Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 7 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 7.4

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 7 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 7.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 7 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 7.4

Question 1.
(0, 0), (1, 2), (4, 3) என்ற உச்சிப்புள்ளிகளைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
முக்கோணத்தின் பரப்பானது
= \(\frac{1}{2}\) [x1y2 – x2y1 + x2y3 – x3y2 + x3y1 – x1y3]
இக்கோவையை அணிக்கோவை வடிவத்தில்

= \(\frac{1}{2}\) \(\left|\begin{array}{lll}
x_{1} & y_{1} & 1 \\
x_{2} & y_{2} & 1 \\
x_{3} & y_{3} & 1
\end{array}\right|\) என எழுதலாம்.

∴ x1y1 (0, 0), x2y2 (1, 2) x3y3 (4, 3) என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

∴ முக்கோணத்தின் பரப்பு = \(\frac{1}{2}\) \(\left|\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
4 & 3 & 1
\end{array}\right|\)
= \(\left|\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
4 & 3 & 1
\end{array}\right|\) [0 (2 – 3) – 0 (1 – 4)+ 1 (3 – 8)]
= \(\frac{1}{2}\) (-5)
= \(-\frac{5}{2}\) = \(\frac{5}{2}\) = 2.5 அலகுகள்

(∴ பரப்பு எப்பொழுதும் மிகையே)

Question 2.
(k, 2), (2, 4) மற்றும் (3, 2) என்ற உச்சிப்புள்ளிகளைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பு 4 சதுர அலகுகள் எனில், k- ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
முக்கோணத்தின் பரப்பு = \(\frac{1}{2}\) \(\left|\begin{array}{lll}
x_{1} & y_{1} & 1 \\
x_{2} & y_{2} & 1 \\
x_{3} & y_{3} & 1
\end{array}\right|\) -ன் எண்ண ளவு ஆகும்.

எனவே 4 = \(\frac{1}{2}\) \(\left|\begin{array}{lll}
k & 2 & 1 \\
2 & 4 & 1 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right|\)

⇒ 8 = ± [k(4 – 2) – 2(2 – 3) + 1(4 – 12)]
⇒ 8 = ± [k (2) + 2 – 8]
⇒ 8 = ± (2k – 6)

நிலை (i)
⇒ 8 = 2k – 6
⇒ 2k = 14 ⇒ k = 7

நிலை (ii)
-2k = 8 – 6
-2k = 2
k = -1
k = -1, 7.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 7 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 7.4

Question 3.
கீழ்க்காண்பவற்றில் எவை பூஜ்ஜிய மற்றும் பூஜ்ஜியமற்ற கோவை அணிகள் எனக் காண்க.
(i) \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{array}\right]\)

(ii) \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & -3 & 5 \\
6 & 0 & 4 \\
1 & 5 & -7
\end{array}\right]\)

(iii) \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & a-b & k \\
b-a & 0 & 5 \\
-k & -5 & 0
\end{array}\right]\)
தீர்வு :
(i) A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{array}\right]\) என்க.

|A| = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{array}\right|\)
= 1(45 – 48) – 2(36 – 42) + 3(32 – 35)
= -3 – 2(-6) + 3(-3)
= -3 + 12 – 9 = -12 + 12 = 0
∴ A ஒரு பூஜ்ஜியக்கோவை அணியாகும்.

(ii) A =\(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 5 \\
6 & 0 & 4 \\
1 & 5 & -7
\end{array}\right]\) என்க

|Al = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 5 \\
6 & 0 & 4 \\
1 & 5 & -7
\end{array}\right|\)
= 2(0 – 20) + 3(-42 – 4) + 5(30 – 0)
= – 40 + 3 × (-46) + 150
= – 40 – 138 + 150
= – 178 + 150 = -28 ≠ 0
∴ A ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற கோவை அணியாகும்.

(iii) B = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & a-b & k \\
b-a & 0 & 5 \\
-k & -5 & 0
\end{array}\right]\)

|B| = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & a-b & k \\
b-a & 0 & 5 \\
-k & -5 & 0
\end{array}\right|\)
= 0 (0 + 25) – (a – b) (0 + 5k) + k [-5(b – a) – 0]
= -5k(a – b) – 5k(b – a)
= + 5k (b – a) – 5k (b – a) = 0
B ஒரு பூஜ்ஜியக் கோவை அணியாகும்.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 7 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 7.4

Question 4.
பின்வருவன பூஜ்ஜியக் கோவை அணிகள் எனில், a மற்றும் b ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
(i) A = \(\left[\begin{array}{cc}
7 & 3 \\
-2 & a
\end{array}\right]\)

(ii) B = \(\left[\begin{array}{ccc}
b-1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 \\
1 & -2 & 4
\end{array}\right]\)
தீர்வு :
(i) A = \(\left[\begin{array}{cc}
7 & 3 \\
-2 & a
\end{array}\right]\)

|A| = \(\left|\begin{array}{cc}
7 & 3 \\
-2 & a
\end{array}\right|\) = 0 எனில்
7a + 6 = 0
7a = – 6
a = \(-\frac{6}{7}\)

(ii) B = \(\left[\begin{array}{ccc}
b-1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 \\
1 & -2 & 4
\end{array}\right]\)

|B| = \(\left|\begin{array}{ccc}
b-1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 \\
1 & -2 & 4
\end{array}\right|\) = 0 எனில்
(b – 1) (4 + 4) – 2(12 – 2) + 3(-6 – 1) = 0
(b – 1) (8) – 20 – 21 = 0
8b – 8 – 41 = 0
8b – 49 = 0
8b = 49
b = \(\frac{49}{8}\)

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 7 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 7.4

Question 5.
cos 2θ = 0 எனில், \(\left|\begin{array}{rrr}
0 & \cos \theta & \sin \theta \\
\cos \theta & \sin \theta & 0 \\
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{array}\right|^{2}\) -ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
A = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & \cos \theta & \sin \theta \\
\cos \theta & \sin \theta & 0 \\
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{array}\right| \times\left|\begin{array}{rrr}
0 & \cos \theta & \sin \theta \\
\cos \theta & \sin \theta & 0 \\
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{array}\right|\) என்க .
cos 2θ = 2 cos2θ – 1 = 0
2 cos2θ = 1
cos2θ = \(\frac{1}{2}\)
cos θ = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), sin θ = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 7 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 7.4 1

Question 6.
\(\left|\begin{array}{cc}
\log _{3} 64 & \log _{4} 3 \\
\log _{3} 8 & \log _{4} 9
\end{array}\right| \times\left|\begin{array}{ll}
\log _{2} 3 & \log _{8} 3 \\
\log _{3}^{c} 4 & \log _{3} 4
\end{array}\right|\) என்ற பெருக்கலின் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
\(\left|\begin{array}{cc}
\log _{3} 64 & \log _{4} 3 \\
\log _{3} 8 & \log _{4} 9
\end{array}\right| \times\left|\begin{array}{ll}
\log _{2} 3 & \log _{8} 3 \\
\log _{3}^{c} 4 & \log _{3} 4
\end{array}\right|\)

= \(\left|\begin{array}{ll}
\log _{3} 64 \cdot \log _{2} 3+\log _{4} 3 \cdot \log _{3} 4 & \log _{3} 64 \cdot \log _{8} 3+\log _{4} 3 \cdot \log _{3} 4 \\
\log _{3} 8 \cdot \log _{2} 3+\log _{4} 9 \cdot \log _{3} 4 & \log _{3} 8 \cdot \log _{8} 3+\log _{4} 9 \cdot \log _{3} 4
\end{array}\right|\) [∵ logyx . logx y = 1]

= \(\left|\begin{array}{lc}
6 \log _{3} 2 \log _{2} 3+1 & 2 \log _{3} 88_{8} 3+1 \\
3 \log _{3} 2 \log _{2} 3+1 & 1+2 \log _{4} 3 \log _{3} 4
\end{array}\right|\) [∵ logx x = 1]

= \(\left|\begin{array}{ll}
6+1 & 2+1 \\
3+2 & 1+2
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}
7 & 3 \\
5 & 3
\end{array}\right|\)
= 21 – 15 = 6