Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 5 சஈருறுப்புத் தேற்றம், தொடர்முறைகள் மற்றும் தொடர்கள் Ex 5.1 Textbook Questions and Answers, Notes.
TN Board 11th Maths Solutions Chapter 5 சஈருறுப்புத் தேற்றம், தொடர்முறைகள் மற்றும் தொடர்கள் Ex 5.1
கேள்வி 1.
விரிவுபடுத்து.
(i) \(\left(2 x^{2}-\frac{3}{x}\right)^{3}\)
தீர்வு:
\(\left(2 x^{2}-\frac{3}{x}\right)^{3}\)
(ii) (2x2 – 3\(\sqrt{1-x^{2}}\))4 + (2x2 + 3\(\sqrt{1-x^{2}}\))
தீர்வு:
கேள்வி 2.
மதிப்புக் காண்க.
(i) 1024
(ii) 994
(ill) 97
தீர்வு:
(i) (a + b)n = nC0an b0 + nC1an – 1 b1 + nC2an – 2 b2 + ……………. + nCna0 bn
⇒ (102)4 = (100 + 2)4 = (100)4 + 4C1(1003)(21) + 4C2(1002)(22 ) + 4C3(1001)(23 ) + 4C4(1000)(24 )
= 100000000 + 2(1000000)(2) + \(\frac{4 \times(3)}{2(1)}\) (10000)(4)
= 100000000 + 8000000 + 240000 + 3200 + 16
= 108,243,216
(ii) ∵ (a – b)n = nC0an – nC1an – 1 b + nC2an – 2 b2 + ……………. + nCna0 bn
⇒ 994 = (100 – 1)4
= 1004 – 4C11003 + 4C21002 – 4C3100(13) + 14
= 100000000 – 4000000 + 60000 – 400 + 1
= 96,059,601
(iii) ∵ (a – b)n = nC0an – nC1an – 1 b + nC2an – 2 b2 + ……………. + nCnbn
⇒ 97 = (10 – 1)7 = 107 – 7C1106 + 7C2105 – 7C3104 + 7C4103 – 7C5102 + 7C610-1
= 10000000 – 7000000 + 2100000 – 350000 + 35000 – 2100 + 70 – 1
= 4782969
கேள்வி 3.
ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி (1.01)1000000 மற்றும் 10000 ஆகியவற்றில் எது பெரியது எனக் காண்க.
தீர்வு:
(1.01)1000000 – 10000
= (1 +.01)1000000 10.000
= 100000C0 + 1000000C1 (.01) + 1000000C2(.01)2 + ….
+ (.01)1000000 – 10,000
= (1 + 1000000 × (.01) + சாதகமான எண்) – 10,000
= 1 + சாதகமான எண்
∴ (1.01)1000000 – 10,000 > 0 ⇒ (1.01)1000000 > 10,000.
கேள்வி 4.
\(\left(x^{2}+\frac{1}{x^{3}}\right)^{10}\) -ன் விரிவில் 15-ன் கெழுவைக் காண்க.
தீர்வு:
\(\left(x^{2}+\frac{1}{x^{3}}\right)^{10}\) ,n = 10, x = x2, a = \(\frac{1}{x^{3}}\)
∴ பொது உறுப்பு Tr + 1 = nCr xn-r ar
⇒ Tr + 1 = 10Cr(x2)10 – r\(\left(\frac{1}{x^{3}}\right)^{r}\)
= 10Cr x20 – 2r x-3r.
= 10Cr x20 – 5r …(1)
x15ன் கெழுவினைக் காண,
20 – 5r = 15 என பிரதியிட
⇒ 20 – 15 = 5r
⇒ r = 1 என (1) ல் பிரதியிட
T2 = 10C1 x20 – 5 = 10 C1 x15
x15 ன் கெழு 10.
கேள்வி 5.
\(\left(x^{2}-\frac{1}{x^{3}}\right)^{6}\) -ன் விரிவில் x6 மற்றும் x2-ன் கெழுக்களைக் காண்க.
தீர்வு:
\(\left(x^{2}-\frac{1}{x^{3}}\right)^{6}\), n = 6, x = x2, a = \(\frac{-1}{x^{3}}\)
∴ பொது உறுப்பு ⇒ Tr + 1 = nCr xn – r ar
⇒ Tr + 1= 6Cr(x2)6 – r\(\left(\frac{-1}{x^{3}}\right)^{r}\)
= (-1)r 6Cr x12 – 5r ……. (1)
x6 ன் கெழுவினைக்கான 12 – 5r = 6 எனக்கொள்க
12 – 5r = 6 ⇒ 12 – 6 = 5r ⇒ 6 = 5r
r = \(\frac{6}{5}\)
இங்கு இருக்கமுடியாது
x2 – உன் கெழுவைக் காண 12 – 5r = 2 என பிரதியிட
12 – 5r = 2
⇒ 12 – 2 = 5r ⇒ 10 = 5r ⇒ r = 2
r = 2 என (1) ல் பிரதியிட
∴ x2 சன்கெழு = 15.
கேள்வி 6.
(1 + x3)550 \(\left(x^{2}+\frac{1}{x}\right)^{5}\) -ன் விரிவில் x2-ன் கொழுமைக்
தீர்வு:
x4 -ன் கெழு
= 10 (மாறிலி உறுப்பு (1 + x3)50) + 10 [(1 + 3)50 ல் உள்ள x3 ன் கெழு + 5 (x6 ன் கெழு) + 1 (x9 ன்கெழு)
= 10(1) + 10(50) + 5(1225) + 1(19600)
(∵ (1)-ஐப் பயன்படுத்தி)
= 10 + 500 + 6125 + 19600 = 26235
∴ x4 -ன் கெழு = 26235.
கேள்வி 7.
\(\left(2 x^{3}-\frac{1}{3 x^{2}}\right)^{5}\) -ன் விரிவில் மாறிலி உறுப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கேள்வி 8.
3600-ன் கடைசி இரண்டு இலக்கங்களைக் காண்க.
தீர்வு:
3600 = (32)300 = 9300 என்க .
⇒ 3600 = (10 – 1)300
ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி
3600 = 300C0 (10)300_300C1, (10)299 + 300C2 10298 + …. + 1)
= (10)300 – 300(10)299 + ….. – 300(10) + 1
∴ கடைசி இரு உறுப்புகள் 0, 1.
கேள்வி 9.
எல்லா மிகை முழு எண் 1-க்கும் 9n+1 – 8n – 9 என்பது 64ஆல் வகுபடும் என ஈருறுப்புத தேற்றம் மூலம் நிறுவுக.
தீர்வு:
⇒ 9n – 8n – 1 ஆனது nன் அனைத்து மிகை முழுக்களும் 64 ஆல் வகுபடும்
∴ n = n + 1 என பிரதியிட
9n + 1 – 8(n + 1) – 1 ஆனது –ன் அனைத்து மிகை முழுக்களும் 64 ஆல் வகுபடும்
⇒ 9n + 1 – 8n – 8 – 1 ஆனது 64 ஆல் வகுபடும்.
⇒ 9n + 1 – 8n – 9 ஆனது 64 ஆல் வகுபடும்.
கேள்வி 10.
n ஒரு ஒற்றைப்படை மிகை முழு எண் எனில், (x + y)n – ன் விரிவில் மைய உறுப்புகளின் கெழுக்கள் சமம் என நிறுவுக.
தீர்வு:
(x + y)n கொடுக்கப்பட்டது. இதில் ) ஓர் ஒற்றை எண் எனில் (x + y)n
கேள்வி 11.
n ஒரு மிகை முழு எண் மற்றும் 7 என்பது குறையற்ற முழு எண் எனில், (1 + x)n-ன் விரிவில் மற்றும் xn – r உறுப்புகளின் கெழுக்கள் சமம் என நிறுவுக.
தீர்வு:
(1 + x)n = n, x = 1, a = x
பொது உறுப்பு tr + 1 = nCr xn – r d .
⇒ tr + 1 = nCr 1n – r xr = nCr xr ….(1)
nCr -ல் xr -ன் கெழுவைக்கான
r = n – r-என பிரதியிட
Tn – r + 1 = nCn – r xn – r
∴ xrபன் கெழு மற்றும் xn – r “-ன் கெழு உறுப்பின் கெழு nCn – r சமமாகும்.
கேள்வி 12.
a மற்றும் b என்பவை வெவ்வேறு முழுக்கள் எண்கள் எனில், n என்ற மிகை முழு எண்ணிற்கு an – bn -ன் ஒரு காரணி a – b என நிறுவுக. (குறிப்பு : an = (a – b + b)n என எடுத்து விரிவுபடுத்துக.)
தீர்வு:
a = a + b – b = b + (a – b)
∴ an = [b + (a – b)]n
ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி
கேள்வி 13.
(a + b)n-ன் விரிவில், 4 ஆவது மற்றும் 13 ஆவது உறுப்புகளின் கெழுக்கள் சமம் எனில், n-ன் மதிப்பைக் காண்க.)
தீர்வு:
(a + b)n-ன் பொது உறுப்பு Tn + 1 = nCr an – r br …. (1)
4 வது உறுப்பின் கெழுவைக்காண r = 3 என (1) ல் பிரதியிட
∴ T4 = nC3 an – 3 b3
வது உறுப்பின் கெழுவைக்காண
r = 12 என (1) ல் பிரதியிட
∴ T13 = nCr 12n – 12 b12
nC3 = nC12 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
⇒ n = 3 + 12 = 15 ⇒ n = 15
கேள்வி 14.
(a + x)n-ன் விரிவில் தொடர்ச்சியான மூன்று உறுப்புகளின் ஈருறுப்புக் கெழுக்களின் விகிதம் 1:7:42 எனில் n-ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
மூன்று அடுத்தடுத்த உறுப்புகள் முறையே
r, (r + 1), (r + 2) என்க
⇒ 6r + 6 = n – r ⇒ n – 7r = 0 ….. (3)
(2) – (3)
(n – 8r + 1) – (n – 7r – 6) = 0
⇒ – r + 7 = 0 ⇒ r = 7
r = 7 என (2) ல் பிரதியிட –
n – 8(7) + 1 = 0
⇒ n – 56 + 1 = 0
⇒ n – 55 = 0 ⇒ n = 55
n = 55 & r = 7
கேள்வி 15.
(1 + x)n-ன் விரிவில் 5-ஆவது, 6ஆவது மற்றும் 7 ஆவது உறுப்புகளின் கெழுக்கள் ஒரு கூட்டுத் தொடர் எனில், 7-ன் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
(1 + x)n-ன் பொது உறுப்பு
Tr + 1 = nCr(1)n – rxr …… (1)
5 வது, 6வது, 7வது உறுப்பின் கெழுக்களைக் காண r = 4, 5, 6 என (1) ல் பிரதியிட
⇒ 12(n – 4) = 30 + n2 – 5n – 4n + 20
⇒ 12n – 48 = 30 + n2 – 9n + 20
⇒ n2 – 21n + 98 = 0
⇒ n (n – 7) -14 (n – 7) = 0
⇒ (n – 14) (n – 7) = 0
⇒ 14 அல்லது n = 7
கேள்வி 16.
C02 + C12 + C22 + ….. + Cn2 = 2n) என நிறுவுக.
தீர்வு: