Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 7 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 7.5 Textbook Questions and Answers, Notes.
TN Board 11th Maths Solutions Chapter 7 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 7.5
சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்றுவிடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும்.
Question 1.
aij = \(\frac{1}{2}\) (3i – 2j) மற்றும் A = [aij]2 × 2 எனில், A என்பது.
(1) \(\left[\begin{array}{rr}
\frac{1}{2} & 2 \\
-\frac{1}{2} & 1
\end{array}\right]\)
(2) \(\left[\begin{array}{rr}
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
2 & 1
\end{array}\right]\)
(3) \(\left[\begin{array}{rr}
2 & 2 \\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right]\)
(4) \(\left[\begin{array}{rr}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
1 & 2
\end{array}\right]\)
குறிப்பு :
aij = \(\frac{1}{2}\) (3i – 2j)
a11 = \(\frac{1}{2}\) = (3 × 1 – 2 × 1)
= \(\frac{1}{2}\)(3 – 2) = \(\frac{1}{2}\) × 1 = \(\frac{1}{2}\)
a12 = \(\frac{1}{2}\) (3 × 1 – 2 × 2)
= \(\frac{1}{2}\)(3 – 4) = \(\frac{1}{2}\) × (-1) = –\(\frac{1}{2}\)
a21 = \(\frac{1}{2}\) (3 × 2 – 2 × 1)
= \(\frac{1}{2}\) (6 – 2)
= 
= 2
a21 = \(\frac{1}{2}\) (3 × 2 – 2 × 2)
= \(\frac{1}{2}\) (6 – 4)
= 
= 1
A = \(\left[\begin{array}{rr}
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
2 & 1
\end{array}\right]\)
விடை :
(2) \(\left[\begin{array}{rr}
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
2 & 1
\end{array}\right]\)
Question 2.
2x + \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
3 & 8 \\
7 & 2
\end{array}\right]\) எனில், X என்ற அணியானது
(1) \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 3 \\
2 & -1
\end{array}\right]\)
(2) \(\left[\begin{array}{cc}
1 & -3 \\
2 & -1
\end{array}\right]\)
(3) \(\left[\begin{array}{rr}
2 & 6 \\
4 & -2
\end{array}\right]\)
(4) \(\left[\begin{array}{ll}
2 & -6 \\
4 & -2
\end{array}\right]\)
குறிப்பு:
2X + \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
3 & 8 \\
7 & 2
\end{array}\right]\)
⇒ 2X = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 8 \\
7 & 2
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
2 & 6 \\
4 & -2
\end{array}\right]\)
X = \(\frac{1}{2}\) \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 6 \\
4 & -2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
2 & -1
\end{array}\right]\)
விடை :
(1) \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 3 \\
2 & -1
\end{array}\right]\)
Question 3.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 5
\end{array}\right]\) என்ற அணிக்கு பின்வருவனவற்றில் எது உண்மையல்ல?
(1) ஒரு திசையிலி அணி
(2) ஒரு மூலை விட்ட அணி
(3) ஒரு மேல் முக்கோண வடிவ அணி
(4) ஒரு கீழ் முக்கோண வடிவ அணி
(விடை :
(2) ஒரு மூலை விட்ட அணி
Question 4.
A, B என்பன A + B மற்றும் AB என்பவற்றை வரையறுக்கும் இரு அணிகள் எனில்,
(1) A, B என்பன ஒரே வரிசை கொண்டவையாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.
(2) A, B என்பன சமவரிசையுள்ள சதுர அணிகள்
(3) A-நிரல்களின் எண்ணிக்கையும், B-ன் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமம்.
(4) A = B
(விடை :
(2)A, B என்பன சமவரிசையுள்ள சதூ அணிகள்
Question 5.
A = \(\left[\begin{array}{rr}
\lambda & 1 \\
-1 & -\lambda
\end{array}\right]\) எனில், λ-ன் எம்மதிப்புகளுக்கு A2 = 0?
(1) 0
(2) +1
(3) – 1
(4) 1
குறிப்பு:
A = \(\left[\begin{array}{rr}
\lambda & 1 \\
-1 & -\lambda
\end{array}\right]\)
A2 = \(\left[\begin{array}{rr}
\lambda & 1 \\
-1 & -\lambda
\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{rr}
\lambda & 1 \\
-1 & -\lambda
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{rr}
\lambda^{2}-1 & \chi-\chi \\
-\chi+\chi & -1+\lambda^{2}
\end{array}\right]\)
= \(\) = 0
⇒ λ2 – 1 = 0
⇒ λ2 = 1
λ = ± 1
விடை :
(2) ±1
Question 6.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & -1 \\
2 & -1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{rr}
a & 1 \\
b & -1
\end{array}\right]\) மற்றும் (A + B)2 = A2 + B2 எனில் a, b -ன் மதிப்புகள்
(1) a = 4, b = 1
(2) a= 1, b = 4
(3) a = 0, b = 4
(4) a= 2, b = 4
குறிப்பு :
A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & -1 \\
2 & -1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{rr}
a & 1 \\
b & -1
\end{array}\right]\)
(A + B)2 = A2 + B2 எனில்
A + B = \(\left[\begin{array}{rr}
1+a & 0 \\
2+b & -2
\end{array}\right]\)
(A + B)2 = \(\left[\begin{array}{rr}
1+a & 0 \\
2+b & -2
\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{rr}
1+a & 0 \\
2+b & -2
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{cc}
(a+1)^{2} & 0 \\
(a+1)(b+2)-2(b+2) & 4
\end{array}\right]\)
A2 = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & -1 \\
2 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
1 & -1 \\
2 & -1
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{cc}
(1-2) & (-1)+1 \\
2-2 & -2+1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)
B2 = \(\left[\begin{array}{cc}
a & 1 \\
b & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
a & 1 \\
b & -1
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ll}
a_{0}^{2}+b & a-1 \\
a b-b & b+1
\end{array}\right]\)
A2 + B2 = \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}
a^{2}+b & a-1 \\
a b-b & b+1
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{cc}
\left(a^{2}+b-1\right) & a-1 \\
a b-b & b
\end{array}\right]\)
= (A + B)2 = \(\left[\begin{array}{cc}
(a+1)^{2} & 0 \\
(2+b+2 a+a b-4-2 b) & 4
\end{array}\right]\)
⇒ b = 4, (a – 1) = 0
⇒ a = 1 .
(விடை :
(2) a = 1, b = 4)
Question 7.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & -2 \\
a & 2 & b
\end{array}\right]\) என்பது AAT = 9I என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் அணியாகும். இங்கு I என்பது 3 × 3 வரிசையுள்ள சமனி அணி எனில், (a, b) என்ற வரிசை ஜோடி
(1) (2, -1)
(2) (-2, 1)
(3) (2, 1)
(4) (-2,-1)
குறிப்பு :
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & -2 \\
a & 2 & b
\end{array}\right]\), AT = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & a \\
2 & 1 & 2 \\
2 & -2 & b
\end{array}\right]\)
|AAT| = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & -2 \\
a & 2 & b
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & a \\
2 & 1 & 2 \\
2 & -2 & b
\end{array}\right]\)
|AAT|=|9I| = \(\left[\begin{array}{rrr}
(1+4+4) & (2+2-4) & (a+4+2 b) \\
(2+2-4) & (4+1+4) & (2 a+2-2 b) \\
(a+4+2 b) & (2 a+2-2 b) & \left(a^{2}+4+b^{2}\right)
\end{array}\right]\)
= 9\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
a + 4 + 2b = 0
a + 2b = -4 ………….(1)
2a + 2 – 2b = 0
2a – 2b = -2
⇒ a – b = -1 ………….(2)
(1) – (2) ⇒ 3b = -3
b = -1
a – (-1) = a + 1 = -1
a = -2
விடை :
(4) (-2,-1)
Question 8.
A என்பது ஒரு சதுர அணி எனில், பின்வருவனவற்றுள் எது சமச்சீரல்ல?
(1) A + AT
(2) AAT
(3) ATA
(4) A – AT
குறிப்பு :
(A – AT)T = AT – (AT)T
= AT – A = -(A – AT)
விடை :
(4) A – AT
Question 9.
A,B என்பன n வரிசையுள்ள சமச்சீர் அணிகள், இங்கு (A ≠ B) எனில்,
(1) A + B ஆனது ஓர் எதிர் சமச்சீர் அணி
(2) A+ B என்பது ஓர் சமச்சீர் அணி
(3) A + B என்பது ஒரு மூலைவிட்ட அணி
(4) A+ B என்பது ஒரு பூஜ்ஜிய அணி
குறிப்பு :
(A+ B)T = AT – BT = A + B
(விடை :
(2) A + B என்பது ஓர் சமச்சீர் அணி
Question 10.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
a & x \\
y & a
\end{array}\right]\)
மற்றும் xy = 1, எனில் (AAT)-ன் மதிப்பு
(1) (a – 1)2
(2) (a2 + 1)2
(3) a2 – 1
(4) (a2 – 1)2
குறிப்பு :
A = \(\left[\begin{array}{ll}
a & x \\
y & a
\end{array}\right]\), xy = 1 எனில்,
AAT = \(\left[\begin{array}{ll}
a & x \\
y & a
\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{ll}
a & y \\
x & a
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ll}
a^{2}+x^{2} & a y+a x \\
a y+a x & y^{2}+a^{2}
\end{array}\right]\)
|AAT| = |A||AT|
R.H.S = (a2 – xy) (a2 – xy)
= (a2 – 1) (a2 -1) = (a2 – 1)2
(விடை :
(4) (a2 -1)2
Question 11.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
e^{x-2} & e^{7+x} \\
e^{2+x} & e^{2 x+3}
\end{array}\right]\) என்பது ஒரு பூஜ்ஜியக் கோவை அணி எனில், x-ன் மதிப்பு
(1) 9
(2) 8
(3) 7
(4) 6
குறிப்பு :
(ex – 2 . e2x + 3) – e2 + x . e7 + x = 0
x – 2 + 2x + 3 = 2 + x + 7 + x
2x + 1 = x + 9
x = 9 – 1 = 8
விடை :
(2) 81
Question 12.
(x, -2), (5, 2), (8,8) என்பன ஒரு கோடமைப் புள்ளிகள் எனில், x-ன் மதிப்பு.
(1) -3
(2) \(\frac{1}{3}\)
(3) 1
(4) 3
குறிப்பு :
∆-ன் பரப்பு 0 எனில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு கோடமைப்புள்ளிகள்.
∴ ∆-ன் பரப்பு = \(\frac{1}{2}\) \(\left|\begin{array}{ccc}
x & -2 & 1 \\
5 & 2 & 1 \\
8 & 8 & 1
\end{array}\right|\) = 0
x (2 – 8) + 2(5 – 8) + 1(40 – 16) =0
-6x – 6 + 24 = 0
-6x = -18
x = 
x = 3
விடை :
(4) 3
Question 13.
\(\left|\begin{array}{lll}
2 a & x_{1} & y_{1} \\
2 b & x_{2} & y_{2} \\
2 c & x_{3} & y_{3}
\end{array}\right|=\frac{a b c}{2}\) ≠ 0 எனில், \(\left(\frac{x_{1}}{a}, \frac{y_{1}}{a}\right),\left(\frac{x_{2}}{b}, \frac{y_{2}}{b}\right),\left(\frac{x_{3}}{c}, \frac{y_{3}}{c}\right)\) என்ற உச்சிப்புள்ளிகளைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பு
(1) \(\frac{1}{4}\)
(2) \(\frac{1}{4}\)abc
(3) \(\frac{1}{8}\)
(4) \(\frac{1}{4}\) abc
குறிப்பு :
∆-ன் பரப்பு = \(\frac{1}{2}\) \(\left|\begin{array}{lll}
\frac{x_{1}}{a} & \frac{y_{1}}{a} & 1 \\
\frac{x_{2}}{b} & \frac{y_{2}}{b} & 1 \\
\frac{x_{3}}{c} & \frac{y_{3}}{c} & 1
\end{array}\right|\)
= \(\frac{1}{2}\) \(\frac{a b c}{a b c}\left|\begin{array}{lll}
\frac{x_{1}}{a} & \frac{y_{1}}{a} & 1 \\
\frac{x_{2}}{b} & \frac{y_{2}}{b} & 1 \\
\frac{x_{3}}{c} & \frac{y_{3}}{c} & 1
\end{array}\right|\)
= \(\frac{1}{2 a b c}\left|\begin{array}{lll}
x_{1} & y_{1} & a \\
x_{2} & y_{2} & b \\
x_{3} & y_{3} & c
\end{array}\right|\) [R1 ஐ a ஆல்
R2 ஐ b ஆல்
R3 ஐ c ஆல் பெருக்கி abc வகுக்க)
Question 14.
\(\left[\begin{array}{rr}
\alpha & \beta \\
\gamma & -\alpha
\end{array}\right]\) என்ற ஒரு சதுர அணியின் வர்க்கம் வரிசை 2 உடைய ஒரு அலகு அணி எனில், α, β மற்றும் γ என்பவை நிறைவு செய்யும் தொடர்பு.
(1) 1 + α2 + βγ = 0
(2) 1 – α2 – βγ = 0
(3) 1 – α2 + βγ = 0
(4) 1 + α2 – βγ = 0
செறிப்பு:
\(\left[\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
\gamma & -\alpha
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
\gamma & -\alpha
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\alpha^{2}+\beta \gamma & \alpha \beta-\alpha \beta \\
\alpha \gamma-\alpha \gamma & \beta \gamma+\alpha^{2}
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{cc}
\alpha^{2}+\beta \gamma & 0 \\
0 & \beta \gamma+\alpha^{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) (∵ என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது),
⇒ α2 + βγ = 1
⇒ 1 – α2 – βγ = 0
விடை :
(2) 1 – α2 – βγ = 0
Question 15.
∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
a & b & c \\
x & y & z \\
p & q & r
\end{array}\right|\) எனில், \(\left|\begin{array}{lll}
k a & k b & k c \\
k x & k y & k z \\
k p & k q & k r
\end{array}\right|\) என்பது
(1) ∆
(2) k∆
(3) 3k∆
(4) k3∆
குறிப்பு :
∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
a & b & c \\
x & y & z \\
p & q & r
\end{array}\right|\) எனில், \(\left|\begin{array}{lll}
k a & k b & k c \\
k x & k y & k z \\
k p & k q & k r
\end{array}\right|\)
= k3\(\left|\begin{array}{lll}
a & b & c \\
x & y & z \\
p & q & r
\end{array}\right|\) = [C1, C2, C3, லிருந்து முறையே k, k, k ஐ வெளியில் எடுக்க]
விடை:
(4) k3∆
Question 16.
\(\left|\begin{array}{rrr}
3-x & -6 & 3 \\
-6 & 3-x & 3 \\
3 & 3 & -6-x
\end{array}\right|\) என்ற சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வு.
(1) 6
(2) 3
(3) 0
(4) -6
குறிப்பு :
\(\left|\begin{array}{rrr}
3-x & -6 & 3 \\
-6 & 3-x & 3 \\
3 & 3 & -6-x
\end{array}\right|\) = 0
R1 → R1 + R2 + R3
⇒\(\left|\begin{array}{ccc}
-x & -x & -x \\
-6 & 3-x & 3 \\
3 & 3 & -6-x
\end{array}\right|\) = 0
⇒ -x\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
-6 & 3-x & 3 \\
3 & 3 & -6-x
\end{array}\right|\) = 0
⇒ x = 0 என்பது ஒரு மூலமாகும்.
விடை :
(3) 0
Question 17.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
0 & a & -b \\
-a & 0 & c \\
b & -c & 0
\end{array}\right]\) என்ற அணிக்கோவையின் மதிப்பு
(1) -2abc
(2) abc
(3) 0
(4) a2 + b2 + 2
குறிப்பு :
A =\(\left[\begin{array}{rrr}
0 & a & -b \\
-a & 0 & c \\
b & -c & 0
\end{array}\right]\)
= 0 – a (0 – bc) – b (ac – 0)
= 
= 0
விடை :
(3) 0
Question 18.
x1, x2, x3 மற்றும் y1, y2, y3, ஆகியவை ஒரே பொது விகிதம் கொண்ட பெருக்குத் தொடர் முறையில் இருந்தால், (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) என்ற புள்ளிகள் –
(1) சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிப்புள்ளிகள்
(2) செங்கோண முக்கோணத்தின் உச்சிப்புள்ளிகள்
(3) இரு சமபக்க செங்கோண முக்கோணத்தின் உச்சிப்புள்ளிகள்
(4) ஒரே கோட்டிலமையும்
விடை :
(4) ஒரே கோட்டிலமையும்
Question 19.
[.] என்பது மீப்பெரு முழு எண் சார்பு என்க. மேலும் -1 ≤ x < 0, 0 ≤ y < 1, 1 ≤ z < 2 எனில்,
\(\left|\begin{array}{lcc}
\mid x\rfloor+1 & \lfloor y\rfloor & \lfloor z\rfloor \\
\lfloor x\rfloor & \lfloor y\rfloor+1 & \lfloor z\rfloor \\
\lfloor x\rfloor & \lfloor y\rfloor & \lfloor z\rfloor+1
\end{array}\right|\) என்ற அணிக்கோவையின் மதிப்ப.
(1) [z]
(2) [y]
(3) [x]
(4) [x] + 1
குறிப்பு :
\(\left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & 2
\end{array}\right|\) = 1 (0 + 1)
விடை :
(1) [z]
Question 20.
a ≠ b, b, c ஆகியவை \(\left|\begin{array}{rrr}
a & 2 b & 2 c \\
3 & b & c \\
4 & a & b
\end{array}\right|\), என்பதை நிறைவு செய்தால், நம் என்பது
(1) a + b + c
(2) 0
(3) b3
(4) ab + be
குறிப்பு :
\(\left|\begin{array}{rrr}
a & 2 b & 2 c \\
3 & b & c \\
4 & a & b
\end{array}\right|\) = 0
⇒ a(b2 – ac) – 2b(3b – 4c) + 2c(3a – 4b)| = 0
⇒ ab2 – a2c – 6b2 + 8bc + 6ac – 8bc = 0
⇒ ab2 – 6b2 – a2c + 6ac = 0
⇒ b2(a – 6) – ac(a – 6) = 0
⇒ (a – 6) (b2 – ac) = 0
⇒ a = 6 or b2 = ac
⇒ b2 = ac
⇒ b2 × b = ac × b
⇒ b3 = abc
விடை :
(3) b3
Question 21.
A = \(\left|\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 4 \\
3 & 1 & 0 \\
-2 & 4 & 2
\end{array}\right|\) மற்றும்
B = \(\left|\begin{array}{rrr}
-2 & 4 & 2 \\
6 & 2 & 0 \\
-2 & 4 & 8
\end{array}\right|\) எனில் ,
(1) B = 4A
(2) B=-4A
(3) B = -A
(4) B = 6A
குறிப்பு :
A = \(\left|\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 4 \\
3 & 1 & 0 \\
-2 & 4 & 2
\end{array}\right|\) B = \(\left|\begin{array}{rrr}
-2 & 4 & 2 \\
6 & 2 & 0 \\
-2 & 4 & 8
\end{array}\right|\)
B = \(-\left|\begin{array}{ccc}
-2 & 4 & 8 \\
6 & 2 & 0 \\
-2 & 4 & 2
\end{array}\right|\) R1 ⇄ R3
= -2 × 2 \(\left|\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 4 \\
3 & 1 & 0 \\
-2 & 4 & 2
\end{array}\right|\) [R1 லிருந்து 2,
R2 லிருந்து 2 ஐயும்
வெளியில் எடுக்க.]
(விடை :
(2) B = -4A
Question 22.
A என்பது n ஆம் வரிசை உடைய எதிர் சமச்சீர் அணி மற்றும் C என்பது n × 1 வரிசை உடைய நிரல் அணி எனில், CT AC என்பது
(1) 1ஆம் வரிசையுடைய சமனி அணி
(2) வரிசை 1 உடைய சமனி அணி
(3) வரிசை 1 உடைய பூஜ்ஜிய அணி
(4) வரிசை 2 உடைய சமனி அணி
குறிப்பு :
C-யின் வரிசை n × 1 = CT-யின் வரிசை 1 × n !
∴ CTA-யின் வரிசை 1 × n
(∵ A ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணி)
∴ CTAC – யின் வரிசை (1 × n) × (n × 1) = (1 × 1)
A ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணி என்பதால், CT ஒரு பூஜ்ஜிய அணி (வரிசை (1) கொண்ட பூஜ்ஜிய அணி).
விடை :
(3) வரிசை 1 உடைய பூஜ்ஜிய அணி
Question 23.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & -1
\end{array}\right]\) என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் A என்ற அணி
(1) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 4 \\
-1 & 0
\end{array}\right]\)
(2) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & -4 \\
1 & 0
\end{array}\right]\)
(3) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 4 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)
(4) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & -4 \\
1 & 1
\end{array}\right]\)
குறிப்பு :
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) A = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)
A = \(\)
⇒ \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
a+3 c & b+3 d \\
c & d
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)
⇒ c = 0, d = -1
a + 3c = 1
⇒ a + 0 = 1
⇒ a = 1
b + 3d = 1
⇒ b + 3 × -1 = 1
⇒ b – 3 = 1
⇒ b = 4
∴ A = \(\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
q & d
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & 4 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)
விடை :
(3) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 4 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)
Question 24.
A + I = \(\left[\begin{array}{rr}
3 & -2 \\
4 & 1
\end{array}\right]\) எனில், (A + I) (A – I)-ன் மதிப்பு
குறிப்பு :
A + I = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & -2 \\
4 & 1
\end{array}\right]\)
A + \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & -2 \\
4 & 1
\end{array}\right]\)
⇒ A = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & -2 \\
4 & 1
\end{array}\right]\) – \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
⇒ A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -2 \\
4 & 0
\end{array}\right]\)
∴ A – I = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -2 \\
4 & 0
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & -2 \\
4 & -1
\end{array}\right]\)
∴ (A + I) (A – I) = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & -2 \\
4 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
1 & -2 \\
4 & -1
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ll}
(3-8) & (-6+2) \\
(4+4) & (-8-1)
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
-5 & -4 \\
8 & -9
\end{array}\right]\)
விடை :
(1) \(\left[\begin{array}{cc}
-5 & -4 \\
8 & -9
\end{array}\right]\)
Question 25.
A, B என்பன சம வரிசையுள்ள இரு சமச்சீர் அணிகள் எனில், கீழ்க்கண்டவற்றுள் எது உண்மையல்ல?
(1) A + B என்பது ஒரு சமச்சீர் அணி
(2) AB என்பது ஒரு சமச்சீர் அணி
(3) AB = (BA)T
(4) ATB = ABT
விடை :
(2) AB என்பது ஒரு சமச்சீர் அணி