Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.3

   

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 8.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.3

Question 1.
கீழ்க்காணும் \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) க்கு \(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) ஐக் காண்க.
(i) \(\vec{a}\) = î – 2ĵ + k̂ மற்றும் \(\vec{b}\) = 3î – 4ĵ – 2k̂
(ii) \(\vec{a}\) = 2î + 2ĵ – k̂ மற்றும் \(\vec{b}\) = 6î – 3ĵ + 2k̂
தீர்வு :
(i) \(\vec{a}\) = î – 2ĵ + k̂
\(\vec{b}\) = 3î – 4ĵ – 2k̂
\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = (î – 2ĵ + k̂) . (3î – 4ĵ – 2k̂)
= 1 × 3 + (-2 × -4) + 1(-2)
= 3 + 8 – 2 = 9
∴ \(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = 9

(ii) \(\vec{a}\) = 2î + 2ĵ – k̂
\(\vec{b}\) = 6î – 3ĵ + 2k̂
\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = (2î + 2ĵ – k̂) . (6î – 3ĵ + 2k̂)
= 2 × 6 + 2 × -3 + (-1) ×2
= 12 – 6 – 2

Question 2.
கீழ்க்காணும் வெக்டர்கள் \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) ஆகியவை செங்குத்து எனில், λ ன் மதிப்பைக் காண்க. (i) \(\vec{a}\) = 2î + λĵ + k̂ மற்றும் \(\vec{b}\) = î – 2ĵ + 3k̂
(ii) \(\vec{a}\) = 2î + 4ĵ – k̂ மற்றும் \(\vec{b}\) = 3î – 2ĵ + λk̂
தீர்வு :
(i) \(\vec{a}\) = 2î + λĵ + k̂
\(\vec{b}\) = î – 2ĵ + 3k̂
\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = (2î + λĵ + k̂) . (î – 2ĵ + 3k̂)
= 2 × 1 + λ × -2 + 1 × -3
= 2 – 2λ -3 = 0
= 2- 27 + 3 =0
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) ஆகியவை செங்குத்து வெக்டர்கள் எனில் \(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = 0
∴ 5 – 2λ = 0
⇒ -2λ = -5
λ = \(\frac{5}{2}\)

(ii) \(\vec{a}\) = 2î + 4ĵ – k̂
\(\vec{b}\) = 3î – 2ĵ + λk̂
\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = (2î + 4ĵ – k̂) . (3î – 2ĵ + λk̂)
= 2 × 3 + 4 × -2 + (- 1) × λ நீ
= 6 – 8 – 1 = -2 – λ
\(\vec{a}\) ⊥ \(\vec{b}\) எனில்
\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = 0
⇒ -2 – λ = 0
⇒ -λ = 2
⇒ λ = -2

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.3

Question 3.
\(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) ஆகிய வெக்டர்களுக்கு |\(\vec{a}\)| =10, |\(\vec{a}\)| = 15, மற்றும் \(\vec{a}\) . \(\vec{a}\) = 75√2 எனில், \(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) நாக்கு இடைப் பட்டக் கோணத்தைக் காண்க.
தீர்வு :
|\(\vec{a}\)| = 10, |\(\vec{a}\)| = 15
\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = 75√2
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) இவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம்.
cos θ = \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)
= Samacheer Guru 11th Maths Solutions Chapter 8 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 8.3 1
= \(\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
= cos \(\frac{\pi}{4}\)
∴ θ = \(\frac{\pi}{4}\)

Question 4.
கீழ்க்காணும் வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தைக் காண்க
(i) 2î + 3ĵ – 6k̂ மற்றும் 6î – 3ĵ + 2k̂
(ii) î – ĵ மற்றும் ĵ – k̂
தீர்வு :
(i) \(\vec{a}\) = 2î + 3ĵ – 6k̂என்க.
|\(\vec{a}\)| = \(\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{4+9+36}\) = √49 = 7
\(\vec{b}\) = \(\sqrt{6^{2}+(-3)^{2}+2^{2}}=\sqrt{36+9+4}\) = √49 = 7 என்க.
\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = (2î + 3ĵ – 6k̂) . (6î – 3ĵ + 2k̂)
= 2 × 6 + 3 × -3 + (_6) × 2
= 12 – 9 – 12 = -9
∴ cos θ = \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}=\frac{-9}{7 \times 7}=\frac{-9}{49}\)
θ = \(\cos ^{-1}\left(\frac{-9}{49}\right)\)

(ii) \(\vec{a}\) = î – ĵ
|\(\vec{a}\)| = \(\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}\)
\(\vec{b}\) = ĵ – k̂
|\(\vec{b}\)| = \(\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}\)
\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = (î – ĵ) . (ĵ – k̂)
= (1 × 0) + (-1 × 1) + (0 × -1) = -1
∴ cos θ = \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}=\frac{-1}{\sqrt{2} \sqrt{2}}=-\frac{1}{2}\)

⇒ cos θ = – cos(\(\frac{\pi}{3}\))
⇒ cos θ = cos(π – \(\frac{\pi}{3}\)) = cos \(\frac{2\pi}{3}\)
⇒ θ = \(\frac{2\pi}{3}\)

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.3

Question 5.
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) எனும் மூன்று வெக்டர்களுக்கு \(\vec{a}\) + 2\(\vec{b}\) + \(\vec{c}\) = \(\vec{0}\), |\(\vec{a}\)| = 3, |\(\vec{b}\)| = 4 மற்றும் |\(\vec{a}\)| = 7 எனில், \(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) மக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தைக் காண்க.
தீர்வு :
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) மூன்று வெக்டர்கள்
\(\vec{a}\) + 2\(\vec{b}\) + \(\vec{c}\) = \(\vec{0}\)
|\(\vec{a}\)| = 3, |\(\vec{b}\)| = 4, |\(\vec{c}\)| = 7
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் 6 என்க.
\(\vec{a}\) + 2\(\vec{b}\) = –\(\vec{c}\)
|\(\vec{a}\) + 2\(\vec{b}\)|2 = |-\(\vec{c}\)|2
|\(\vec{a}\)|2 + 4|\(\vec{b}\)|2 + 4(\(\vec{a}\) . 2\(\vec{b}\)) = |\(\vec{c}\)|2
32 + 4 × 42 + 4(\(\vec{a}\) . 2\(\vec{b}\)) = 49
9 + 64 + 4(\(\vec{a}\) . 2\(\vec{b}\)) = 49
4(\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\)) = 49 – 73
4(\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\)) = -24
4 |\(\vec{a}\)| |\(\vec{b}\)| cos θ = -24
4 × 3 × 4 cos θ = -24
Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.3 2
cos θ = \(-\frac{1}{2}\)
cos θ = – cos \(\frac{\pi}{3}\)
cos θ = cos(π – \(\frac{\pi}{3}\))
cos θ = cos \(\frac{2\pi}{3}\)
θ = \(\frac{2\pi}{3}\)

Question 6.
\(\vec{a}\) = 2î + 3ĵ + 6k̂, \(\vec{b}\) = 6î + 2ĵ – 3k̂, \(\vec{c}\) = 3î – 6ĵ + 2k̂ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து என நிரூபிக்க.
தீர்வு :
\(\vec{a}\) = 2î + 3ĵ + 6k̂
\(\vec{b}\) = 6î + 2ĵ – 3k̂
\(\vec{c}\) = 3î – 6ĵ + 2k̂
\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = (2î + 3ĵ + 6k̂) . (6î + 2ĵ – 3k̂)
= 2 × 6 + 3 × 2 + 6 × -3
= 12 + 6 – 18 = 0 ∵ \(\vec{a}\) ⊥ \(\vec{b}\)

\(\vec{b}\) . \(\vec{c}\) = (6î + 2ĵ – 3k̂) . (3î – 6ĵ + 2k̂)
= 6 × 3 + 2 × -6 + (-3 × 2)
= 18 – 12 – 6
= 18 – 18 = 0 ∵ \(\vec{b}\) ⊥ \(\vec{c}\)

\(\vec{c}\) . \(\vec{a}\) = (3î – 6ĵ + 2k̂) . (2î + 3ĵ + 6k̂)
= 3 × 2 + (-6 × 3) + 2 × 6
= 6 – 18 + 12
= 18 – 18 = 0 ∵ \(\vec{c}\) ⊥ \(\vec{a}\)

∴ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து ஆகும்.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.3

Question 7.
-î – 2ĵ – 6k̂, 2î – ĵ + 3k̂ மற்றும் -î + 3ĵ + 5k̂ ஆகிய வெக்டர்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும் எனக்காட்டுக. தீர்வு :
\(\vec{a}\) = -î – 2ĵ – 6k̂
|\(\vec{a}\)| = \(\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{1+4+36}=\sqrt{41}\)

\(\vec{b}\) = 2î – ĵ + 3k̂
|\(\vec{b}\)| = \(\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1+1}\) = √6

\(\vec{c}\) = -î + 3ĵ + 5k̂
|\(\vec{c}\)| = \(\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}+5^{2}}=\sqrt{1+9+25}\) = √35

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி
|\(\vec{a}\)|2 = |\(\vec{b}\)|2 + |\(\vec{c}\)|2
√412 = √352 + √62
41 = 35 + 6
ஃ கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

Question 8.
|\(\vec{a}\)| = 5, |\(\vec{b}\)| = 6, |\(\vec{a}\)| = 7 மற்றும் \(\vec{a}\) + \(\vec{a}\) + \(\vec{a}\) = 0 எனில், \(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) . \(\vec{c}\) + \(\vec{c}\) . \(\vec{a}\) ஐக் காண்க .
தீர்வு :
|\(\vec{a}\)| = 5, |\(\vec{b}\)| = 6, |\(\vec{c}\)| = 7
\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\) = 0
|\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)| = |\(\vec{a}\)|2 + |\(\vec{b}\)|2 + |\(\vec{c}\)|2 + 2(\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\)) + 2(\(\vec{b}\) . \(\vec{c}\)) + 2(\(\vec{c}\) . \(\vec{a}\)) = 0
= 25 + 36 + 49 + 2(\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) . \(\vec{c}\) + \(\vec{c}\) . \(\vec{a}\)) = 0
⇒ 110 + 2(\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) . \(\vec{c}\) + \(\vec{c}\) . \(\vec{a}\)) = 0
⇒ 2(\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) . \(\vec{c}\) + \(\vec{c}\) . \(\vec{a}\)) = -110
⇒ \(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) . \(\vec{c}\) + \(\vec{c}\) . \(\vec{a}\) = -55

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.3

Question 9.
(2,- 1, 3), (4, 3, 1) மற்றும் (3, 1, 2) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே கோடமைப் புள்ளிகள் எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
A(2,-1, 3), B(4, 3, 1), C(3, 1, 2) என்க.
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = 2î – ĵ + 3k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = 4î + 3ĵ + k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = 3î + ĵ + 2k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
= (4î + 3ĵ + k̂) – (2î – ĵ + 3k̂)
= 2î + 4ĵ – 2k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)
= (3î + ĵ + 2k̂) – (4î + 3ĵ + k̂)
= -î – 2ĵ + k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{CA}}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
= (2î – ĵ + 3k̂) – (î + ĵ + 2k̂)
= -î – 2ĵ + k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = 2 \(\overrightarrow{\mathrm{CA}}\) = -2\(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)= -2 \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\)
∴ A, B, C ஒரே கோடமைப்புள்ளிகள் ஆகும்.

Question 10.
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) ஆகியவை அலகு வெக்டர்கள் மற்றும் 6 என்பது இவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம் எனில்,
(i) sin \(\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}|\vec{a}-\vec{b}|\)
(ii) cos \(\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}|\vec{a}+\vec{b}|\)
(iii) tan \(\frac{\theta}{2}=\frac{|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|}\) எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
sin \(\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}|\vec{a}-\vec{b}|\)
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) என்பன அலகு வெக்டர்கள் அவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ என்க.
|\(\vec{a}\) – \(\vec{a}\)|2 = |\(\vec{a}\)|2 + |\(\vec{a}\)|2 – 2|\(\vec{a}\)| |\(\vec{a}\)| cos θ
= 1 + 1 – 2|\(\vec{a}\)||\(\vec{b}\)| cos θ
= 2 – 2 cos θ = 2(1 – cos θ)
= 2 . 2 sin2\(\frac{\theta}{2}\) = 4 sin2\(\frac{\theta}{2}\)
|\(\vec{a}\) – \(\vec{b}\)| = 2 sin \(\frac{\theta}{2}\)
sin \(\frac{\theta}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) |\(\vec{a}\) – \(\vec{b}\)|

(ii) cos \(\frac{\theta}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) |\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)|
|\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)|2 = |\(\vec{a}\)|2 + |\(\vec{b}\)|2 + 2|\(\vec{a}\)| . |\(\vec{b}\)| cos θ
= 2 + 2 cos θ = 2(1 + cos θ)
= 2(2 cos2 \(\frac{\theta}{2}\)) = 4 cos2 \(\frac{\theta}{2}\)
∴ cos \(\frac{\theta}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) |\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)|

(iii) tan \(\frac{\theta}{2}=\frac{|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|}\)
LHS = tan \(\frac{\theta}{2}\) = \(\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}=\frac{\frac{1}{2}|\vec{a}-\vec{b}|}{\frac{1}{\mid 2}|\vec{a}+\vec{b}|}\)
= \(\frac{|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|}\) = RHS.
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.3

Question 11.
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) என்ற மூன்று வெக்டர்கள் |\(\vec{a}\)| = 3, |\(\vec{b}\)| = 4, |\(\vec{c}\)| = 5 மற்றும் ஒவ்வொரு வெக்டரும் மற்ற இரு வெக்டர்களின் கூடுதலுக்குச் செங்குத்தாகவும் அமைத்தால் |\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)| ஐக் காண்க.
தீர்வு :
|\(\vec{a}\)| = 3, |\(\vec{b}\)| = 4, |\(\vec{c}\)| = 5
\(\vec{a}\) . (\(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)) = 0
\(\vec{b}\) . (\(\vec{c}\) + \(\vec{a}\)) = 0
\(\vec{a}\) . (\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)) = 0
(∴ அவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து)
\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) + \(\vec{a}\) . \(\vec{c}\) = \(\vec{b}\) . \(\vec{c}\) + \(\vec{b}\) . \(\vec{a}\) = \(\vec{c}\) . \(\vec{a}\) + \(\vec{c}\) . \(\vec{b}\) = 0
அவற்றை கூட்ட,
2(\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) . \(\vec{c}\) + \(\vec{c}\) . \(\vec{a}\)) = 0
⇒ \(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) . \(\vec{c}\) + \(\vec{c}\) . \(\vec{a}\) = 0
|\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)|2 = |\(\vec{a}\)| 2 + |\(\vec{b}\)|2 + |\(\vec{c}\)|2 + 2(\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) . \(\vec{c}\) + \(\vec{c}\) . \(\vec{a}\))
= 9 + 16 + 25 + 2(0) = 50
∴ |\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)| = √50 = \(\sqrt{25 \times 2}\) = 5√2

Question 12.
2î + 6ĵ + 3k̂ -ன் மீது î + 3ĵ + 7k̂ -ன் விழலைக் காண்க.
தீர்வு :
\(\vec{a}\) = î + 3ĵ + 7k̂
\(\vec{b}\) = 2î + 6ĵ + 3k̂
\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = (î + 3ĵ + 7k̂) . (2î + 6ĵ + 3k̂)
= 2 + 18 + 21 = 41

|\(\vec{b}\)| = \(\sqrt{2^{2}+6^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+36+9}\) = √49 = 7

\(\vec{b}\) -யின் மீது a-ன் வீழல் = \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{41}{7}\)

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.3

Question 13.
\(\vec{b}\) = 2î + 6ĵ + 3k̂ -ன் மீது \(\vec{a}\) = λî + ĵ + 4k̂ -ன் வீழல் 4 அலகுகள் எனில், λ-ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
\(\vec{a}\) = λî + ĵ + 4k̂
\(\vec{b}\) = 2î + 6ĵ + 3k̂

\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = 2λ + 6 + 12 = 2λ + 18
|\(\vec{b}\)| = \(\sqrt{2^{2}+6^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+36+9}\) = √49 = 7

\(\vec{b}\)-நீன் மீது \(\vec{b}\) -என் வீழல் = 4 எனில்
\(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\) = 4
\(\frac{18+2 \lambda}{7}\) = 4
⇒ 18 + 2λ = 28
2λ = 28 – 18 = 10
λ = 5

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.3

Question 14.
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) மற்றும் 3 ஆகியவை |\(\vec{a}\)|= 2, |\(\vec{b}\)| = 3, |\(\vec{c}\)| = 4 மற்றும் \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\) = \(\vec{0}\) எனுமாறு அமைந்தால் 4\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) + 3\(\vec{b}\) . \(\vec{c}\) + 3\(\vec{c}\) . \(\vec{a}\)-ஐக் காண்க.
தீர்வு:
|\(\vec{a}\)|= 2, |\(\vec{b}\)| = 3, |\(\vec{c}\)| = 4
\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\) = 0
⇒ \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) = –\(\vec{a}\)
⇒ (\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\))2 |\(\vec{a}\)| + |\(\vec{b}\)|2 + 2(\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\)) = |\(\vec{c}\)|2
⇒ 22 + 32 + 2(\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\)) = 16
⇒ 13 + 2(\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\)) = 16
⇒ 2(\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\)) = 16 – 13 = 3
⇒ \(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = \(\frac{3}{2}\)
⇒ 4(\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\)) = 4 × \(\frac{3}{2}\) = 6 ………….(1)

இதைப் போலவே |\(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)|2 = |\(-\vec{a}\)|2
|\(\vec{b}\)|2 + |\(\vec{c}\)|2 + 2(\(\vec{b}\) . \(\vec{c}\)) = |\(\vec{a}\)|2
9 + 16 + 2(\(\vec{b}\) . \(\vec{c}\)) = 4
25 + 2(\(\vec{b}\) . \(\vec{c}\)) = 4
2(\(\vec{b}\) . \(\vec{c}\)) = 4 – 25 = -21
(\(\vec{b}\) . \(\vec{c}\)) = \(-\frac{21}{2}\)
3(\(\vec{b}\) . \(\vec{c}\)) = 3(\(-\frac{21}{2}\)) = –\(-\frac{63}{2}\) ………… (2)

இதைப் போலவே \(\vec{c}\) . \(\vec{a}\) = –\(\vec{b}\)
|\(\vec{c}\) + \(\vec{a}\)| = |-\(\vec{b}\)|
|\(\vec{c}\) + \(\vec{a}\)|2 = |-\(\vec{b}\)|2
|\(\vec{c}\) |2 + |\(\vec{a}\) |2 + 2(\(\vec{c}\) . \(\vec{a}\) ) = |\(\vec{b}\) |2
16 + 4 + 2(\(\vec{c}\) . \(\vec{a}\) ) = 9
20 + 2(\(\vec{c}\) . \(\vec{a}\)) = 9
2(\(\vec{c}\) . \(\vec{c}\)) = 9 – 20 = 11
(\(\vec{c}\) . \(\vec{a}\)) = \(\frac{-11}{2}\)
∴ 3(\(\vec{c}\) . \(\vec{a}\)) = 3(\(\frac{-11}{2}\)) = \(\frac{-33}{2}\) …………(3)

(1) + (2) + (3)
4 \(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) + 3\(\vec{b}\) . \(\vec{c}\) + 3\(\vec{c}\) . \(\vec{a}\) = 6 – \(\frac{63}{2}\) – \(\frac{33}{2}\)
= \(\frac{12-63-33}{2}=\frac{12-96}{2}\) = \(\frac{-84}{2}\) = -42