Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.5

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 6 இருபரிமாண பகுமுறை வடிவியல் Ex 6.5

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்

கேள்வி 1.
ஒரு புள்ளிகளுக்கும் y அச்சிற்கும் இடைப்பட்ட தூரமானது, அப்புள்ளிக்கும் ஆதிக்கும் இடைப்பட்ட தூரத்தில் பாதி எனில் அப்புள்ளியின் நியமப்பாதை
(1) x² + 3y = 0
(2) x² – 3y = 0
(3) 3x² + y = 0
(4) 3x² – y = 0
குறிப்பு:
புள்ளி (x,y) என்க.
ஆதியிலிருந்து அதன் தூரம் \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
தரப்பட்டது x = \(\frac{1}{2}\)\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
2x = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
4x² = x² + y²
3x² – y² = 0 தேவையான நியமப்பாதை
விடை:
(4) 3x² – y² = 0

கேள்வி 2.
(at²; 2at) என்ற புள்ளியின் நியமப்பாதை (Hy – 2018)
(1) \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
(2) \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
(3) x² + y² = a²
(4) y² = 4ax
குறிப்பு:
(at², 2at) ⇒ x = at², y = 2at
y² = 4a² t² = 4a²\(\left(\frac{x}{a}\right)\) = 4ax
விடை:
(4) y² = 4ax

கேள்வி 3.
3x² + 3y² – 8x – 12y + 17 = 0 என்ற நியமப்பாதையின் மீது அமைந்திருக்கும் புள்ளி
(1) (0, 0)
(2) (-2, 3)
(3) (1, 2)
(4) (0, -1)
குறிப்பு:
3x² + 3y² – 8x – 12y 17 = 0-ன் மீது அமைந்திருக்கும் புள்ளி
ஏனெனில் 3(1)² + 3(2)³ – 8(1) – 12(2) + 17
= 3 + 12 – 8 – 24 + 17 = 0
விடை:
(3) (1, 2)

கேள்வி 4.
\(\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{25}\) = k என்ற நியமப்பாதையின் மீது (8, -5) என்ற புள்ளி உள்ளது எனில், k-ன் மதிப்பு
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
குறிப்பு:
\(\frac{(8)^{2}}{16}-\frac{(-5)^{2}}{25}\) = k
\(\frac{64}{16}-\frac{25}{25}\) = k ⇒ 4 – 1 = 3
விடை:
(4) 3

கேள்வி 5.
(2, 3) மற்றும் (-1, 4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் மீது (α, β ) என்ற புள்ளி இருந்தால்
(1) α + 2β = 7
(2) 3α + β = 9.
(3) α + 3β = 11
(4) 3α + β = 11
கறிப்பு:
(2, 3) மற்றும் (-1, 4) இணைக்கும் கோடானது x + 3y = 11 ஏனெனில் (α, β) இந்த கோட்டில் அமைந்திருப்பதால்
α + 3β = 11
விடை:
(3) α + 3β = 11

கேள்வி 6.
3x – y = -5 என்ற கோட்டுடன் 45. கோணம் ஏற்படுத்தும் கோட்டின் சாய்வுகள்
(1) 1, -1
(2) \(\frac{1}{2}\), – 2
(3) 1, \(\frac{1}{2}\)
(4) 2, –\(\frac{1}{2}\)
கறிப்பு:
3x – y + 5 = 0 சாய்வு \(\frac{-3}{-1}\) = 3 → m₁
m₂ இரண்டாவது கோட்டின் சாய்வு என்க. தரப்பட்டது

விடை:
(2) \(\frac{1}{2}\), – 2

கேள்வி 7.
4 + 2√2 என்ற சுற்றளவு கொண்ட முதல் கால் பகுதியில் ஆய அச்சுகளுடன் அமையும் இருசமபக்க முக்கோணத்தை உருவாக்கும் கோட்டின் சமன்பாடு
(1) x + y + 2 = 0
(2) x + y – 2 = 0
(3) x + y – √2 = 0
(4) x + y + √2 = 0
குறிப்பு:
சுற்றளவு a + a√2 + a = 2a + √2
a = 4 + 2√2
a = 2
∴ கோட்டின் சமன்பாடு \(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\) = 1
⇒ x + y – 2 = 0
விடை:
(2) x + y – 2 = 0

கேள்வி 8.
(-2, 4), (-1, 2), (1, 2) மற்றும் (2, 4) என்ற வரிசையில் நாற்கரத்தின் நான்கு முனைப்புள்ளிகளை எடுத்துக் கொள்க. ஒரு கோடு (-1, 2) என்ற புள்ளி வழியே செல்கிறது. மேலும் அது நாற்கரத்தை சமபரப்பாக பிரிக்கிறது எனில், அதன் சமன்பாடு
(1) x + 1 = 0
(2) x + y = 1
(3) x + y + 3 = 0
(4) x – y + 3 = 0
குறிப்பு:
புள்ளி M (0, 3) இணைக்கும் கோடு (-1, 2) மற்றும் (0, 3) is
\(\frac{y-2}{3-2}=\frac{x+1}{0+1}\)
⇒ x – y + 3 = 0
விடை:
(4) x – y + 3 = 0

கேள்வி 9.
(1, 2) மற்றும் (3, 4) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் செங்குத்து இருசமவெட்டியானது ‘ஆய அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத் துண்டுகள்
(1) 5, -5
(2) 5, 5
(3) 5, 3
(4) 5, -4
குறிப்பு:
இணைக்கும் கோட்டின் சமன்பாடு (1, 2) மற்றும் (3, 4)
\(\frac{y-2}{4-2}=\frac{x-1}{3-1}\) ⇒ x + y + 1 = 0
இதனுடைய செங்குத்து கோடானது x + y + k = 0 இது (1, 2) மற்றும் (3, 4)-ன் மையப்புள்ளி. (2, 3) வழிச் செல்லும்
∴ k = -5
⇒ x + y – 5 = 0
x வெட்டுத்துண்டு 5, y வெட்டுத்துண்டு 5
விடை:
(2) 5, 5

கேள்வி 10.
சாய்வு 2 உடைய கோட்டிற்கு ஆதியிலிருந்து வரையப்படும் செங்குத்துக் கோட்டின் நீளம் 15 எனில், அக்கோட்டின் சமன்பாடு
(1) x + 2y = √5
(2) 2x+ y = √5
(3) 2x – y = 5
(4) x + 2y – 5 = 0
குறிப்பு:
சாய்வு 2 உடைய சமன்பாடுகள் (2), (3), (4)
(2) மற்றும் (1) ஆதியிலிருந்து செங்குத்து தூரம்
\(\frac{\mathrm{C}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
(3) ஆதியிலிருந்து செங்குத்து தூரம்
\(\frac{5}{\sqrt{5}}\) = √5
விடை:
(3) 2x – y = 5

கேள்வி 11.
5x – y = 0 என்ற கோட்டிற்குச் செங்குத்துக் கோடு ஆய அச்சுகளுடன் அமைக்கும் கோணத்தின் பரப்பு 5 ச.அலகுகள் எனில் அக்கோட்டின் சமன்பாடு
(1) x + 5y ± 5√2 = 0
(2) x – 5y ± 5√2 = 0
(3) 5x + y ± 5√2 = 0
(4) 5x – y ± 5√2 = 0
கறிப்பு:
5x – y = 0 செங்குத்துக் கோடு x + 5y + k = 0 ….. (1)
X வெட்டுத்துண்டு -k மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு \(\frac{-k}{5}\)
∴ ∆ பரப்பு = \(\frac{1}{2}(-k)\left(\frac{-k}{5}\right)=\frac{k^{2}}{10}=5\)
கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
k² = 50 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
k = ±5√2
கோட்டின் சமன்பாடானது x + 5y ± 5√2 =0
விடை:
(1) x + 5y ± 5√2 = 0

கேள்வி 12.
x – y + 5 = 0, என்ற கோட்டிற்குச் செங்குத் தாகவும் y-அச்சை வெட்டும் புள்ளி வழியே செல்லக் கூடியதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
(1) x – y – 5 = 0
(2) x + y – 5 = 0
(3) x + y + 5 = 0
(4) x + y + 10 = 0
கறிப்பு:
x – y + 5 = 0 ; x = 0, y = 5 கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளி (0, 5)
செங்குத்துக் கோடு x – y + 5 = 0
x + y + k = 0
(0, 5) வழி செல்லும்
k = -5
∴ தேவையான சமன்பாடு x + y – 5 = 0
விடை:
(2) x + y – 5 = 0

கேள்வி 13.
ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் ஒரு முனை (2, 3) மற்றும் இப்புள்ளிக்கு எதிர்ப்புறம் அமையும் பக்கத்தில் சமன்பாடு x + y = 2, எனில் பக்கத்தின் நீளம்
(1) \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
(2) 6
(3) √6
(4) 3√2
குறிப்பு:
முனையிலிருந்து எதிர்பக்கத்துக்கான செங்குத்து தூரம்
\(\frac{2+3-2}{\sqrt{1+1}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
ஆனால் \(\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ⇒ a = \(\frac{6}{\sqrt{6}}\) = √6
விடை:
(3) √6

கேள்வி 14.
p மற்றும் 4 ஆகியவற்றின் எந்த மதிப்புகளுக்கு
(p + 2q)x + (p – 3q)y = p – ( என்ற கோட்டின் மீது அமையும் புள்ளி
(1) \(\left(\frac{3}{5}, \frac{5}{2}\right)\)
(2) \(\left(\frac{2}{5}, \frac{2}{5}\right)\)
(3) \(\left(\frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right)\)
(4) \(\left(\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\right)\)
குறிப்பு:
(p + 2q)x + (p – 3q)y – p + q = 0
p (x + y = 1) + q (2x – 3y + 1) = 0

x = \(\frac{2}{5}\),
∴ y = \(\frac{3}{5}\)
விடை:
(4) \(\left(\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\right)\)

கேள்வி 15.
(1, 2) மற்றும் (3, 4) ஆகிய இரு புள்ளியிலி நந்து சமத் தொலைவிலும், 2x – 3y = 5 என்ற கோட்டில் மீதும் அமைந்துள்ள புள்ளி
(1) (7, 3)
(2) (4, 1)
(3) (1, -1)
(4) (-2, 3)
குறிப்பு:
(a, b) அமைந்துள்ள கோடு 2x – 3y = 5 ⇒ 2a – 3b = 5
அது (1, 2) மற்றும் (3, 4) லிருந்து சமத்தொலைவில் உள்ளது.
\(\sqrt{(a-1)^{2}+(b-2)^{2}}\) = \(\sqrt{(a-3)^{2}+(b-4)^{2}}\)
(a – 1)² + (b – 2)² = (a – 3)² + (b – 4)²
a² – 2a + 1 + b² – 4b + 4 = a² – 6a + 9 + b² – 8b + 16

b = 1
∴ a = 4
∴ புள்ளி (4, 1) ஆகும்
விடை:
(2) (4, 1)

கேள்வி 16.
y = -3 என்ற கோட்டிற்கு (2, 3) என்ற புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளி
(1) (-3, -2)
(2) (-3, 2)
(3) (-2, -3)
(4) (3, 2)
குறிப்பு:
தேவையான புள்ளி (-3, -2)
விடை:
(1) (-3, -2)

கேள்வி 17.
\(\frac{x}{3}-\frac{y}{4}\) = 1 என்ற கோட்டிற்கு ஆதியிலிருந்து செங்குத்துத் தொலைவு
(1) \(\frac{11}{5}\)
(2) \(\frac{5}{12}\)
(3) \(\frac{12}{5}\)
(4) \(\frac{5}{7}\)
குறிப்பு:
ஆதியிலிருந்து கொடுத்துள்ள கோட்டிற்கான செங்குத்து தூரம்

விடை:
(3) \(\frac{12}{5}\)

கேள்வி 18.
2x – 3y + 1 = 0 என்ற கோட்டிற்குச் செங்குத்தாகவும் (1, 3) என்ற புள்ளி வழியே செல்லும் நேர்க்கோட்டின் ) வெட்டுத்துண்டு
(1) \(\frac{3}{2}\)
(2) \(\frac{9}{2}\)
(3) \(\frac{2}{3}\)
(4) \(\frac{2}{9}\)
குறிப்பு:
2x – 3y + 1 = 0
செங்குத்துக் கோடு 3x + 2y + k = 0
இது (1, 3) வழிச்செல்லும் 3 + 6 + k = 0 ⇒ k = -9
சமன்பாடானது 3x + 2y – 9 = 0
∴ y வெட்டுத்துண்டு x = 0
என எடுப்பதால் கிடைக்கிறது
2y = 9 ⇒ y = \(\frac{9}{2}\)
விடை:
(2) \(\frac{9}{2}\)

கேள்வி 19.
x + (2k – 7)y + 3 = 0 மற்றும் 3kx + 9y – 5 = 0 இவ்விரு கோடுகள் செங்குத்தானவை எனில் -ன் மதிப்பு
(1) k = 3
(2) k = \(\frac{1}{3}\)
(3) k = \(\frac{2}{3}\)
(4) k = \(\frac{3}{2}\)
குறிப்பு:
முதல் கோட்டின் சாய்வு = \(\frac{1}{(2 k-7)}\)
இரண்டாவது கோட்டின் சாய்வு = \(\frac{3 k}{9}\)
m₁ m₂ அவைகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து = – 1

k = -3 (2k – 7)
k = – 6k + 21
⇒ 7k = 21; k = 3
விடை:
(1) k = 3

கேள்வி 20.
ஒரு சதுரத்தின் ஒரு முனை ஆதியாகவும் மற்றும் அதன் ஒரு பக்கம் 4x + 3y – 20 = 0, என்ற கோட்டின் மீதும் அமைந்திருந்தால், அந்தச் சதுரத்தின் பரப்பு
(1) 20 சஅ
(2) 16 சஅ
(3) 25 சஅ
(4) 4 சஅ
குறிப்பு ஆதியிலிருந்து 4x + 3y – 20 = 0 கோட்டிற்கான செங்குத்து தூரம்
\(\left|\frac{-20}{\sqrt{16+9}}\right|=\frac{20}{\sqrt{25}}=\frac{20}{5}\)
சதுரத்தின் பரப்பு = 4 × 4 = 16 சதுர அலகுகள்
விடை:
(2) 16 சஅ]

கேள்வி 21.
6x² + 41xy – 7y² = 0 என்ற இரட்டைக் கோடுகள் x – அச்சுடன் ஏற்படுத்து கோணங்கள் α மற்றும் β எனில் tan α tan β = ?
(1) – \(\frac{6}{7}\)
(2) \(\frac{6}{7}\)
(3) –\(\frac{7}{6}\)
(4) \(\frac{7}{6}\)
குறிப்பு:
m₁m₂ = \(\frac{a}{b}=\frac{6}{-7}\)
விடை:
(1) – \(\frac{6}{7}\)

கேள்வி 22.
x² – 4y² = 0 மற்றும் x = a என்ற கோடுகளால் உருவாக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு
(1) 2a²
(2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)a²
(3) \(\frac{1}{2}\)a²
(4) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)a²
குறிப்பு:
x – 2y = 0
x + 2y = 0
x = a
புள்ளிகள் (0, 0), \(\left(a, \frac{a}{2}\right)\) , \(\left(a, \frac{-a}{2}\right)\)
பரப்பு = \(\frac{1}{2}\)(அடிபக்கம் × உயரம்)
= \(\frac{1}{2}\)[a. a] = \(\frac{a^{2}}{2}\)
விடை:
(3 ) \(\frac{1}{2}\)

கேள்வி 23.
6x² – xy + 4cy² = 0 என்ற கோடுகளில் ஒரு கோடான 3x + 4y = 0, எனில் -ன் மதிப்பு
(1) -3
(2) -1
(3) 3
(4) 1
குறிப்பு: (3x + 4y) (ax + by) = 6x² – xy + 4cy²
3a = 6, ∴ a = 2
4a + 3b = -1 ⇒ 3b = -9
b = -3

விடை
(1) – 3

கேள்வி 24.
x² – xy – 6y² = 0 என்ற கோடுகளுக்கு இடைப்பா குறுங்கோணம் θ எனில் \(\frac{2 \cos \theta+3 \sin \theta}{4 \sin \theta+5 \cos \theta}\) – ண் மதி
(1) 1
(2) –\(\frac{1}{9}\)
(3) \(\frac{5}{9}\)
(4) \(\frac{1}{9}\)
குறிப்பு:

விடை:
(3) \(\frac{5}{9}\)

கேள்வி 25.
x² + 2xy cot θ – y² = 0 என்ற இரட்டை நேர்க்கோட்டி சமன்பாடுகளில் ஒரு சமன்பாடு
(1) x – y cot θ = 0
(2) x + y tan θ = 0
(3) x cos θ + y (sin θ + 1) = 0
(4) x sin θ + y(cos θ + 1) = 0
குறிப்பு:
x² + 2xy cot θ – y² = 0
x² + x(2y cot θ) + (-y²) = 0
x = \(\frac{-2 y \cot \theta \pm \sqrt{4 y^{2} \cot ^{2} \theta+4 y^{2}}}{2}\)
x = – y cot θ ± y cosec θ
x sin θ = – y cos θ – y
x sin θ + y (1 + cos θ) = 0
விடை:
(4) x sin θ + y (cos θ + 1) = 0