# Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 8.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

## TN Board 11th Maths Solutions Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.3

Question 1.
கீழ்க்காணும் $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$ க்கு $$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ ஐக் காண்க.
(i) $$\vec{a}$$ = î – 2ĵ + k̂ மற்றும் $$\vec{b}$$ = 3î – 4ĵ – 2k̂
(ii) $$\vec{a}$$ = 2î + 2ĵ – k̂ மற்றும் $$\vec{b}$$ = 6î – 3ĵ + 2k̂
தீர்வு :
(i) $$\vec{a}$$ = î – 2ĵ + k̂
$$\vec{b}$$ = 3î – 4ĵ – 2k̂
$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = (î – 2ĵ + k̂) . (3î – 4ĵ – 2k̂)
= 1 × 3 + (-2 × -4) + 1(-2)
= 3 + 8 – 2 = 9
∴ $$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = 9

(ii) $$\vec{a}$$ = 2î + 2ĵ – k̂
$$\vec{b}$$ = 6î – 3ĵ + 2k̂
$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = (2î + 2ĵ – k̂) . (6î – 3ĵ + 2k̂)
= 2 × 6 + 2 × -3 + (-1) ×2
= 12 – 6 – 2

Question 2.
கீழ்க்காணும் வெக்டர்கள் $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$ ஆகியவை செங்குத்து எனில், λ ன் மதிப்பைக் காண்க. (i) $$\vec{a}$$ = 2î + λĵ + k̂ மற்றும் $$\vec{b}$$ = î – 2ĵ + 3k̂
(ii) $$\vec{a}$$ = 2î + 4ĵ – k̂ மற்றும் $$\vec{b}$$ = 3î – 2ĵ + λk̂
தீர்வு :
(i) $$\vec{a}$$ = 2î + λĵ + k̂
$$\vec{b}$$ = î – 2ĵ + 3k̂
$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = (2î + λĵ + k̂) . (î – 2ĵ + 3k̂)
= 2 × 1 + λ × -2 + 1 × -3
= 2 – 2λ -3 = 0
= 2- 27 + 3 =0
$$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$ ஆகியவை செங்குத்து வெக்டர்கள் எனில் $$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = 0
∴ 5 – 2λ = 0
⇒ -2λ = -5
λ = $$\frac{5}{2}$$

(ii) $$\vec{a}$$ = 2î + 4ĵ – k̂
$$\vec{b}$$ = 3î – 2ĵ + λk̂
$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = (2î + 4ĵ – k̂) . (3î – 2ĵ + λk̂)
= 2 × 3 + 4 × -2 + (- 1) × λ நீ
= 6 – 8 – 1 = -2 – λ
$$\vec{a}$$ ⊥ $$\vec{b}$$ எனில்
$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = 0
⇒ -2 – λ = 0
⇒ -λ = 2
⇒ λ = -2

Question 3.
$$\vec{a}$$ மற்றும் $$\vec{b}$$ ஆகிய வெக்டர்களுக்கு |$$\vec{a}$$| =10, |$$\vec{a}$$| = 15, மற்றும் $$\vec{a}$$ . $$\vec{a}$$ = 75√2 எனில், $$\vec{a}$$ மற்றும் $$\vec{b}$$ நாக்கு இடைப் பட்டக் கோணத்தைக் காண்க.
தீர்வு :
|$$\vec{a}$$| = 10, |$$\vec{a}$$| = 15
$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = 75√2
$$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$ இவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம்.
cos θ = $$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$
=
= $$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
= cos $$\frac{\pi}{4}$$
∴ θ = $$\frac{\pi}{4}$$

Question 4.
கீழ்க்காணும் வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தைக் காண்க
(i) 2î + 3ĵ – 6k̂ மற்றும் 6î – 3ĵ + 2k̂
(ii) î – ĵ மற்றும் ĵ – k̂
தீர்வு :
(i) $$\vec{a}$$ = 2î + 3ĵ – 6k̂என்க.
|$$\vec{a}$$| = $$\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{4+9+36}$$ = √49 = 7
$$\vec{b}$$ = $$\sqrt{6^{2}+(-3)^{2}+2^{2}}=\sqrt{36+9+4}$$ = √49 = 7 என்க.
$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = (2î + 3ĵ – 6k̂) . (6î – 3ĵ + 2k̂)
= 2 × 6 + 3 × -3 + (_6) × 2
= 12 – 9 – 12 = -9
∴ cos θ = $$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}=\frac{-9}{7 \times 7}=\frac{-9}{49}$$
θ = $$\cos ^{-1}\left(\frac{-9}{49}\right)$$

(ii) $$\vec{a}$$ = î – ĵ
|$$\vec{a}$$| = $$\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$$
$$\vec{b}$$ = ĵ – k̂
|$$\vec{b}$$| = $$\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$$
$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = (î – ĵ) . (ĵ – k̂)
= (1 × 0) + (-1 × 1) + (0 × -1) = -1
∴ cos θ = $$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}=\frac{-1}{\sqrt{2} \sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$$

⇒ cos θ = – cos($$\frac{\pi}{3}$$)
⇒ cos θ = cos(π – $$\frac{\pi}{3}$$) = cos $$\frac{2\pi}{3}$$
⇒ θ = $$\frac{2\pi}{3}$$

Question 5.
$$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$ எனும் மூன்று வெக்டர்களுக்கு $$\vec{a}$$ + 2$$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$ = $$\vec{0}$$, |$$\vec{a}$$| = 3, |$$\vec{b}$$| = 4 மற்றும் |$$\vec{a}$$| = 7 எனில், $$\vec{a}$$ மற்றும் $$\vec{b}$$ மக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தைக் காண்க.
தீர்வு :
$$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$ மூன்று வெக்டர்கள்
$$\vec{a}$$ + 2$$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$ = $$\vec{0}$$
|$$\vec{a}$$| = 3, |$$\vec{b}$$| = 4, |$$\vec{c}$$| = 7
$$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$ வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் 6 என்க.
$$\vec{a}$$ + 2$$\vec{b}$$ = –$$\vec{c}$$
|$$\vec{a}$$ + 2$$\vec{b}$$|2 = |-$$\vec{c}$$|2
|$$\vec{a}$$|2 + 4|$$\vec{b}$$|2 + 4($$\vec{a}$$ . 2$$\vec{b}$$) = |$$\vec{c}$$|2
32 + 4 × 42 + 4($$\vec{a}$$ . 2$$\vec{b}$$) = 49
9 + 64 + 4($$\vec{a}$$ . 2$$\vec{b}$$) = 49
4($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$) = 49 – 73
4($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$) = -24
4 |$$\vec{a}$$| |$$\vec{b}$$| cos θ = -24
4 × 3 × 4 cos θ = -24

cos θ = $$-\frac{1}{2}$$
cos θ = – cos $$\frac{\pi}{3}$$
cos θ = cos(π – $$\frac{\pi}{3}$$)
cos θ = cos $$\frac{2\pi}{3}$$
θ = $$\frac{2\pi}{3}$$

Question 6.
$$\vec{a}$$ = 2î + 3ĵ + 6k̂, $$\vec{b}$$ = 6î + 2ĵ – 3k̂, $$\vec{c}$$ = 3î – 6ĵ + 2k̂ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து என நிரூபிக்க.
தீர்வு :
$$\vec{a}$$ = 2î + 3ĵ + 6k̂
$$\vec{b}$$ = 6î + 2ĵ – 3k̂
$$\vec{c}$$ = 3î – 6ĵ + 2k̂
$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = (2î + 3ĵ + 6k̂) . (6î + 2ĵ – 3k̂)
= 2 × 6 + 3 × 2 + 6 × -3
= 12 + 6 – 18 = 0 ∵ $$\vec{a}$$ ⊥ $$\vec{b}$$

$$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$ = (6î + 2ĵ – 3k̂) . (3î – 6ĵ + 2k̂)
= 6 × 3 + 2 × -6 + (-3 × 2)
= 18 – 12 – 6
= 18 – 18 = 0 ∵ $$\vec{b}$$ ⊥ $$\vec{c}$$

$$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$ = (3î – 6ĵ + 2k̂) . (2î + 3ĵ + 6k̂)
= 3 × 2 + (-6 × 3) + 2 × 6
= 6 – 18 + 12
= 18 – 18 = 0 ∵ $$\vec{c}$$ ⊥ $$\vec{a}$$

∴ $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$ ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து ஆகும்.

Question 7.
-î – 2ĵ – 6k̂, 2î – ĵ + 3k̂ மற்றும் -î + 3ĵ + 5k̂ ஆகிய வெக்டர்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும் எனக்காட்டுக. தீர்வு :
$$\vec{a}$$ = -î – 2ĵ – 6k̂
|$$\vec{a}$$| = $$\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}}$$
= $$\sqrt{1+4+36}=\sqrt{41}$$

$$\vec{b}$$ = 2î – ĵ + 3k̂
|$$\vec{b}$$| = $$\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1+1}$$ = √6

$$\vec{c}$$ = -î + 3ĵ + 5k̂
|$$\vec{c}$$| = $$\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}+5^{2}}=\sqrt{1+9+25}$$ = √35

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி
|$$\vec{a}$$|2 = |$$\vec{b}$$|2 + |$$\vec{c}$$|2
√412 = √352 + √62
41 = 35 + 6
ஃ கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

Question 8.
|$$\vec{a}$$| = 5, |$$\vec{b}$$| = 6, |$$\vec{a}$$| = 7 மற்றும் $$\vec{a}$$ + $$\vec{a}$$ + $$\vec{a}$$ = 0 எனில், $$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ + $$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$ + $$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$ ஐக் காண்க .
தீர்வு :
|$$\vec{a}$$| = 5, |$$\vec{b}$$| = 6, |$$\vec{c}$$| = 7
$$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$ = 0
|$$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$| = |$$\vec{a}$$|2 + |$$\vec{b}$$|2 + |$$\vec{c}$$|2 + 2($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$) + 2($$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$) + 2($$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$) = 0
= 25 + 36 + 49 + 2($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ + $$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$ + $$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$) = 0
⇒ 110 + 2($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ + $$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$ + $$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$) = 0
⇒ 2($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ + $$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$ + $$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$) = -110
⇒ $$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ + $$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$ + $$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$ = -55

Question 9.
(2,- 1, 3), (4, 3, 1) மற்றும் (3, 1, 2) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே கோடமைப் புள்ளிகள் எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
A(2,-1, 3), B(4, 3, 1), C(3, 1, 2) என்க.
$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$ = 2î – ĵ + 3k̂
$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$ = 4î + 3ĵ + k̂
$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$ = 3î + ĵ + 2k̂
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$ = $$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$ – $$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$
= (4î + 3ĵ + k̂) – (2î – ĵ + 3k̂)
= 2î + 4ĵ – 2k̂

$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$$ = $$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$ – $$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$
= (3î + ĵ + 2k̂) – (4î + 3ĵ + k̂)
= -î – 2ĵ + k̂

$$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$$ = $$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$ – $$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$
= (2î – ĵ + 3k̂) – (î + ĵ + 2k̂)
= -î – 2ĵ + k̂

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$ = 2 $$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$$ = -2$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$$
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$= -2 $$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$$
∴ A, B, C ஒரே கோடமைப்புள்ளிகள் ஆகும்.

Question 10.
$$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$ ஆகியவை அலகு வெக்டர்கள் மற்றும் 6 என்பது இவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம் எனில்,
(i) sin $$\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}|\vec{a}-\vec{b}|$$
(ii) cos $$\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}|\vec{a}+\vec{b}|$$
(iii) tan $$\frac{\theta}{2}=\frac{|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|}$$ எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
sin $$\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}|\vec{a}-\vec{b}|$$
$$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$ என்பன அலகு வெக்டர்கள் அவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ என்க.
|$$\vec{a}$$ – $$\vec{a}$$|2 = |$$\vec{a}$$|2 + |$$\vec{a}$$|2 – 2|$$\vec{a}$$| |$$\vec{a}$$| cos θ
= 1 + 1 – 2|$$\vec{a}$$||$$\vec{b}$$| cos θ
= 2 – 2 cos θ = 2(1 – cos θ)
= 2 . 2 sin2$$\frac{\theta}{2}$$ = 4 sin2$$\frac{\theta}{2}$$
|$$\vec{a}$$ – $$\vec{b}$$| = 2 sin $$\frac{\theta}{2}$$
sin $$\frac{\theta}{2}$$ = $$\frac{1}{2}$$ |$$\vec{a}$$ – $$\vec{b}$$|

(ii) cos $$\frac{\theta}{2}$$ = $$\frac{1}{2}$$ |$$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$|
|$$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$|2 = |$$\vec{a}$$|2 + |$$\vec{b}$$|2 + 2|$$\vec{a}$$| . |$$\vec{b}$$| cos θ
= 2 + 2 cos θ = 2(1 + cos θ)
= 2(2 cos2 $$\frac{\theta}{2}$$) = 4 cos2 $$\frac{\theta}{2}$$
∴ cos $$\frac{\theta}{2}$$ = $$\frac{1}{2}$$ |$$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$|

(iii) tan $$\frac{\theta}{2}=\frac{|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|}$$
LHS = tan $$\frac{\theta}{2}$$ = $$\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}=\frac{\frac{1}{2}|\vec{a}-\vec{b}|}{\frac{1}{\mid 2}|\vec{a}+\vec{b}|}$$
= $$\frac{|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|}$$ = RHS.
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

Question 11.
$$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$ என்ற மூன்று வெக்டர்கள் |$$\vec{a}$$| = 3, |$$\vec{b}$$| = 4, |$$\vec{c}$$| = 5 மற்றும் ஒவ்வொரு வெக்டரும் மற்ற இரு வெக்டர்களின் கூடுதலுக்குச் செங்குத்தாகவும் அமைத்தால் |$$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$| ஐக் காண்க.
தீர்வு :
|$$\vec{a}$$| = 3, |$$\vec{b}$$| = 4, |$$\vec{c}$$| = 5
$$\vec{a}$$ . ($$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$) = 0
$$\vec{b}$$ . ($$\vec{c}$$ + $$\vec{a}$$) = 0
$$\vec{a}$$ . ($$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$) = 0
(∴ அவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து)
$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ + $$\vec{a}$$ . $$\vec{c}$$ = $$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$ + $$\vec{b}$$ . $$\vec{a}$$ = $$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$ + $$\vec{c}$$ . $$\vec{b}$$ = 0
அவற்றை கூட்ட,
2($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ + $$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$ + $$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$) = 0
⇒ $$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ + $$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$ + $$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$ = 0
|$$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$|2 = |$$\vec{a}$$| 2 + |$$\vec{b}$$|2 + |$$\vec{c}$$|2 + 2($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ + $$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$ + $$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$)
= 9 + 16 + 25 + 2(0) = 50
∴ |$$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$| = √50 = $$\sqrt{25 \times 2}$$ = 5√2

Question 12.
2î + 6ĵ + 3k̂ -ன் மீது î + 3ĵ + 7k̂ -ன் விழலைக் காண்க.
தீர்வு :
$$\vec{a}$$ = î + 3ĵ + 7k̂
$$\vec{b}$$ = 2î + 6ĵ + 3k̂
$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = (î + 3ĵ + 7k̂) . (2î + 6ĵ + 3k̂)
= 2 + 18 + 21 = 41

|$$\vec{b}$$| = $$\sqrt{2^{2}+6^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+36+9}$$ = √49 = 7

$$\vec{b}$$ -யின் மீது a-ன் வீழல் = $$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{41}{7}$$

Question 13.
$$\vec{b}$$ = 2î + 6ĵ + 3k̂ -ன் மீது $$\vec{a}$$ = λî + ĵ + 4k̂ -ன் வீழல் 4 அலகுகள் எனில், λ-ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
$$\vec{a}$$ = λî + ĵ + 4k̂
$$\vec{b}$$ = 2î + 6ĵ + 3k̂

$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = 2λ + 6 + 12 = 2λ + 18
|$$\vec{b}$$| = $$\sqrt{2^{2}+6^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+36+9}$$ = √49 = 7

$$\vec{b}$$-நீன் மீது $$\vec{b}$$ -என் வீழல் = 4 எனில்
$$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$$ = 4
$$\frac{18+2 \lambda}{7}$$ = 4
⇒ 18 + 2λ = 28
2λ = 28 – 18 = 10
λ = 5

Question 14.
$$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$ மற்றும் 3 ஆகியவை |$$\vec{a}$$|= 2, |$$\vec{b}$$| = 3, |$$\vec{c}$$| = 4 மற்றும் $$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$ = $$\vec{0}$$ எனுமாறு அமைந்தால் 4$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ + 3$$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$ + 3$$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$-ஐக் காண்க.
தீர்வு:
|$$\vec{a}$$|= 2, |$$\vec{b}$$| = 3, |$$\vec{c}$$| = 4
$$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$ = 0
⇒ $$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$ = –$$\vec{a}$$
⇒ ($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$)2 |$$\vec{a}$$| + |$$\vec{b}$$|2 + 2($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$) = |$$\vec{c}$$|2
⇒ 22 + 32 + 2($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$) = 16
⇒ 13 + 2($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$) = 16
⇒ 2($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$) = 16 – 13 = 3
⇒ $$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = $$\frac{3}{2}$$
⇒ 4($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$) = 4 × $$\frac{3}{2}$$ = 6 ………….(1)

இதைப் போலவே |$$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$|2 = |$$-\vec{a}$$|2
|$$\vec{b}$$|2 + |$$\vec{c}$$|2 + 2($$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$) = |$$\vec{a}$$|2
9 + 16 + 2($$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$) = 4
25 + 2($$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$) = 4
2($$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$) = 4 – 25 = -21
($$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$) = $$-\frac{21}{2}$$
3($$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$) = 3($$-\frac{21}{2}$$) = –$$-\frac{63}{2}$$ ………… (2)

இதைப் போலவே $$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$ = –$$\vec{b}$$
|$$\vec{c}$$ + $$\vec{a}$$| = |-$$\vec{b}$$|
|$$\vec{c}$$ + $$\vec{a}$$|2 = |-$$\vec{b}$$|2
|$$\vec{c}$$ |2 + |$$\vec{a}$$ |2 + 2($$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$ ) = |$$\vec{b}$$ |2
16 + 4 + 2($$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$ ) = 9
20 + 2($$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$) = 9
2($$\vec{c}$$ . $$\vec{c}$$) = 9 – 20 = 11
($$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$) = $$\frac{-11}{2}$$
∴ 3($$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$) = 3($$\frac{-11}{2}$$) = $$\frac{-33}{2}$$ …………(3)

(1) + (2) + (3)
4 $$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ + 3$$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$ + 3$$\vec{c}$$ . $$\vec{a}$$ = 6 – $$\frac{63}{2}$$ – $$\frac{33}{2}$$
= $$\frac{12-63-33}{2}=\frac{12-96}{2}$$ = $$\frac{-84}{2}$$ = -42