Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1

கேள்வி 1.
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஆயத்தொலைகளை உடைய நகரும் புள்ளி -ன் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க. இங்கு α ஒரு துணையலகு ஆகும்.
(i) (9 cos α, 9 sin α)
(ii) (9 cos α, 6 sin α)
தீர்வு:
(i) P(h, k) நகரும் புள்ளி, h = 9 cos α, k = 9 sin α
\(\frac{h}{9}\) = cos a, \(\frac{k}{9}\) = sin α
α வை முழுவதும் நீக்க, வர்க்கப்படுத்த
\(\left(\frac{h}{9}\right)^{2}+\left(\frac{h}{9}\right)^{2}\) = cos2 α + sin2 α = 1
\(\frac{h^{2}}{81}+\frac{k^{2}}{81}\) = 1 [∵ sin2 α + cos2 α = 1 ]
h2 + K2 = 81
P (h, k) ன் நியமப்பாதை x2 + y2 = 81

(ii) (9 cos α, 6 sin α)
P (h, k) நகரும் புள்ளி n = 9 cos α, k = 6 sin α
α வை நீக்க, வர்க்கப்படுத்தி கூட்ட
\(\left(\frac{h}{9}\right)^{2}+\left(\frac{k}{6}\right)^{2}\) = cos2α + sin2α
\(\frac{h^{2}}{81}+\frac{k^{2}}{36}\) = 1 [∵ cos2 α + sin2 α = 1 ]
∴ P (h, k) ன் நியமப்பாதை = \(\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{36}\) = 1

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1

கேள்வி 2.
(i) x- அச்சிலிருந்து இரண்டு அலகுகள் மற்றும்
(ii) – அச்சிலிருந்து மூன்று அலகுகள் என்ற மாறாத – தொலைவில் நகரும்புள்ளி P-ன் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
X அச்சிலிருந்து 2 அலகுகள் தூரத்தில் நகரும் புள்ளி P(h, k) x அச்சிற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 1
y = c
∴ c = 2
∴ P(h, k) ன் நியமப்பாதை
y = 2

(ii) y அச்சிற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு
x = k
y அச்சிலிருந்து 3 அலகுகள் தூரத்தில் நகரும் புள்ளி P (h, k)-ன் நியமப்பாதை
x = 3
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 2

கேள்வி 3.
θ ஒரு துணையலகு எனில், x = a cos3 θ, y = a sin3 θ ஆகிய ஆயத்தொலைகளை உடைய நகரும் புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டது x = a cos3 θ, y = a sin3 θ
\(\frac{x}{a}\) = cos3θ, \(\frac{y}{a}\) = sin3θ
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தி கனமூலம் காண
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 3

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1

கேள்வி 4.
x2 – 5x + ky = 0 என்ற நியமப்பாதையின் மீது புள்ளிகள் P(-3, 1) மற்றும் Q (2, b) அமையும் எனில் k மற்றும் -ன் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
x2 – 5x + ky = 0 … (1) P(-3, 1), Q(2, b)
(1)-ன் மீது P (-3, 1) அமைந்துள்ளதால்
(-3)2 – 5 (-3) + k (1) = 0
9 + 15 + k = 0
k = -24
(1)-ன் மீது Q(2, 6) அமைந்துள்ளதால் நியமப்பாதை
x2 – 5x + ky = 0
22 – 5 (2) + k (b) = 0
4 – 10 + (-24) b = 0
-24b = 6
b = \(\frac{6}{-24}=\frac{-1}{4}\)

கேள்வி 5.
8 அலகுகள் நீளமுள்ள ஒரு நேரான கம்பியின் முனைகள் A மற்றும் B ஆகியவை முறையே எப்போதும் x மற்றும் y- அச்சுகளைத் தொடுமாறு நகர்ந்து கொண்டு இருக்கிறது, எனில் வெட்டுத்துண்டு AB-ன் நடுப்புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
P(h, k) என்பது தேவையான நியமப்பாதையின் நடுப்புள்ளி A, B என்பன முனைப்புள்ளிகள் A(a, 0) B(0, b). P(h, k) A, B யின் நடுப்புள்ளி என்பதால்
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 4
h = \(\left(\frac{a+0}{2}\right)\) , k = \(\left(\frac{0+b}{2}\right)\)
h = \(\frac{a}{2}\) , k = \(\frac{b}{2}\)
a = 2h, b = 2k
∆ OAB யிலிருந்து நமக்கு கிடைப்பது
AB2 = OA2 + OB2
82 = a + b2
⇒ (2h)2 + (2k)2 = 64
⇒ 4h2 + 4k2 = 64
= h2 + k2 = 16 (∵ 4 ஆல் வகுத்தல்)
∴ P(h, k) ன் நியமப்பாதை x2 + y2 = 16

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1

கேள்வி 6.
(3, 5) மற்றும் (1, -1) என்ற புள்ளிகளிலிருந்து ஒரு நகரும் புள்ளிக்கு இடைப்பட்ட தொலைவுகளின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் 20-க்கு சமம் எனில் அப்புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
P (h, k) நகரும் புள்ளி.
A(3, 5), B(1,-1) என்பன கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள்.
PA2 + PB2 = 20 என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 5
⇒ (h – 3)2 + (k – 5)2 + (h – 1)2 + (k + 1)2 = 20
h2 – 6h + 9 + k2 – 10k + 25 + h2 – 2h + 1 + k2 + 2k + 1 = 20
⇒ 2h2 + 2k2 – 8h – 8k + 36 = 20 (2 ஆல் வகுக்க)
h2 + k2 – 4h – 4k + 8 = 0
∴ P(h, k) ன் நியமப்பாதை = x2 + y2 – 4x – 4y + 8 = 0

கேள்வி 7.
A (1, -6) மற்றும் B (4, -2) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் AB கோட்டுத் துண்டானது புள்ளி P-ல் தாங்கும் கோணம் செங்கோணம் எனில், புள்ளி P-ன் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
P(h, k) நகரும் புள்ளி A(1, -6), B(4, -2)
கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் ∠APB = 90° கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ∆APB ஒரு செங்கோண முக்கோணம் என்பதால்
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 6
AB2 = PA2 + PB2
⇒ (1 – 4)2 + (-6 + 2)2 = (h – 4)2 + (k + 2)2 + (h – 1)2 + (k + 6)2
⇒ h2 – 8h + 16 + k2 + 4k + 4 + h2 – 2h + 1 + k2 + 12k + 36 = (- 3)2 + (-4)2
⇒ 2h2 + 2k2 – 10h + 16k + 57 = 9 + 16
⇒ 2h2 + 2k2 – 10h + 16k + 57 – 25 = 0
⇒ 2h2 + 2k2 – 10h + 16k + 32 = 0 + 2
⇒ h2 + k2 – 5h + 8k + 16 = 0
∴ P(h, k) ன் நியமப்பாதை x2 + y2 – 5x + 8y + 16 = 0

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1

கேள்வி 8.
ஆதிப்புள்ளி 0 என்க. y2 = 4x என்ற வளைவரையின் மீது மாறிப்புள்ளி R அமைந்துள்ளது எனில் கோட்டுத்துண்டு OR-ன் நடுப்புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
0 (0, 0) ஆதிப்புள்ளி R (a, b) OR-ன் நடுப்புள்ளி P (h, k)
P-என்பது OR-ன் நடுப்புள்ளி என்பதால்
(h, k) = \(\left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+b}{2}\right)\)
h = \(\frac{a}{2}\) மற்றும் k = \(\frac{b}{2}\)
a = 2h மற்றும் b = 2k
a, b என்பன மாறிகள் அவற்றை நீக்க வேண்டும்.
∴ R(a, b) ஆனது y2 = 4x-ன் மீது அமைந்துள்ளதால்
⇒ b2 = 4a
⇒ (2k)2 = 4 (2h)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 7
⇒ k2 = 2h
⇒ P(h, k) ன் நியமப்பாதை y2 = 2x ஆகும்.

கேள்வி 9.
நகரும் புள்ளி P-ன் ஆயக் கூறுகள் எனில், (\(\frac{a}{2}\)(cosec θ + sin θ), \(\frac{b}{2}\)(cosec θ – sin θ)) எனில் P-ன் நியமப்பாதையின் சமன்பாடு b2 x2 – a2 y2 = a2 b2. எனக் காட்டுக. இங்கு θ என்பது ஒரு துணையலகு
மாறி ஆகும்.
தீர்வு:
P (h, k) நகரும் புள்ளி எனில்
⇒ h = \(\frac{a}{2}\) (cosec θ + sin θ),
k = \(\frac{b}{2}\) (cosec θ – sin θ)
எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
⇒ \(\frac{2 h}{a}\) = cosec θ + sin θ மற்றும்
\(\frac{2 k}{b}\) = cosec θ – sin θ
இவற்றை வர்க்கப்படுத்தி கழிக்க.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 8
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 9

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1

கேள்வி 10.
Q என்ற புள்ளி 2x2 + 9y2 = 18 என்ற வளைவரையின் மீது அமைந்துள்ளது. P (2,-7) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி எனில் கோட்டுத்துண்டு PQ-ன் நடுப்புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
R(h, k) ன் நகரும் புள்ளி P(2, -7), Q புள்ளி (2x2 + 9y = 18)-ன் மீது அமையும்
R(h, k) ஆனது PQ-ன் நடுப்புள்ளி
2x2 + 9y2 = 18
⇒ \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{2}\) = 1 ⇒ \(\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{2}^{2}}\) = 1
⇒ a = 3, b = √2
(a cos θ, b sin θ) வளைவரையின் அமைந்துள்ளதால்
∴ Q = (3 cos θ, √2 sin θ)
R என்பது PQ-ன் நடுப்புள்ளி
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 10
⇒ 2(4h2 – 8h + 4) + 9 (4k2 + 28k + 49) = 18
⇒ 8h2 – 16h + 8 + 36k2 + 252k + 441 – 18 = 0
⇒ 8h2 + 36k2 – 16h + 252k + 431 = 0
⇒ ∴ (h, kன் நியமப்பாதை
⇒ 8x2 + 36y2 – 16x + 252y + 431 = 0

கேள்வி 11.
R மற்றும் Q என்பன முறையே X மற்றும் y அச்சுகளின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள், P என்ற நகரும் புள்ளி RQ-ன் மேல் உள்ளது. மேலும் RP = b, PQ = a என்றவாறு RQ-ன் மீது அமைந்துள்ள நகரும் P-ன் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
P (h, k) ஆனது RQ-ன் மீது அமைந்த நகரும் புள்ளி
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 11
∠ORQ = Q
∆PLR லிருந்து sin θ = \(\frac{k}{b}\) …. (1)
∆PMQ விலிருந்து cos θ = \(\frac{h}{b}\) …… (2)
(1), (2)-ஐ வர்க்கப்படுத்தி கூட்ட
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 12

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1

கேள்வி 12.
P(6, 2), Q-2, 1) மற்றும் R என்பன ∆PQR-ன் முனைப்புள்ளிகள் மற்றும் நியமப்பாதை y = x2 – 3x + 4-ன் மீது R என்ற புள்ளி அமைந்துள்ளது எனில், ∆PQR-ன் மையக்கோட்டுச் சந்தியின் (centroid) நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
R(α, β), P(6, 2), Q(-2, 1) என்ப ன ∆PQR ன்
முனைப்புள்ளிகள் R என்பது y = x2 – 3x + 4 -ன் மீது அமைந்துள்ள புள்ளி.
P(h, k) என்பது APQR-ன் மையக் கோட்டுச் சந்தியின் வழியாகச் செல்லக்கூடிய நியமப்பாதையில் நகரும் புள்ளி.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 14
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 13
R(α, β) ஆனது y = x2 – 3x + 4-ன் மீது அமைந்துள்ளது என்பதால்
β = α2 – 3α + 4 … (3)
(1), (2)-ஐ (3)-ல் பிரதியிட
⇒ (3k – 3) = (3h – 4)2 – 3(3h – 4) + 4
⇒ 3k – 3 = 9h2 – 24h + 16 – 9h + 12 + 4
⇒ 3k – 3 = 9h2 – 33h + 32
⇒ 9h2 – 33h – 3k + 35 = 0
∴ P (h, k) ன் நியமப்பாதை 9x2 – 33x – 3y + 35 = 0

கேள்வி 13.
x2 + y2 + 4x – 3y + 7 = 0 என்ற நியமப்பாதையின் மீது Q என்ற புள்ளி அமைந்துள்ளது. P என்ற புள்ளி கோட்டுத் துண்டு OQ-ஐ வெளிப்புறமாக 3:4 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கும் எனில் புள்ளி P-ன் நியமப் பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க. இங்கு 0 என்பது ஆதிப்புள்ளியாகும்.
தீர்வு:
P(h, k) ஓர் நகரும் புள்ளி என்க.
P(α, β) ஒரு புள்ளி, Q(0, 0) ஆதிப்புள்ளி.
P ஆனது OQ-ஐ வெளிப்புறமாக 3:4 என்ற விகிதத்தில் – பிரிக்கிறது.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 15
(h, k) = (-3α, -3β)
இருபுறமும் ஒத்த கெழுக்களை சமப்படுத்த
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 16
h = -3α
⇒ k = – 3β
α = \(\frac{h}{-3}\), β = \(\frac{k}{-3}\)
Q(α, β) ஆனது x2 + y2 + 4x – 3y + 7 = 0 ன் மீது அமைவதால்
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 17
⇒ \(\frac{h^{2}}{9}+\frac{k^{2}}{9}-\frac{4 h}{3}\) + k + 7 = 0, 9 ஆல் பெருக்க = 9+9 3
⇒ h2 + k2 – 12h + 9k + 63 = 0
P (h, k)ன் நியமப்பாதை x2 + y2 – 12x + 9y + 63 = 0 ஆகும்.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1

கேள்வி 14.
கொடுக்கப்பட்ட P(5, 1) புள்ளிக்கு 5 அலகுகள் மற்றும் x- அச்சிலிருந்து 3 அலகுகள் தூரம் கொண்ட ஒரு நியமப்பாதையின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள் எத்தனை? மேலும் அப்புள்ளிகளைக் காண்க.
தீர்வு:
வகை 1
P(x, 3) ஆனது அச்சிலிருந்து 3 அலகுகள் தொலைவில் உள்ள ஒரு புள்ளி B (5, 1)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 18
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 19

வகை 2 :
A(-x, -3) ஆனது . அச்சிலிருந்து 3 அலகுகள் தொலைவில் உள்ள புள்ளி
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 20
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 21

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1

கேள்வி 15.
(-4, 0) மற்றும் (4, 0) ஆகிய புள்ளிகளிலிருந்து ஒரு நகரும் புள்ளிக்கு இடைப்பட்ட தொலைவுகளின் கூடுதல் எப்போதும் 10 அலகுகள் எனில், நகரும் புன்னியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
P(h, k) நகரும் புள்ளி என்க.
A (4, 0), B(4, 0) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள்.
PA + PB = 10
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 22
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.1 23