Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4

கேள்வி 1.
x – 2y – 3 = 0 மற்றும் x + y + 5 = 0 என்ற தனித்தனிச் சமன்பாடுகளைக் கொண்ட கோடுகளின் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
தனித்தனிச் சமன்பாடுகள் x – 2y-3 =0 ,
x + y + 5 = 0
அவற்றின் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடு
⇒ x2 + xy + 5x – 2xy – 2y2 – 10y – 3x – 3y – 15 = 0
⇒ x2 – 2y – xy + 5x – 3y – 15 = 0

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4

கேள்வி 2.
4x2 + 4xy + y2 – 6x – 3y – 4 = 0 என்பது ஒரு இணை இரட்டை நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் குறிக்கும் எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டுள்ள இணை இரட்டை நேர்க்கோட்டின்
சமன்பாடு
= 4x2 + 4xy + y2 – 6x – 3y – 4 = 0 பொதுச் சமன்பாடு
= ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 1
இரட்டை இணை கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு
h2 – ab = 0
22 – 4(1) = 0
4 – 4 = 0
0 = 0
இணைக் கோடுகளைக் குறிக்கும் கட்டுப்பாடு
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 2
∴ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இணைகோடுகளைக் குறிக்கும்.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4

கேள்வி 3.
2x2 + 3xy – 2y2 + 3x + y + 1 = 0 என்ற கோடு ஒரு செங்குத்து இரட்டை நேர்க்கோடு எனக் காட்டுக.
கீர்வ:
2x2 + 3xy – 2y2 + 3x + y + 1 = 0 கொடுக்கப்பட்ட இணை கோடுகளின் சமன்பாடு
இரட்டை இணைகோடுகளுக்கான பொதுச் சமன்பாடு
ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 3
இரட்டைக் கோடுகள் செங்குத்தாக இருக்கக் கட்டுப்பாடு
a + b = 0
∴ 2 + (-2) = 0
∴ இவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருக்கும்.

 

கேள்வி 4.
2x2 – xy – 3y2 – 6x + 19y – 20 = 0 என்ப து
ஒன்றையொன்று வெட்டிக் கொள்ளும் கோடுகள் எனவும், அதற்கு இடைப்பட்ட கோணம் tan-1 (5) என நிறுவுக.
தீர்வு:
2x2 – xy – 3y2 – 6x + 19y – 20 = 0 என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
2x2 – xy – 3y = (2x – 3y) (x + y)
(காரணிப்படுத்துதல்)
∴ (2x2 – xy – 3y2 – 6x + 19y – 20) = (2x – 3y + 1) (x + y + m)
x, y -ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 4
⇒ m = -5
m = -5 என (1)ல் பிரதியிட
-6 = 2 (-5) + l
– 6 = -10 + l
∴ l = 4
∴ தனித்தனி சமன்பாடுகள் 2x – 3y + 4 = 0 …… (3)
x + y – 4 = 0 ……. (4)
வெட்டும் புள்ளியை காண (3), (4) ஐத் தீர்க்க
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 5
⇒ -5y = -14 ⇒ y = \(\frac{14}{5}\)
y = \(\frac{14}{5}\) என (3) ல் பிரதியிட
2x – 3\(\left(\frac{14}{5}\right)\) + 4 = 0
⇒ 2x – \(\frac{42}{5}\) + 4 = 0
⇒ 2x = \(\frac{42}{5}\) – 4 = \(\frac{42-20}{5}=\frac{22}{5}\)
⇒ x = \(\frac{11}{5}\)
∴ வெட்டும் புள்ளி = \(\left(\frac{11}{5}, \frac{14}{5}\right)\)
∴ கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் கோடுகள் ஆகும்.
θ இரண்டு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் எனில்
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 6

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4

கேள்வி 5.
y = x என்ற கோட்டுடன் a கோணத்தை உடைய, ஆதி வழிச் செல்லும் இரட்டைக் கோடுகளின் சமன்பாடு x2 – 2xy sec 2α + y2 = 0 என காண்பி.
தீர்வு:
y = m1 x, y = m2 x என்பன ஆதிப்புள்ளி வழியே செல்லும் கோடுகளின் சமன்பாடுகள் என்க.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 7
m = tan θ = \(\frac{-1}{-1}\) = 1
θ = 45°
∴ y = x என்ற கோடு X அச்சுடன் 45° கோணத்தை ஏற்படுத்துகிறது.
y = m1x, y = x என்ற கோட்டுடன் a கோணத்தை உண்டாக்குகிறது.
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 8
y = m1x -ன் சாய்வு (α + 45°)
y = m2x -ன் சாய்வு (α + 45°)
∴ m1 = tan (α’ +45),
m2 = tan (45 – α)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 9
y = m1x, y = m2x ன்ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள்
⇒ m1 m2 x2 – (m1 + m2) xy + y2 = 0
⇒ 1(x2) – (2 sec 2 α) xy + y2 = 0
⇒ x2 – 2 xy sec 2 α + y2 = 0
⇒ y2 – 2 xy sec 2 α + x2 = 0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4

கேள்வி 6.
2x – 3y + 1 = 0 மற்றும் 5x + y – 3 = 0என்ற கோடுகளுக்குச் செங்குத்தாகவும் (1,3) என்ற புள்ளி வழியாகவும் செல்லக்கூடிய இரட்டை நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
2x – 3y + 1 = 0, 5x + y – 3 = 0 இவற்றிற்கு செங்குத்தான கோடுகளின் சமன்பாடுகள்
3x+ 2y + l = 0
x – 5y + m = 0
இவை (1,3) வழியே செல்வதால் கிடைப்பது
3(1) +2 (3) + l = 0
l = -9
1 – 5(3) + m = 0
m = 14
செங்குத்துக் கோடுகள் என்பதால்
3x + 2y – 9 = 0
x – 5y + 14 = 0
ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடு
(3x + 2y- 9) (x – 5y + 14) = 0
⇒ 3x2 – 15xy + 42x + 2xy – 10y2 + 28y – 9x + 45y – 126 = 0
⇒ 3x2 – 13xy – 10y2 + 33x + 73y – 126 = 0

கேள்வி 7.
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள இரட்டை நேர்க்கோடுகளின் தனித்தனி நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
(i) 3x2 + 2xy – y2 = 0
(ii) 6(x – 1)2 + 5(x – 1)(y – 2) 4(y – 2)2 = 0
(iii) 2x2 – xy – 3y2 – 6x + 19y – 20 = 0 தீர்வு:
(i) 3×2 + 2xy-y: = 0
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 10
⇒ (x + y) (3x – y) = 0 (காரணிப்படுத்துதல்)
எனவே தனித்தனி சமன்பாடுகள் x + y = 0
மற்றும் 3x – y= 0

(ii) x – 1 = X மற்றும் y – 2 = Y என்க.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
→6x2 + 5XY – 4Y2 = 0 காரணிப்படுத்துதலின் மூலம் கிடைப்பது
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 11
→(3X + 4Y) (2X – Y) = 0
⇒ [3(x – 1) + 4(y – 2)] [2(x – 1) – (y – 2)] = 0
∴ X = x- 1 மற்றும் Y = y-2
⇒ (3x- 3 + 4y – 8) (2x – 2 – y + 2) = 0
⇒ (3x + 4y – 11) (2x – y) = 0
எனவே தனித்தனி சமன்பாடுகள்
3x +4y-11 = 0 மற்றும் 2x-y=0

(iii) கொடுக்கப்பட்ட இரட்டைக் கோடுகள்
2x2 – xy – 3y2 – 6x + 19y – 20 = 0
2x2 – xy – 3y2 = (2x – 3y)(x + y) 2x2 – xy – 3y2 – 6x + 19y – 20 = (2x – 3y + l) (x + y + m)
x, y உறுப்புகளின் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 12
m =-5 என (1)-ல் பிரதியிட
-6 = 2(-5) + l ⇒ – 6 = – 10 + l ⇒ l = 4
எனவே தனித்தனி சமன்பாடுகள்
2x – 3y + 4 = 0 மற்றும் x + y – 5 = 0

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4

கேள்வி 8.
ax2 + 2hxy + by2 = 0 எனும் இரட்டை நேர்க்கோடுகளில் ஓன்றின் சாய்வு மற்றதின் சாய்வைப்போல் இரண்டு மடங்கு எனில் 8h’ = 9ab என நிறுவுக.
தீர்வு:
m, 2m ஆனவை கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் சாய்வுகள் என்க.
m1 + m2 = \(\frac{-2 h}{b}\) மற்றும் m1, m2 = \(\frac{a}{b}\)
∴ m + 2m = \(\frac{-2 h}{b}\) மற்றும் m(2m) = \(\frac{a}{b}\)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 13

கேள்வி 9.
ax2 + 2hxy + by = 0 எனும் இரட்டை நேர்க்கோடுகளில்
ஒன்றின் சாய்வு மற்றதின் சாய்வைப் போல் மூன்று மடங்கு எனில் 3h2 = 4ab எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
m, 3m ஆனவை இரட்டைக் கோடுகளின்
(ax2 + 2hxy + by = 0)-ன் சாய்வுகள்
ax2 + 2hxy + by2 = 0
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 14

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4

கேள்வி 10.
x2 – 4xy + y2 = 0 என்ற இரட்டைக் கோடும் x + y – 2 = 0 என்ற சமன்பாட்டைக் கொண்ட PQ கோடும், ∆OPQ-ஐ உருவாக்குகிறது எனில், 0-லிருந்து வரையப்படும் ∆OPQ-ன் நடுகோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
x2 – 4xy + y2 = 0 என்பன கொடுக்கப்பட்ட இரட்டை கோடுகள் …… (1)
x + y – 2 = 0 ⇒ y = 2 – x …..(2)
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 15
(2) ஐ (1)-ல் பிரதியிட
x2 – 4x (2 – x) + (2 – x)2 = 0
⇒ x2 – 8x + 4x2 + 4 + x2 – 4x = 0
⇒ 6x2 – 12x + 4 = 0
⇒ 3x2 – 6x + 2 = 0
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 16
∴ 0-லிருந்து வரையப்படும் நடுக்கோட்டின் சமன்பாடு
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 17
\(\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
⇒ \(\frac{y-0 .}{1-0}=\frac{x-0}{1-0}\) ⇒ y = x
இதுவே தேவையான நடுக்கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும்.

கேள்வி 11.
6x2 + 5xy – py2 + 7x + qy – 5 = 0 என்ப வை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருக்கும் இரட்டை நேர்க்கோடுகள் எனில், மற்றும் 4-ன் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
இரட்டைக் கோடுகளின் சமன்பாடு
6x2 + 5xy – py2 + 7x + q – 5 = 0
இங்கு a = 6, b = -p, 2h = 5, 2g = 7, 2f = q
⇒ h = \(\frac{5}{2}\), g = \(\frac{5}{2}\), f = \(\frac{q}{2}\), c = – 5
இரட்டைக் கோடுகள் செங்குத்துக்கோடுகளாக இருக்கக் கட்டுப்பாடு a + b = 0 ⇒ 6 – p = 0 ⇒ p = 6 இரட்டைக் கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடுabc +2fgh – af2 – bg2 – ch2 = 0
6 (-6) (-5) + \(\left(\frac{7}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)^{q}-6\left(\frac{q^{2}}{4}\right)+6\left(\frac{49}{4}\right)+5\left(\frac{25}{4}\right)=0\)
முழுவதையும் 4 ஆல் பெருக்க,
720 + 35q – 6q2 + 294 + 125 = 0
⇒ 354 – 6q2 + 1139 = 0
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 18

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4

கேள்வி 12.
12x2 + 7xy – 12y2 – x + 7y + k = 0 என்ற சமன்பாடு இரட்டை நேர்கோட்டுகளின் சமன்பாட்டைக் குறித்தால் k-ன் மதிப்பைக் காண்க. மேலும் அவை இணையா? அல்லது வெட்டிக் கொள்பவையா? எனக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு
12x2 + 7xy – 12y2 – x + 7y + k = 0 ….(1)
a = 12, b = -12, 2h = 7, 2g = -1, 2f = 7, c = k
⇒ h = \(\frac{7}{2}\), g = –\(\frac{1}{2}\), f = \(\frac{7}{2}\)
இரட்டைக் கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு
⇒ abc + 2fgh – af – bg2 – ch2 = 0
⇒ 12(-12) (k) + 7
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 19
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒன்றையொன்று
வெட்டிக் கொள்ளும்.

கேள்வி 13.
12x2 + 2kxy + 2y2 + 11x – 5y + 2 = 0 என்ற சமன்பாடு இரட்டை நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் குறித்தால்
k-ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு
12x2 + 2kxy + 2y2 + 11x – 5y + 2 = 0 இங்கு a = 12, h = k, b = 2, g = \(\frac{h}{2}\), f = \(\frac{-5}{2}\), c = 2
இரட்டை இணை கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு
→ abc + 2fgh – af2 – bg2 – ch2 = 0
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 21
முழுவதையும் 4 ஆல் பெருக்க
192 – 110k – 300 – 242 – 8k2 = 0
⇒ -8k2 – 110k – 350 = 0
⇒ 4k2 + 55k + 175 = 0
⇒ (k + 5)(4k + 35) = 0
⇒ k = -5 (அ) k = \(\frac{-35}{4}\)

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4

கேள்வி 14.
9x2 – 24xy + 16y2 – 12x + 16y – 12 = 0 என்ப து இணையான இரட்டை நேர்க்கோடுகள் என நிறுவுக. மேலும் இவ்விரு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரத்தைக் காண்க.
கீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு
9x2 – 24xy + 16y – 12x + 16y – 12 = 0
இங்கு a = 9, h = -12, b = 16, g = -16, f = 8, c = -12
இரட்டை இணை கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு
h2 – ab = 0
⇒ (-12)2 – 9 (16) = 0
⇒ 144 – 144 = 0
எனவே இவை இணை கோடுகளாகும்.
இணை கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 20

கேள்வி 15.
4x2 + 4xy + y2 – 6x – 3y – 4 = 0 என்ற இரட்டைக் கோடுகள் இணையானவை எனக் காட்டுக. மேலும், இவ்விரு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரத்தைக் காண்க.
கீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு
4x2 + 4xy + y2 – 6x – 3y-4 = 0
இங்கு a = 4, b = 1, h = 2, g = -3, f = \(\frac{-3}{2}\), c = – 4
இணை கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு
h2 – ab = 0
⇒ 4 – 4(1) = 0 ⇒ 0 = 0
எனவே இவை இணை கோடுகளாகும்.
இணை கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 22

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4

கேள்வி 16.
ax2 + 2hxy + by2 = 0 இவற்றில் ஒரு கோடு ஆய அச்சுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் இருசமவெட்டி எனில் (a + b)2 = 4h2 என நிறுவுக.
தீர்வு:
தனித்தனி கோடுகள் y = m1x, y = m2x என்க
y = m1x ஆனது ஆய அச்சுகளின் இடைப்பட்டக் கோணத்தின் இருசமவெட்டி
y = m1x மற்றும் X அச்சிற்கு இடைப்பட்ட கோணம் 45° y = m1x-ன் சாய்வு m1, x அச்சின் சாய்வு = c
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 23

கேள்வி 17.
x2 – 2kxy – y2 = 0 என்ற இரட்டை நேர்க்கோடு x2 – 2kxy – y2 = 0 -ன் கோணங்களின் இருசமவெட்டி எனில், இரண்டாவதாகக் குறிப்பிட்ட கோடுகளும் முதலாவதாகக் குறிப்பிட்ட கோடுகளின் கோணங்களின் இருசமவெட்டி எனக் காண்பி.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு
x2 – 2kxy – y2 = 0 … (1)
x2 – 2kxy – y2 = 0 … (2)
(2) ஆனது (1)-ன் இருசமவெட்டி என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
a = 1, b = -1, 2h = -2k ⇒ h = -k
(1)-ன் இருசமவெட்டிக்கான சமன்பாடு
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 24
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 25
⇒ -k(x2 – y2) = 2xy
⇒ kx2 + ky2 = 2xy = 0
⇒ kx2 – ky2 + 2xy = 0 …… (3)
(2) மற்றும் (3) சமம் என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
(2), (3) ஐ ஒப்பிட
Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4 26
(2)-ன் இருசமவெட்டிக்கான சமன்பாடு
\(\) ⇒ -lx2 + ly2 = 2xy
= -lx2 + ly2 – 2xy = 0 ….(5)
= lx2 – ly2 + 2xy = 0
(1) மற்றும் (5) சமம் என நிரூபிக்க
ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களை ஒப்பிட
\(\frac{1}{l}=\frac{-2 k}{2}=\frac{-1}{-l} \Rightarrow \frac{1}{l}=\frac{-k}{1}=\frac{1}{l}\)
⇒ -kl = 1 ⇒ kl = -1
(4) மற்றும் (6)லிருந்து இரண்டாவது ஜோடி முதல் ஜோடி கோடுகளின் கோண இருசமவெட்டியாகும் என்பது முடிவாகிறது.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.4

கேள்வி 18.
3x – 2y – 1 = 0 என்ற நேர்க்கோடு 3x2 + 5xy – 3y2 + 2x + 3y = 0 என்ற இரட்டைக் கோடுகளை வெட்டும் இருபுள்ளிகளை ஆதியுடன் இணைக்கும் கோடுகள்
செங்குத்தானவை எனக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
3x2 + 5xy – 3y2 + 2x + 3y = 0 …..(1)
மற்றும் 3x – 2y – 1 = 0 ⇒ 3x – 2y = 1 …(2)
(1) மற்றும் (2) வது சமன்பாடுகளிலிருந்து கிடைப்பது.
3x2 + 5xy – 3y2 + (2x + 3y) (1) = 0
= 3x2 + 5xy – 3y2 + (2x + 3y) (3x – 2y) = 0
= 3x2 + 5xy – 3y2 + 6x2 – 4xy + 9xy – 6y2 = 0
= 9x2 + 10xy – 9y2 = 0
x2, y2 – இவற்றின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 9 – 9 = 0
∴ அந்தக் கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து மற்றும் ஆதிப்புள்ளி வழியே செல்கிறது.