Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3

கேள்வி 1.
3x + 2y +9 = 0 மற்றும் 12x + 8y – 15 = 0 ஆகியவை இணைகோடுகள் எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
இரண்டு கோடுகளின் சமன்பாடுகள் பொது வடிவில் கீழ்கண்டவாறு அமையும் எனில்
a1x + b1y + c = 0 (அ) a2x + b2y + c = 0
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\) (அ) = a1b2 = a2b1
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்
3x + 2y + 9 = 0 (அ) 12x + 8y – 15 = 0
\(\frac{3}{12}=\frac{2}{8} \Rightarrow \frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)
∴ இரண்டு நேர்க்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாகும்.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3

கேள்வி 2.
5x – 4y + 3 = 0 என்ற கோட்டிற்கு இணையாக, x-அச்சின் வெட்டுத்துண்டு 3 எனக் கொண்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
x வெட்டு 3 எனில், A(3, 0) தேவையான கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளியாகும்.
5x -4y + 3 = 0 என்ற கோட்டிற்கு இணையான கோடு
5x – 4y +k=0 ஆகும். ….(1)
(3, 0) என்ற புள்ளியை (1)-ல் பிரதியிட.
5 × 3 – 4 × 0 + k = 0 ⇒ 15 + k = 0 ⇒ k = -15
∴ தேவையான கோட்டின் சமன்பாடு 5x – 4y – 15 = 0

கேள்வி 3.
4x + 3y + 4 = 0 என்ற கோட்டிற்கும் மற்றும் (i) (-2, 4) (ii) (7, -3) என்ற புள்ளிக்கும் இடையே உள்ள தொலைவைக் காண்க.
தீர்வு:
(i) (x,, y,) என்ற புள்ளியிலிருந்து ax + by + c = 0
என்ற கோட்டிற்கு உள்ள தொலைவு = ±\(\frac{a x_{1}+b y_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
(-2, 4) என்ற புள்ளியிலிருந்து 4x + 3y + 4 = 0
என்ற கோட்டிற்கு உள்ள தொலைவு
= \(\left|\frac{4(-2)+3(4)+4}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\right|=\frac{8}{5}\) அலகுகள்.

(ii) (7, -3) என்ற புள்ளியிலிருந்து 4x + 3y + 4 = 0
என்ற கோட்டிற்கு உள்ள தொலைவு
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 1

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3

கேள்வி 4.
(1, – 1) என்ற புள்ளி வழியே செல்லும்
(i) x + 3y- 4 = 0 -க்கு இணையான
(ii) 3x + 4y = 6க்கு செங்குத்தான
நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டை காண்க.
தீர்வு:
x + 3y – 4 = 0 என்ற கோட்டிற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு x + 3y+k = 0
ஆகும். இந்தகோடு (1,-1) வழி செல்வதால் கிடைப்பது.
∴ 1 + 3 (-1) + k = 0
⇒ 1 – 3 + k = 0
⇒ k = 2
∴ தேவையான கோட்டின் சமன்பாடு = x + 3y + 2 = 0

(ii) 3x + 4y – 6 = 0 என்ற செங்குத்தான கோட்டின்
சமன்பாடு 4x – 3y + k = 0.
இந்த கோடு (1, -1) என்ற புள்ளி வழியே செல்வதால் கிடைப்பது.
∴ 4(1) 3(-1) + k = 0
⇒ k = -7
∴ தேவையான கோட்டின் சமன்பாடு
= 4x – 3y – 7 = 0

கேள்வி 5.
சாய்சதுரத்தின் ஒரு முனைபுள்ளி (-4, 7) மேலும் 5x – y + 7 = 0, என்ற கோடு ஒரு மூலை விட்டத்தின் சமன்பாடு எனில், மற்றொரு மூலை விட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
B முனை ( 4, 7), மற்றும் மூலைவிட்டம்
AC = 5x – y +7 = 0 என்க.
மூலைவிட்டம் BD = x + 5y + k = 0 ஆகும்.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 2
(∵ AC ⊥ BD)
BD என்ற கோடு (-4, 7) என்ற புள்ளி வழி செல்வதால் நமக்கு கிடைப்பது
-4+5(7) +k = 0
⇒ 31 + k = 0
⇒ k = -31
∴ மற்றொரு மூலை விட்டத்தின் சமன்பாடு
= x + 5y – 31 = 0

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3

கேள்வி 6.
4x – y + 3 = 0 மற்றும் 5x + 2y + 7 = 0 என்ற இவ்விரு கோடுகள் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி வழியே செல்லக்கூடியதும் மற்றும்
(i) (-1, 2) என்ற புள்ளி வழியே செல்லும்
(ii) x – y + 5 = 0 என்ற கோட்டிற்கு இணையான
(iii) x – 2y + 1 = 0 என்ற கோட்டிற்குச் செங்குத்தான
நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
நேர்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு
⇒ (a1x + b1y + c1) + (a2x + b2y + c2) = 0

(i) தேவையான சமன்பாடு (-1, 2)வழிச் செல்வதால் கிடைப்பது
(4x – y + 3) + λ (5x + 2y + 7) = 0 …. (1)
⇒ சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது.
∴ (- 4 – 2 + 3) + λ (-5 + 4 + 7) = 0
⇒ -3 + (6)λ = 0
⇒ λ = \(\frac{1}{2}\)
λ = \(\frac{1}{2}\) என (1) ல் பிரதியிட
(4x – y + 3) + λ (-5 + 4 + 7) = 0
(4x – y + 3) + \(\frac{1}{2}\) (5x + 2y + 7) = 0
⇒ 13x + 1 = 0
⇒ x + 1 = 0

(ii) x – y + 5 = 0 என்ற கோட்டிற் இணையான … (1)
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள்
4x – y + 3 = 0 ….(2)
5x + 2y + 7 = 0 … (3)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 3
x = – 1 என (2) ல் பிரதியிட
4x – y + 3 = 0
4(1) – y + 3 = 0
– 4 – y + 3 = 0
– 4 + 3 = y
– 1 = y
⇒ y = -1
∴ (-1, -1) என்பது இரண்டு கோடுகளும் வெட்டும் புள்ளியாகும்.
-x-ன் கெழு – தேவையான கோட்டின் சாய்வு m =–
-y-ன் கெழு .
∴ (-1, -1) வழியே செல்லக்கூடியதும் சாய்வு 1 கொண்டதுமான கோட்டின் சமன்பாடு
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 4
y + 1 = 1 (x + 1) [∴y – y = m (x – x,)]
⇒ y + 1 = x + 1
⇒ x – y = 0

(iii) x – 2y + 1 = 0 விற்கான செங்குத்து கோட்டின் சமன்பாடு 2x + y + k = 0
மேலும் இது (-1, -1) வழி செல்வதால் கிடைப்பது.
2(-1) -1 + k = 0
⇒ k = 2 + 1 = 3
⇒ k = 3
∴ தேவையான கோட்டின் சமன்பாடு = 2x + y + 3 = 0

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3

கேள்வி 7.
12x + 5y + 2 = 0 என்ற கோட்டிற்கு இணையாக, (1, -1) என்ற புள்ளியிலிருந்து ஒரு அலகு தொலைவில் உள்ள இரு கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
12x + 5y + 2 = 0 என்ற கோட்டிற்கு இணையான
கோட்டின் சமன்பாடு 12x + 5y + k = 0 …. (1)
(1, -1) என்ற புள்ளியிலிருந்து 12x + 5y + k = 0
உள்ள தொலைவு 1 எனில்
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகும5றை வடிவியல் Ex 6.3 9
⇒ 13 = 7 + k (அ) 13 = – 7 – k
⇒ 6 = k (அ) k = -20
∴ k = 6 (அ) k = -20
∴ தேவையான கோடுகள் ⇒ 12x + 5y + 6 = 0 மற்றும்
12x + 5y – 20 = 0.

கேள்வி 8.
3x + 4y – 6 = 0 என்ற கோட்டிற்குச் செங்குத்தாக, (2, 1) என்ற புள்ளியிலிருந்து 4 அலகுகள் தொலைவில் உள்ள நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு, 3x + 4y – 6 = 0
3x + 4y – 6 செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு 4x – 3y + k = 0 …(1)
(2, 1) லிருந்து (1)ற்கு உள்ள தொலைவு 4 அலகுகள் எனில்
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 6
⇒ ∴ 20 = 5 + k
⇒ -20 = – 5 – k அல்லது
⇒ 20 = – 5 – k
⇒ k = 15 அல்ல து
⇒ k = – 25
∴ தேவையான நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடுகள்
4x – 3y+ 15 =0 (அ) 4x – 3y – 25 = 0.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3

கேள்வி 9.
2x + 3y = 10 என்ற கோட்டிற்கு இணையான கோட்டின் ஆய அச்சுகளின் வெட்டுத்துண்டுகளின் கூடுதல் 15 எனில், அக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
2x + 3y = 10 ற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு 2x + 3y + k = 0 ஆகும்.
⇒ 2x + 3y = -k
– k ஆல் வகுக்க
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 7
மேலும் வெட்டுத்துண்டுகளின் கூடுதல் 15 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால்
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 8
∴ தேவையான கோடுகளின் சமன்பாடுகள் 2x + 3y – 18 = 0.

கேள்வி 10.
(-10, -2) என்ற புள்ளியிலிருந்து x + y – 2 = 0 என்ற கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோட்டின் நீளத்தையும் அதன் அடிப்புள்ளியையும் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு x + y – 2 = 0 …..(1)
x + y – 2 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் செங்குத்துக் கோடு
x – y – k = 0
இது (- 10, – 2) வழிச் செல்வதால் கிடைப்பது
∴ – 10 + 2 + k = 0
⇒ k = 8
∴ AB-ன் சமன்பாடு ⇒ x – y + 8 = 0 …. (2)
அடிப்புள்ளியானது (1), (2) வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளியாகும்
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 9
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 10
⇒ x = -3
x = -3 என (1) ல் பிரதியிட
– 3 + y – 2 = 0
⇒ y = 5
அடிப்புள்ளியின் அச்சுத்தொலைவு B = (-3, 5)
∴ (-10, -2) லிருந்து x + y – 2 = 0 ற்கு இடைப்பட்ட செங்குத்துக் கோட்டின் நீளம்
= ±\(\left(\frac{-10-2-2}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\right)=\pm\left(\frac{-14}{\sqrt{2}}\right)=\frac{14}{\sqrt{2}}\)
(செங்குத்து தூரம் – குறையெண்ணாக இருக்க முடியாது.)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 11

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3

கேள்வி 11.
x sec θ + y cosec θ = 2a மற்றும் x cos θ – y sin θ = a cos 2θ என்ற கோடுகளுக்கு ஆதியிலிருந்து செங்குத்துத் தூரங்கள் முறையே P1 மற்றும் P2 எனில் P12 + p22 = a2 என நிறுவுக.
தீர்வு:
p1 = (0, 0) விலிருந்து x sec θ + y cosec θ – 2a = 0ற்கு இடைப்பட்ட செங்குத்து நீளம் என்க.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 12
p2 = (0, 0) விலிருந்து x cos θ – y sin θ = a cos 2θ செங்குத்துத் தொலைவு என்க.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 13
= \(\frac{a \cos 2 \theta}{\sqrt{1}}\) [∵ sin2θ + cos2 θ = 1] = a cos2 θ ….(2)
(1), (2)-ஐ வர்க்கப்படுத்தி கூட்டினால் கிடைப்பது
p12 + p22 = (2a sin θ cos θ)2 + (a cos 2θ)2
= (a sin 2θ)2 + (a cos 2θ)2 [∵ sin2θ = 2 cos θ sin θ]
= a2 sin2 2θ + a2 cos2
= a2 (sin2 2θ + cos2 2θ)
= a2 (1) = p12 + p22 = a2
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 12.
கீழ்க்காணும் இணைக் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரத்தைக் காண்க.
(i) 12x + 5y = 7 மற்றும் 12x + 5y + 7 = 0
(ii) 3x – 4y + 5 = 0 மற்றும் 6x – 8y – 15 = 0
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்டுள்ள இணை கோடுகள் 12x + 5y
= 7 (அ) 12x + 5y + 7 = 0 ஆகும்.
இங்கு a = 12, b = 5, c1 = – 7 (அ) c2 = 7
இணைகோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரம்
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 14
இணைகோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் = = \(\frac{14}{13}\) அலகுகள்

(ii) கொடுக்கப்பட்டுள்ள இணை கோடுகள்
3x – 4y + 5 = 0, 6x – 8y – 15 = 0 ஆகும்…..(2)
(1)-ஐ 2 ஆல் பெருக்க
3x – 4y + 5 = 0 ⇒ 6x – 8y – 15 = 0 ஆகும்
(அ) 6x – 8y – 10 = 0
a = 6, b = -8, c1 = 10 (அ) c2 = -15 இணைகோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரம்
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 15

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3

கேள்வி 13.
3x + 4y – 12 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டிற்கு (i) செங்குத்தான (ii) இணையான நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்பினைக் காண்க.
தீர்வு:
(i) 3x + 4y – 12 = 0 கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோட்டின் சமன்பாடு செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு 4x – 3y + k = 0 நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு
= 4x – 3y + k = 0, k ∈ R

(ii) 3x + 4y -12= 0ற்கு இணையான கோட்டின் ! சமன்பாடு 3x + 4y + k1 = 0 ஆகும். இது நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாட்டினைக் குறிப்பதால் நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு.
⇒ 3x + 4y + k1 = 0, k1 ∈ R

கேள்வி 14.
A(2, 0) மற்றும் B(3, 1) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டை புள்ளி A-ஐ பொறுத்துக் கடிகார எதிர்திசையில் 15° கோணத்தில் சுழற்றுவதால் கிடைக்கும் புதிய நிலையில் உள்ள நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
A(2, 0) மற்றும் (3,1) கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் என்க.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 16
AB-ன் சாய்வு m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{1-0}{3-2}=\frac{1}{1}\) = 1
⇒ m = 1 ⇒ tan θ = 1 ⇒ θ = tan-1 (1)
⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\) or 45°
∴ புதிய நிலையில் நேர்க்கோட்டின் சாய்வு
m = tan(45° + 15°) = tan (60°) = √3
(2, 0) வழியாகவும் சாய்வு √3 கொண்டுள்ளதுமான கோட்டின் சமன்பாடு ⇒ y – 0 = √3 (x – 2) (புள்ளி சாய்வு சூத்திரம் y – y1 = m (x – x1)]
⇒ y = √3x – 2√3 ⇒ √3x – y – 2√3 = 0

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3

கேள்வி 15.
(1, 2) என்ற புள்ளியிலிருந்து வரும் ஒரு ஒளிக்கதிர் x அச்சின் மீதுள்ள புள்ளி A-ல் பிரதிபலித்து, (5, 3) என்ற புள்ளி வழியே செல்கிறது எனில் புள்ளி A-ன் ஆயத் தொலைகளைக் காண்க.
தீர்வு:
P(1, 2) மற்றும் B(5, 3) என்பன கொடுக்கப்பட்ட
புள்ளிகள்
பிரதிபலிப்பு விதிப்படி
∠XAB = OAP = θ
m1 – X – அச்சின் சாய்வு
m2 – AP – ன் சாய்வு
m3 – AB – ன் சாய்வு
∠XAB ஐக் காண
m1 = 0(∵ X அச்சின் சாய்வு என்பதால்)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 17
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 18

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3

கேள்வி 16.
5x = y + 7 என்ற கோட்டிற்கு செங்குத்தாக வரையப்படும் கோடு ஆய அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தும் முக்கோணத்தின் பரப்பு 10 ச.அலகுகள் எனில் அக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
5x – y + 7 = 0ற்கு செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு
x + 5y + k = 0 ….(1)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 19
A, B என்பன (1) என்ற கோடு ஆய அச்சுக்களை சந்திக்கும் புள்ளி என்க.
y = 0 என (1) ல் பிரதியிட
x + k = 0 ⇒ x = -k
∴ A (-k, 0) ⇒ OA = -k
x = 0 என (1) ல் பிரதியிட 5y + k = 0
⇒ y = \(\frac{-k}{5}\) ∴ B\(\left(0, \frac{-k}{5}\right)\)
⇒ OB = \(\frac{-k}{5}\)
∴ ∆ OAB – யின் பரப்பு = \(\frac{1}{2}\) × OA × OB
= \(\frac{1}{2}\) × (-k) × \(\left(\frac{-k}{5}\right)\)
\(\frac{1}{2}\) × (-k) × \(\left(\frac{-k}{5}\right)\) = 10 அலகுகள்.
⇒ \(\frac{k^{2}}{10}\) = 10 ⇒ k2 = 100
⇒ k = ±10
∴ தேவையான சமன்பாடு = x + 5y ± 10 = 0
⇒ x + 5y = ± 10.

கேள்வி 17
x + 2y – 9 = 0 என்ற கோட்டைப் பொருத்து (-2, 3) என்ற புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளியை காண்க.
தீர்வு:
Q(h, k) ஆனது P(-2, 3) என்ற புள்ளியின் x + 2y – 9 = 0
என்ற நேர்க்கோட்டை நோக்கிய பிம்பப்புள்ளி என்க.
∴ (1) ஆனது PQ-ன் மையக்குத்துப்புள்ளி
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 20
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 21
⇒ \(\frac{3-k}{-2-h}=\frac{-1}{-1}\)
⇒ \(\frac{3-k}{-2-h}\) = 1
⇒ 3 – k = – 4 – 2h
⇒ 2h – k = – 7 ….. (2)
PQ-ன் மையப்புள்ளி (1) ஐ நிறைவு செய்யும்
∴ \(\left(\frac{h-2}{2}, \frac{k+3}{2}\right)\) ஆனது x + 2y – 9 = 0 ஐ நிறைவு செய்யும்
⇒ \(\frac{h-2}{2}\) + k + 3 – 9 = 0
⇒ h – 2 + 2k – 12 = 0
⇒ h + 2k = 14 …… (3)
(2) மற்றும் (3) ஐத் தீர்க்க.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 22
h = 0 என (3) ல் பிரதியிட k = 7
∴ (0, 7) ஆனது (-2, 3)-ன் பிம்பப்புள்ளி ஆகும்.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3

கேள்வி 18.
ஒரு புகைப்பட நகலகத்தில் முதல் 10 பிரதிகளுக்கு ஒரு பிரதிக்கு ₹ 1.50 வீதம் வசூலிக்கப்படுகிறது. 10 பிரதிகளுக்கு மேல் அடுத்தடுத்த பிரதிகளுக்கு ₹1 வீதம் கட்டணம் வசூலிக்கப்படுகிறது. x என்பது பிரதிகளின் எண்ணிக்கையையும் y என்பது நகல் களின் கட்டணத்தையும் குறிக்கிறது என்க.
(i) x-ன் மதிப்பு 0 முதல் 50 நகல்கள் வரை உள்ள கட்டணத்தைக் குறிக்கும் வரைபடம் வரைக.
(ii) 40 பிரதிகள் எடுப்பதற்கு ஆகும் கட்டணம் . எவ்வளவு?
தீர்வு:
(i) 0 முதல் 50 நகல்கள் வரை உள்ள கட்டணத்தைக் பஞ் குறிக்கும் வரைபடம்.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 23
x-பிரதிகளின் எண்ணிக்கை, y-நகல்களின் கட்டணம் என்க.
y = 1.50 x, 0 ≤ x ≤ 10
x > 10, எனில், y = 10 (1.50) + (x – 10)… (1)
முதல் 10 நகல்கள் எடுக்க ₹ 1.50 -ம் மீதி (x – 10) நகல்களுக்கு ₹1-ம்
0 = 15 + x – 10
= 5 + x
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 24

(ii) – 10 நகல்கள் எடுக்க ஆகும் செலவு 1.50 × 10 = 15.0
(1 நகல் ரூ 1.5 வீதம்)
10 பிரதிகளுக்கு ஆகும் செலவு 1 × 10 = 10.00
(1 நகல் ரூ1 வீதம்)
அடுத்த 10 பிரதிகளுக்கு ஆகும் செலவு
0.40 × 10 = 4.00 (1 நகல் ரூ 0.40 வீதம்)
அடுத்த 10 பிரதிகளுக்கு ஆகும் செலவு
0.25 × 10 = 2.50 (1 நகல் ரூ 0.25 வீதம்)
∴ 40 பிரதிகள் எடுக்க ஆகும் செலவு
= (15 + 10 + 4 + 2.20)
=. ரூ 31.50.

கேள்வி 19.
y = 5x + b இங்கு b மாற்றத்தக்க மாறிலி மற்றும் 3x – 4y = 6 என்ற கோட்டுடன் வெட்டும் புள்ளியின் x-ஆயத்தொலை மற்றும் b ஆகியவை முழுக்கள் எனில், அந்த நேர்க்கோட்டின் தொகுப்பில் குறைந்தபட்சம் இரண்டு நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வ்:
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 25
என (1) ல் பிரதியிட சாய்வு மற்றும் அச்சுத் தொலைவு முழுக்கள் எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 26
y = 5x – \(\frac{23}{4}\) ⇒ 20x – 4y – 23 = 0
y = 5x – 10 ⇒ 5x – y – 10 = 0

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3

கேள்வி 20.
y = mx – 3 என்ற நேர்க்கோட்டு தொகுப்பிலுள்ள கோடுகளும் x – y = 6 என்ற நேர்க்கோடும், வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளியின் x-ன் ஆயத்தொலை மற்றும் சாய்பு m ஆகியன முழுக்களாகும் எனில், y = mx – 3-ன் நேர்க்கோட்டு தொகுப்பில் உள்ள கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோடுகள்
y = mx – 3
⇒ mx – y = 3 ….(1)
மற்றும் x – y = 6 …(2)
(1), (2) ஐ தீர்க்க
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.3 27
சாய்வு m மற்றும் X அச்சுத் தொலைவுகள் முழுக்கள் என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
∴ \(\frac{3}{1-m}\) ஒரு முழு ⇒ (1 – m) ஆனது 3 ஆல் வகுபடும்.
⇒ 1 – m = ± 1, 1 – m = ± 3, m ஒரு முழு
⇒ 1 = m = 1 (அ)1 – m = -1
⇒ -m = 0 (அ) m = 2
1 – m = 3 (அ)1 – m = -3
⇒ m = -2(அ) m = 2
∴ சமன்பாடுகள்
y = 0 (அ) -3(∵ y = mx – 3)
⇒ y = -2x – 3 மற்றும் y = – 2x – 3
⇒ y = -3, y = -2x – 3 மற்றும்
y = 2x – 3
⇒ y + 3 = 0 (அ)) 2x + y + 3 = 0
(அ) 2x – y – 3 = 0.