵C₁
இரண்டு உறுப்பு மட்டும் உள்ள உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = ⁵C₂
மூன்று உறுப்பு மட்டும் உள்ள உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = ⁵C₃
நான்கு உறுப்பு மட்டும் உள்ள உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = ⁵C₄
ஐந்து உறுப்பு மட்டும் உள்ள உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = ⁵C₅
∴ மொத்த உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை
= ⁵C₀ + ⁵C₁ + ⁵C₃ + ⁵C₄ + c + ⁵C₅

= 6 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32

(iii) n உறுப்புகள்
எந்த உறுப்பும் இல்லாத உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = ⁿC₀
1, 2, 3, 4, …. n உறுப்புகள் உள்ள உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை
= ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ + ⁿC₄ …… ⁿC_n.
∴ மொத்த உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை
ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ + ⁿC₄ ……. + ⁿC_n
= (x + a)ⁿ = 2ⁿ

கேள்வி 11.
ஓர் அறக்கட்டளையில் 25 உறுப்பினர்கள் உள்ளனர்.
(i) இவர்களில் 3 அதிகாரிகளை எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?
(ii) ஒரு தலைவர், ஒரு உப தலைவர் மற்றும் ஒரு செயலரை எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?
தீர்வு:
(i) 25 உறுப்பினர்களிலிருந்து 3 அதிகாரிகளை 25C, வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்
(ii) ஒரு தலைவர் 25 உறுப்பினர்களிலிருந்து 25 வழிகளிலும்
ஓர் தலைவர் 24 உறுப்பினர்களிலிருந்து 24 வழிகளிலும்
ஓர் செயலர் 23 உறுப்பினர்களிலிருந்து 23 வழிகளிலும் தேர்வு செய்யலாம்.
∴ தேர்வு செய்யும் வழிகள் = ²⁵p₃ வழிகள்

கேள்வி 12.
ஒரு குழுவில் உள்ள 10 நபர்களில் ஒரு தலைவர் மற்றும் ஒரு செயலர் உள்ளடக்கி 6 நபர்களை எத்தனை வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம்?
தீர்வு:
10 பேர் உள்ள குழுவிலிருந்து ஒரு தலைவர் மற்றும் செயலர் இவர்களை = 10C₂ வழிகளிலும் மீதியுள்ள 4 பேர் கொண்ட குழுவினை மீதியுள்ள 8 நபர்களிலிருந்து 8C₂ வழிகளிலும் தேர்வு செய்யலாம்.
∴ குழுவை தேர்வு செய்யும் மொத்த வழிகள்

= 45 × 70 = 3150 வழிகள்

கேள்வி 13.
12 வெவ்வேறான புத்தகங்களில் 5 புத்தகங்களை கீழ்க்காணும் நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?
(i) இரண்டு குறிப்பிட்ட புத்தகங்களை எப்பொழுதுமே தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.
(ii) இரண்டு குறிப்பிட்ட புத்தகங்களை எப்பொழுதுமே தேர்ந்தெடுக்கக் கூடாது.
தீர்வு:
(i) இரண்டு குறிப்பிட்ட புத்தகங்கள் எப்பொழுதுமே தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.
∴ மீதியுள்ள 10 புத்தகங்களிலிருந்து 3 புத்தகங்களை 10C₃ வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.
= 10C₃ = \(\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 3 \times 1}\) = 120 வழிகள்

(ii) இரண்டு குறிப்பிட்ட புத்தகங்களை எப்பொழுதுமே தேர்வு செய்யக்கூடாது
5 புத்தகங்களை மீதியுள்ள 10 புத்தகங்களிலிருந்து 10C₅ வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம்.

கேள்வி 14.
5 ஆசிரியர்கள் மற்றும் 20 மாணவர்களில் இருந்து 2 ஆசிரியர்கள் மற்றும் 3 மாணவர்களைக் கொண்டு ஒரு குழு அமைக்கப்படுகின்றது. எத்தனை வழிகளில் இதனைச் செய்யலாம்? மேலும் இவற்றில் கீழ்க்காணும் நிபந்தனைக்கு உட்பட்டு எத்தனை குழுக்களைக் காணலாம்?
(i) அக்குழுவில் ஒரு குறிப்பிட்ட ஆசிரியர் உள்ளவாறு.
(ii) அக்குழுவில் குறிப்பிட்ட மாணவர் வராதவாறு.
தீர்வு:
(i) மொத்த ஆசிரியர்கள் = 5 பேர்
மொத்த மாணவர்கள் = 20 பேர்
குழுவில் இருக்க வேண்டிய ஆசிரியர்கள் = 2 பேர், மாணவர்கள்
∴ தேர்வு செய்யும் வழி = 5C₂ × 20C₃
∴ குழுவை தேர்வு செய்யும் மொத்த வழிகள்

= 10 × 19 × 10 × 6 = 11400
ஒரு குறிப்பிட்ட ஆசிரியர் மற்றும் 3 மாணவர்கள் கொண்ட குழுவினை தேர்வு செய்யும் வழிகள்

(ii) ஒரு குறிப்பிட்ட மாணவர் வராதவாறு அமைய 2 ஆசிரியர்கள் 3 மாணவர்கள் குழுவை தேர்வு செய்யும் வழிகள்

= 19 × 6 × 17 × 5 = 9690

கேள்வி 15.
ஒரு மாணவர் ஒரு தேர்வில் 9 வினாக்களில் 2 வினாக்களுக்கு கண்டிப்பாக விடையளிக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனையுடன் 5 வினாக்களுக்கு விடையளிக்க வேண்டும். எத்தனை வழிகளில் அந்த வினாக்களுக்கு ஒரு மாணவர் விடையளிக்கலாம்?
தீர்வு:
கட்டாய வினாக்கள் = 2
மொத்த வினாக்கள் = 9
விடையளிக்க வேண்டிய வினாக்கள் = 5
5 – 2 = 3 வினாக்களை (9 – 2) = 7 வினாக்களிலிருந்து தேர்வு செய்ய வேண்டும்.
இதை ⁷C₃ வழிகளில் செய்யலாம்.
∴ 5 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கும் வழிகள்

கேள்வி 16.
52 சீட்டுகள் கொண்ட ஒரு சீட்டுக் கட்டிலிருந்து 5 சீட்டுகளைத் தேர்வு செய்யும் ஒவ்வொரு சேர்விலும் எப்பொழுதும் மூன்று ஏஸ்கள் (aces) உள்ளவாறுஎத்தனை சேர்வுகள் இருக்கும் எனக் காண்க.
தீர்வு:
மொத்த சீட்டுகள் = 52
கட்டாயமாக இருக்க வேண்டிய சீட்டுகள் = 3 ஏஸ்கள் மீதமுள்ள சீட்டுகள் = 49
தேர்வு செய்ய வேண்டிய சீட்டுகள் = 5 (3 + 2)
∴ தேர்வு செய்யும் வழிகள் = ⁴⁸C₂
4 ஏஸ்களிலிருந்து 3 ஏஸ்களை தேர்வு செய்யும் வழிகள் = ⁴C₃ = ⁴C₁
∴ தேவையான தேர்வு செய்யும் வழிகள்

= 2 × 48 × 47 = 4512

கேள்வி 17.
7 இந்தியர்கள் மற்றும் 5 அமெரிக்கர்களில் இருந்து இந்தியர்கள் அதிக அளவில் இருக்கும்படியான 5 நபர்களைக் கொண்ட எத்தனை விதமான குழுக்களை அமைக்கலாம்?
தீர்வு:
இந்தியர்கள் 7, அமெரிக்கர்கள் 5 இவர்களில் 5 பேரை தேர்வு செய்தல் நிபந்தனை இந்தியர்கள் அதிக எண்ணிக்கையில் இருக்க வேண்டும்.

குழுவை அமைக்கும் மொத்த வழிகள்
= (7C₄ × 5C₁) + (7C₃ × 5C₂) + (7C₅ × 5C₀)

= 7 × 25 + 35 × 10 + 21 = 175 + 350 + 21 = 546

கேள்வி 18.
8 ஆண்கள் மற்றும் 4 பெண்களில் இருந்து 7 பேர் கொண்ட குழு அமைக்கப்படுகின்றது. கீழ்க்காணும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் வகையில் எத்தனை குழுக்களை அமைக்கலாம்.
(i) சரியாக 3 பெண்கள் இருக்குமாறு.
(ii) குறைந்தபட்சம் 3 பெண்கள் இருக்குமாறு.
(iii) அதிக பட்சம் 3 பெண்கள் இருக்குமாறு.
தீர்வு:
ஆண்கள் = 8, பெண்கள் = 4, தேர்வு செய்ய வேண்டியவர்கள் = 7 பேர்

(i) குழுவில் சரியான 3 பெண்கள் இருக்க வேண்டும் 3 பெண்களை 4 பேரிலிருந்து தேர்வு = ⁴C₃ வழிகள் மீதியுள்ள 4 பேரை 8 ஆண்களிலிருந்து தேர்வு = ⁸C₄.
∴ தேவையான தேர்வு வழிகள் = ⁴C₃ × ⁸C₄

(ii) குறைந்தபட்சம் 3 பெண்கள் இருக்குமாறு

குழுவை அமைக்கத் தேவையான வழிகள்
= (⁸C₄ × ⁴C₃) + (⁸C₃ × ⁴C₄)

= (70 × 4) + 56 = 280 + 56 = 336

(iii) அதிகபட்சம் 3 பெண்கள் இருக்குமாறு

∴ குழு அமைக்கத் தேவையான வழிகள்
= ⁸C₄ × ⁴C₃ + ⁸C₅ × ⁴C₂ + ⁸C₆ × ⁴C₁ + ⁸C₇ × ⁸C₀

= 280 + 56 × 6 + 56 × 2 + 8
= 280 + 336 + 112 + 8 = 736

கேள்வி 19.
ஒரு ஆணுக்கு 4 பெண்கள் மற்றும் 3 ஆண்கள் என 7 உறவினர்கள் உள்ளனர். அவரது மனைவிக்கு 3 பெண்கள் மற்றும் 4 ஆண்கள் என 7 உறவினர்கள் உள்ளனர். ஒரு இரவு விருந்திற்கு 3 பெண்கள் மற்றும் 3 ஆண்கள் அழைக்கப்படும்போது, ஆணின் உறவினர்கள் 3 பேர் மற்றும் அவரது மனைவியின் உறவினர்கள் 3 பேர் என்றவாறு விருந்தில் கலந்துகொள்ள எத்தனை வழிகளில் அழைக்கலாம்?
தீர்வு:

தேவையான வழிகள் = (⁴C₃) (⁴C₃) + (⁴C₂) (³C₁) (³C₁) (⁴C₂) + (⁴C₁) (³C₂) (³C₂) (⁴C₁) + (³C₃) (³C₃)
= 4 × 4 + 6 × 3 × 3 × 6 + 4 × 3 × 3 × 4 + 1 (1)
= 16 + 324 + 144 + 1 = 485

கேள்வி 20.
ஒரு பெட்டியில் இரண்டு வெள்ளைப் பந்துகள், மூன்று கருப்புப் பந்துகள் மற்றும் நான்கு சிவப்புப் பந்துகள் உள்ளன. பெட்டியில் இருந்து மூன்று பந்துகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும் போது, அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒரு கருப்பு பந்து இருக்குமாறு எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?
தீர்வு:
வெள்ளைப் பந்துகள் = 2
கருப்புப் பந்துகள் = 3
சிவப்புப் பந்துகள் = 4
தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டிய பந்துகள் = 3 (1 கருப்புப் பந்து + 2)
வேறு நிறப்பந்துகள்

தேவையான வழிகள் = (2C₂ × 3C₂ × 4C₀) + (2C₀ × 3C₁ × 4C₂) + (2C₁ × 3C₁ × 4C₁) + (2C₁ × 3C₂ × 4C₀) + (2C₀ × 3C₂ × 4C₁) + (2C₀ × 3C₃ × 4C₀)
= 1 × 3 × 1 + 1 × 3 × 6 + 2 × 3 × 4 + 2 × 3 × 1 + 1 × 3 × 4 + 1 × 1 × 1
= 3 + 18 + 24 + 6 + 12 + 1 = 64

கேள்வி 21.
EXAMINATION என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளைக் கொண்டு எத்தனை 4 எழுத்துச் சரங்களை உருவாக்கலாம்?
தீர்வு:

கேள்வி 22.
எந்த மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டில் அமையாதவாறு 15 புள்ளிகளைக் கொண்டு எத்தனை முக்கோணங்களை அமைக்கலாம்?
தீர்வு:
ஒரு முக்கோணம் அமைக்க ஒரே கோட்டில் அமையாத
மூன்று புள்ளிகள் தேவை.
மொத்த புள்ளிகள் = 15 இவற்றில் உள்ள ஏதேனும் வெவ்வேறான 3 புள்ளிகளைக் கொண்டு வரையப்படும் முக்கோணங்களின் எண்ணிக்கை = ¹⁵C₃

கேள்வி 23.
15 புள்ளிகளில் 7 புள்ளிகள் ஒரு கோட்டிலும் மற்றும் மீதமுள்ள 8 புள்ளிகள் மற்றொரு இணைக்கோட்டிலும் அமைந்துள்ளது எனில் இந்த 15புள்ளிகளைக் கொண்டு எத்தனை முக்கோணங்களை அமைக்கலாம்?
தீர்வு:
ஒரு முக்கோணம் வரைய ஒரே கோட்டிலமையாத 3 புள்ளிகள் தேவை.
7 புள்ளிகள் குழு A என்றும் 8 புள்ளிகள் குழு B என்றும் கொள்வோம்.

முக்கோணம் அமைக்க தேவையான வழிகளின் எண்ணிக்கை

= 21 × 8 + 7 × 28 = 168 + 196 = 364

கேள்வி 24.
ஒரு தளத்தில் 11 புள்ளிகள் உள்ளன. இவற்றில் 4 புள்ளிகளைத் தவிர மற்ற எந்த 3 புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டில் அமையவில்லை எனில், கீழ்க்கண்டவற்றைக் காண்க. ம்
(i) இப்புள்ளிகளில் ஒரு சோடி புள்ளிகளினால் அமையும் கோடுகள் எத்தனை?
(ii) இந்தப் புள்ளிகளை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்டு எத்தனை முக்கோணங்களை அமைக்கலாம்?
தீர்வு:
தளத்தில் உள்ள புள்ளிகள் = 11
(i) நேர்க்கோடு வரைய 2 புள்ளிகள் தேவை
∴ 11 புள்ளிகளிலிருந்து வெவ்வேறான இரு புள்ளிகளை வைத்து ¹¹C₂ வழிகளில் நேர்க்கோடு வரையலாம்.

இவற்றில் 4 புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ளன. இவை ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையவில்லை எனில் ⁴C₂ வழிகளில் நேர்க்கோடுகளை பெறலாம்.

ஆனால் 4 புள்ளிகளும் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ளது என்பதால் ஒரே ஒரு நேர்க்கோடு மட்டுமே பெற முடியும்
∴ மொத்த நேர்க்கோடுகளின் எண்ணிக்கை
= 55 – 6 + 1 = 50

(ii) இந்த – புள்ளிகளை முனைப்புள்ளிகளாகக் கொண்டு வரையப்படும் முக்கோணங்களின் எண்ணிக்கை
ஒரு முக்கோணம் வரைய 3 புள்ளிகள் தேவை

∴ தேவையான எண்ணிக்கை

= (⁴C₁ × ⁷C₂) + (⁴C₂ × ⁷C₁) + (⁴C₀ × ⁷C₃)
= 4 × 21 + 6 × 7 + 35 = 84 + 42 + 35 = 161

கேள்வி 25.
90 மூலைவிட்டங்கள் கொண்ட பலகோணத்தில் எத்தனை பக்கங்கள் உள்ளன?
தீர்வு:
பலகோணத்தின் மூலைவிட்டங்கள் = 90
\(\frac{n(n-3)}{2}\) = 90 (n – பக்கம்)
n² – 3n = 180
n² – 3n – 180 = 0

(n – 15) (n + 12) (n – 15) (n + 12) = 0 ⇒ n = 15, -12
∴ பக்கங்கள்-12 ஆக இருக்க முடியாது
∴ பக்கங்களின் எண்ணிக்கை 15 ஆகும்.