Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 8.1 Textbook Questions and Answers, Notes.
TN Board 11th Maths Solutions Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.1
Question 1.
கீழ்க்காணும் இடப்பெயர்ச்சிகளை வரைபடம் மூலம் விவரிக்க.
(i) 45 செ.மீ., 30° கிழக்கிலிருந்து வடக்காக
(ii) 80 கி.மீ., 60° மேற்கிலிருந்து தெற்காக
தீர்வு :
செ.மீ, 30° கிழக்கிலிருந்து வடக்காக
தி.மீ., 60° மேற்கிலிருந்து தெற்காக
Question 2.
தொடர்பு R ஆனது V என்ற வெக்டர்களின் கணத்தின் மீது “\(\vec{a} \mathbf{R} \vec{b}\) என்பது \(\vec{a}=\vec{b}\)” என வரையறுக்கப்பட்டால் அது V பன் மீது ஒரு சமானத் தொடர்பு என நிறுவுக.
தீர்வு :
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) ∈ V, V என்பது வெக்டர்களின் கணம் என்க., – \(\vec{a}\) R \(\vec{b}\) என்பது \(\vec{a}\) = \(\vec{b}\) என்ற தொடர்பு
(i) \(\vec{a}\) = \(\vec{a}\)
(ii) \(\vec{a}\) = \(\vec{b}\) ⇒ \(\vec{b}\) = \(\vec{a}\)
∴ \(\vec{a}\) R \(\vec{b}\) ⇒ \(\vec{b}\) R \(\vec{a}\)
(iii) \(\vec{a}\) = \(\vec{b}\), \(\vec{b}\) = \(\vec{c}\) ⇒ \(\vec{a}\) = \(\vec{c}\)
∴ \(\vec{a}\) R \(\vec{b}\) , \(\vec{b}\) R \(\vec{c}\) = \(\vec{a}\) R \(\vec{c}\).
∴ R ஆனது V-ன் மீது ஒரு சமானத் தொடர்பு ஆகும்.
Question 3.
A மற்றும் B ஆகியவை \(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) -ன் நிலைவெக்டர்கள் எனில் AB என்ற கோட்டுத்துண்டை மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்கும் புள்ளிகளின் நிலை வெக்டர்கள் \(\frac{\vec{a}+2 \vec{b}}{3}\) மற்றும் \(\frac{\vec{b}+2 \vec{a}}{3}\) என நிறுவுக.
தீர்வு :
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\)என்பது A, B எனும் புள்ளிகளைப் பொறுத்த நிலை வெக்டர்கள் என்க.
⇒ \(\vec{OA}\) = \(\vec{a}\), \(\vec{OB}\) = \(\vec{b}\)
P எனும் புள்ளி ABஐ 1 : 2 என்ற விகிதத்திலும்
Q எனும் புள்ளி ABஐ 2:1 என்ற விகிதத்திலும் பிரிக்கும் புள்ளிகள்.
∴ \(\vec{OA}\) = \(\frac{1 \cdot(\overrightarrow{\mathrm{OB}})+2(\overrightarrow{\mathrm{OA}})}{1+2}=\frac{1 \vec{b}+2 \vec{a}}{3}\)
\(\vec{OA}\) = \(\frac{2(\overrightarrow{\mathrm{OB}})+\overrightarrow{\mathrm{OA}})}{2+1}=\frac{2 \vec{b}+2 \vec{a}}{3}\)
∴ தேவையான நிலை வெக்டர்கள் = \(\frac{\vec{b}+2 \vec{a}}{3}, \frac{2 \vec{b}+\vec{a}}{3}\) ஆகும் என்பது நிருபிக்கப்பட்டது.
Question 4.
முக்கோணம் ABC-ல் AB மற்றும் AC-ன் மையப்புள்ளிகள் முறையே D மற்றும் E எனில் \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}\) என் நிறுவுக.
தீர்வு :
∆ABC-ன் முனைப்புள்ளிகள் A,B,C -ன் நிலை வெக்டர்கள் முறையே \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) என்க.
D ஆனது AB -ன் நடுப்புள்ளி.
E ஆனது AC-ன் நடுப்புள்ளி.
= \(\frac{3 \vec{c}-3 \vec{b}}{2}=\frac{3(\vec{c}-\vec{b})}{2}\)
= \(\frac{3}{2}(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}})\)
= \(\frac{3}{2}\) \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\)
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.
Question 5.
ஒருமுக்கோணத்தின் இருபக்கங்களின் நடுப்பு சேர்க்கும் நேர்க்கோடு அதன் மூன்றாவது : இணை எனவும், அதன் நீளத்தில் 1 வெக்டர் முறையில் நிறுவுக.
தீர்வு :
∆ABC-யின் உச்சிப்புள்ளிகள் A, B, C வெக்டர்கள் முறையே \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\).
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = \(\vec{a}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = \(\vec{b}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = \(\vec{c}\)
D, E என்பன பக்கம் AB, AC-யின் நடும்
Question 6.
ஒரு நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் நேர்க்கோடுகள் ஒரு இணைகரத்தை அமைக்கும் என வெக்டர் முறையில் நிறுவுக.
தீர்வு :
நாற்கரம் ABCD- யின் முனைகள் A,B,C,D-யின் நிலைவெக்டர்கள்
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = \(\vec{a}\) , \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = \(\vec{b}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = \(\vec{c}\) , \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) = \(\vec{d}\) என்க.
P, Q, R, S – என்பன நான்கு அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்.
Question 7.
\(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{a}\) ம் ஆகியவை இணைகரத்தின் ஒரு பக்கத்தையும் ஒரு மூலைவிட்டத்தையும் குறித்தால் அதன் பிற பக்கங்களையும் மற்றொரு மூலை விட்டத்தினையும் காண்க.
தீர்வு :
ABCD ஓர் இணைகரம் \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = \(\vec{a}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) = \(\vec{b}\).
∆ABC-ல் \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\)
⇒ \(\vec{b}\) = \(\vec{a}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\)
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) = \(\vec{b}\) – \(\vec{a}\)
ABCD ஓர் இணைகரம் என்பதால்,
\(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) || –\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) = –\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = –\(\vec{a}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{DA}}=-\overrightarrow{(\mathrm{BC}})=-(\vec{b}-\vec{a})\)
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{DA}}\) = \(\vec{a}\) – \(\vec{b}\)
∆BCD-யில் \(\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) = \(\vec{b}\) – \(\vec{a}\) + (-\(\vec{a}\)) = \(\vec{b}\) – 2\(\vec{a}\).
∴ இணைகரத்தின் மற்ற மூன்று பக்கங்கள்
\(\vec{b}\) – \(\vec{a}\); –\(\vec{a}\), \(\vec{a}\) – \(\vec{b}\) மற்றும் மூலைவிட்டம் \(\vec{b}\) – 2\(\vec{a}\).
Question 8.
\(\overrightarrow{\mathbf{P O}}+\overrightarrow{O \mathbf{Q}}=\overrightarrow{\mathbf{Q O}}+\overrightarrow{\mathbf{O R}}\) எனில், P, Q, R ஆகியவை ஒரே கோடமைபுள்ளிகள் என நிறுவுக.
தீர்வு :
\(\overrightarrow{\mathbf{P O}}+\overrightarrow{O \mathbf{Q}}=\overrightarrow{\mathbf{Q O}}+\overrightarrow{\mathbf{O R}}\)
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{QR}}\) [முக்கோண கூட்டல் விதியின்படி )
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{QR}}\)
முக்கோண கூட்டல் விதியின்படி).
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{QR}}\) -ல் நடுப்புள்ளி, பொதுப்புள்ளி
∴ P, Q, R ஒரே கோட்டில் அமையும் புள்ளிகள்.
Question 9.
முக்கோணம் ABC-ல் பக்கம் BC-ன் மையப்புள்ளி D எனில், \(\overrightarrow{\mathbf{A} \mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{A C}}=\mathbf{2} \overrightarrow{\mathbf{A D}}\) என நிறுவுக. தீர்வு:
முக்கோணம் ABC-யின் உச்சிப்புள்ளிகள் A,B,C- யின் நிலைவெக்டர்கள் \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) முறையே \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) என்க.
BC -யின் நடுப்புள்ளி D.
\(\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\) ………(1)
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 2 \overrightarrow{\mathrm{AD}}\) என நிருபிக்க.
LHS = \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = \(\vec{b}\) – \(\vec{a}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = \(\vec{c}\) – \(\vec{a}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) = \(\vec{c}\) – \(\vec{a}\) =\(\vec{b}\) + \(\vec{c}\) – 2\(\vec{a}\) …………(1)
R.H.S. = 2\(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) = 2 (\(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\))
= 2\(\left(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\vec{a}\right)\)
(1) = (2) லிருந்து
= 2\(\left(\frac{\vec{b}+\vec{c}-2 \vec{a}}{2}\right)\) = \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\) – 2\(\vec{a}\) ……….(2)
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AD}}\) என்பது நிருபிக்கப்பட்டது.
Question 10.
ABC என்ற முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச் சந்தி G எனில், \(\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}\) என நிறுவுக.
தீர்வு:
∆ABC-யின் முனைப்புள்ளிகள் A,B,C-யின் நிலை
வெக்டர்கள் \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) முறையே \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) என்க.
G என்பது ∆ABC-யின் நடுக்கோட்டுச் சந்தி என்க.
\(\overrightarrow{\mathrm{OG}}\) = \(\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}\)
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{OG}}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
∴ L.H.S = \(\overrightarrow{\mathrm{GA}}\)+ \(\overrightarrow{\mathrm{GB}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{GC}}\)
= \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OG}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OG}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OG}}\)
= \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) – 3\(\overrightarrow{\mathrm{OG}}\)
= \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) – [\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)]
= \(\overrightarrow{0}\) = RHS
11.
A,B,C ஆகியவை ஒரு முக்கேணாத்தின் முனைப் புள்ளிகள் மற்றும் D, E, F என்பவை BC, CA, AB ஆகியவற்றின் மையப்புள்ளிகள் எனில், \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{CF}}\) = \(\overrightarrow{0}\) என நிறுவுக.
தீர்வு :
∆ABC -யின் முனைப்புள்ளிகள் A, B, C-யின் நிலை வெக்டர்கள் a, b, c என்க.
D, E, F என்பன \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{CA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) நடுப்புள்ளிகள்.
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) = \(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) = \(\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{OF}}\) = \(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{CF}}\) = 0 என நிருபிக்க
LHS = \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{CF}}\)
= \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)+ \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\)– \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{OF}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
= \(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\) = \(\vec{a}\) + \(\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}\) – \(\vec{b}\) + \(\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}\) – \(\vec{c}\)
= 
= \(\frac{\overrightarrow{0}}{2}\) = \(\overrightarrow{0}\) = RHS. எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.
Question 11.
ABCD என்ற நாற்கரத்தில் AC, BD-ன் நடுப்புள்ளிகள் Eமற்றும் Fஆக இருப்பின் \(\overrightarrow{\mathbf{A B}}\) + \(\overrightarrow{\mathbf{A D}}\) + \(\overrightarrow{\mathbf{C B}}\) + \(\overrightarrow{\mathbf{C D}}\) = 4\(\overrightarrow{\mathbf{E F}}\) என நிறுவுக.
தீர்வு :
நாற்கரம் ABCD-யின் முனைப்புள்ளிகள் A, B, C, D-யின் நிலைவெக்டர்கள் \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{d}\) என்க. E, F என்பன AC , BD-யின் நடுப்புள்ளிகள்.
\(\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}\),
\(\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}\)நிரூபிக்க வேண்டியது :
LHS = \(\overrightarrow{\mathbf{A B}}\) + \(\overrightarrow{\mathbf{A D}}\) + \(\overrightarrow{\mathbf{C B}}\) + \(\overrightarrow{\mathbf{C D}}\)
= \(\overrightarrow{\mathbf{O B}}\) – \(\overrightarrow{\mathbf{O A}}\) + \(\overrightarrow{\mathbf{O D}}\) – \(\overrightarrow{\mathbf{O A}}\) + \(\overrightarrow{\mathbf{O B}}\) – \(\overrightarrow{\mathbf{O C}}\) + \(\overrightarrow{\mathbf{O D}}\) – \(\overrightarrow{\mathbf{O C}}\)
= \(\vec{b}\) – \(\vec{a}\) + \(\vec{d}\) – \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) – \(\vec{c}\) + \(\vec{d}\) – \(\vec{c}\)
= -2\(\vec{a}\) + 2\(\vec{b}\) – 2\(\vec{c}\) + 2\(\vec{d}\)
= 2(\(\vec{b}\) + \(\vec{d}\)) -2(\(\vec{a}\) + \(\vec{c}\))
= 2[(2\(\overrightarrow{\mathbf{O F}}\)) – (2\(\overrightarrow{\mathbf{O E}}\))]
= 2 × 2 (\(\overrightarrow{\mathbf{O F}}\) – \(\overrightarrow{\mathbf{O E}}\))
= 4.\(\overrightarrow{\mathbf{E F}}\) = RHS எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.