Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.4

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 8.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.4

Question 1.
\(\vec{a}\) = 2î + ĵ + 3k̂ மற்றும் \(\vec{b}\) = 3î + 5ĵ – 2k̂ எனில் \(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) – ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
\(\vec{a}\) = 2î + ĵ + 3k̂
\(\vec{b}\) = 3î + 5ĵ – 2k̂
\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) = (2î + ĵ + 3k̂) × (3î + 5ĵ – 2k̂)
\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2 & 1 & 3 \\
3 & 5 & -2
\end{array}\right|\)
= î(-2 – 15) – ĵ(-4 – 9) + k̂(10 – 3)
= -17î + 13ĵ + 7k̂
|\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\)|= \(\sqrt{(-17)^{2}+13^{2}+7^{2}}|\)
= \(\sqrt{289+169+49}=\sqrt{507}\)

Question 2.
\(\vec{a}\) × (\(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)) + \(\vec{b}\) × (\(\vec{c}\) + \(\vec{a}\)) + \(\vec{c}\) × (\(\vec{a}\) \(\vec{b}\)) = 0 எனக் காட்டுக.
தாவு:
LHS = \(\vec{a}\) × (\(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)) + \(\vec{b}\) × (\(\vec{c}\) + \(\vec{a}\)) + \(\vec{c}\) × (\(\vec{a}\) \(\vec{b}\))
= \(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) + \(\vec{a}\) × \(\vec{c}\) + \(\vec{b}\) × \(\vec{c}\) + \(\vec{b}\) × \(\vec{a}\) × + \(\vec{c}\) × \(\vec{a}\) + \(\vec{c}\) × \(\vec{b}\)
= Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 8 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 8.4 1
= RHS : எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.4

Question 3.
î + 2ĵ + k̂ மற்றும் î + 3ĵ + 4k̂ என்ற வெக்டர்கள் உள்ள தளத்திற்கு செங்குத்தாகவும் எண்ணளவு 10√3 உடைய அலகு வெக்டர்களைக் காண்க.
தீர்வு :
\(\vec{a}\) = î + 2ĵ + k̂
\(\vec{b}\) = î + 3ĵ + 4k̂
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) வெக்டர் தளத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ள அலகு
வெக்டர் = \(\left|\begin{array}{lll}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 4
\end{array}\right|\)
= î(8 – 3) – ĵ(4 – 1) + k̂(3 – 2)
= 5î – 3ĵ + k̂
|\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\)|= \(\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}+1^{2}}\)
= \(\sqrt{25+9+1}=\sqrt{35}\)
∴ 10√3 எண்ணளவு கொண்ட அலகு வெக்டர்
= ± 10√3\(\left(\frac{5 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{35}}\right)\)

Question 4.
\(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂ மற்றும் ந் \(\vec{b}\) = î + 2ĵ + 3k̂ எனில், \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) மற்றும் \(\vec{a}\) – \(\vec{b}\), ஆகியவற்றிற்கு தனித்தனியாக
செங்குத்தாக உள்ள வெக்டர்களைக் காண்க.
தீர்வு :
\(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂
\(\vec{b}\) = î + 2ĵ + 3k̂
∴ \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) = 2î + 3ĵ + 4k̂
\(\vec{a}\) – \(\vec{b}\) = -ĵ – 2k̂
(\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)), (\(\vec{a}\) – \(\vec{b}\)) இவற்றிக்கு செங்குத்தான அலகு வெக்டர் காண
(\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)) × (\(\vec{a}\) – \(\vec{b}\)) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & 3 & 4 \\
0 & -1 & -2
\end{array}\right|\)
= î(-6 + 4) – ĵ(-4 + 0) + k̂(-2 + 0)
= î(-2) + 4ĵ – 2k̂
= -2î + 4ĵ – 2k̂
இதன் எண்ண ளவு = (\(\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}\)
= \(\sqrt{4 \times 6}=2 \sqrt{6}\)
∴ செங்குத்து அலகு வெக்டர் = \(\frac{(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})}{|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})|}\)
செங்குத்து அலகு வெக்டர் = ± \(\frac{1}{2 \sqrt{6}}\) (-2î + 4ĵ – 2k̂)
= ± \(\frac{\not \mathcal{2}(-\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{\not \mathcal{2} \sqrt{6}}=\pm \frac{(-\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{\sqrt{6}}\)

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.4

Question 5.
î + 2ĵ + 3k̂ மற்றும் 3î – 2ĵ + k̂ஆகியவற்றை அடுத்தடுத்த பக்கங்களாக கொண்ட இணைகரத்தின் பரப்பளவைக் காண்க.
தீர்வு :
\(\vec{a}\) = î + 2ĵ + 3k̂
\(\vec{b}\) = 3î – 2ĵ + k̂
\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
1 & 2 & 3 \\
3 & -2 & 1
\end{array}\right|\)

Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 8 அடிப்படை இயற்கணிதம் Ex 8.4 2

= î(2 + 6) – ĵ(1 – 9) + k̂(-2 – 6)
= î(8) – ĵ(-8) + k̂(-8)
= 8î + 8ĵ -8k̂
= 8(î + ĵ -k̂)
|\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\)| = 8\(\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}\) = 8√3
இணைகரத்தின் பரப்பு = |\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\)| = 8√3 ச.அலகுகள்.

Question 6.
A(3, -1, 2), B(1, -1, -3) மற்றும் C(4, -3, 1) ஆகியவற்றை உச்சிப்புள்ளிகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் காண்க.
தீர்வு :
A(3, -1, 2), B(1, -1, -3), C(4, -3, 1) என்பன ∆ABC-யின் மூன்று உச்சிகள்
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
= (î – ĵ – 3k̂) – (3î – ĵ + 2k̂)
= -2î – 5k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
= (4î – 3ĵ + k̂) – (3î – ĵ + 2k̂)
= î – 2ĵ – k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) × \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
-2 & 0 & -5 \\
1, & -2 & -1
\end{array}\right|\)
= î(-10) – ĵ(2 + 5) + k̂(4)
= -10î – 3ĵ + 4k̂
|\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) × \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)| = \(\sqrt{(-10)^{2}+(-7)^{2}+4^{2}}\)
= \(\sqrt{100+49+16}=\sqrt{165}\)
∴ தேவையான பரப்பு = \(\frac{1}{2}\) |\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) × \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)|
= \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{165}\) ச. அலகுகள்.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.4

Question 7.
முக்கோணம் ABC ன் உச்சிப்புள்ளிகள் A, B, C -ன் நிலை வெக்டர்கள் முறையே \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) எனில், முக்கோணம் ABC-ன் பரப்பளவ \(\frac{1}{2}\) |\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) × \(\vec{c}\) + \(\vec{c}\) × \(\vec{a}\)| நிரூபித்து, இதிலிருந்து A, B, C ஆகியவை ஒரே நேர்க்கோட்டிலமைய நிபந்தனையைக் காண்க.
தீர்வு :
∆ABC யின் உச்சிகளின் நிலைவெக்டர்கள் \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\)
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = \(\vec{a}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = \(\vec{b}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = \(\vec{c}\)

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = \(\vec{b}\) – \(\vec{a}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) – \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = \(\vec{c}\) – \(\vec{a}\)

∴ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) × \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) = (\(\vec{b}\) – \(\vec{a}\)) × (\(\vec{c}\) – \(\vec{a}\))
= \(\vec{b}\) × \(\vec{c}\) – \(\vec{b}\) × \(\vec{a}\) – \(\vec{a}\) × \(\vec{c}\) + \(\vec{a}\) × \(\vec{a}\)
= \(\vec{b}\) × \(\vec{c}\) – \(\vec{b}\) × \(\vec{a}\) – \(\vec{a}\) × \(\vec{c}\) + \(\vec{0}\)

(∵ \(\vec{a}\) × \(\vec{a}\) = \(\vec{0}\), \(\vec{b}\) × \(\vec{a}\) = -(\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\)), \(\vec{a}\) × \(\vec{c}\) = (\(\vec{c}\) × \(\vec{a}\)))

|\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) × \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)| =
|\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) × \(\vec{c}\) + \(\vec{c}\) × \(\vec{a}\)|

∴ ∆ABC -யின் பரப்பு = \(\frac{1}{2}\) |\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) × \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)|
= \(\frac{1}{2}\) |\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) × \(\vec{c}\) + \(\vec{c}\) × \(\vec{a}\)|

A, B, C ஒரு கோடமைப் புள்ளிகளாக இருக்க நிபந்தனை ∆-ன் பரப்பு = 0
∴ |\(\frac{1}{2}\) |\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) × \(\vec{c}\) + \(\vec{c}\) × \(\vec{a}\)| = 0
⇒ |\(\frac{1}{2}\) |\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) × \(\vec{c}\) + \(\vec{c}\) × \(\vec{a}\)| = 0 இதுவே A, B, C ஒரே கோட்டிலமைவதற்கான நிபந்தனை ஆகும்.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.4

Question 8.
எந்த ஒரு வெக்டர் 4-க்கும்
|\(\vec{a}\) × î|2 |latex]\vec{a}[/latex] × ĵ|2 |latex]\vec{a}[/latex] × k̂|2 = 2|\(\vec{a}\)|2 என நிரூபிக்க
தீர்வு :
\(\vec{a}\) = a1î + a2ĵ + a3
\(\vec{a}\) × î = (a1î + a2ĵ + a3k̂) × î
= a2(ĵ × î) + a3(k̂ × î)
= a2(-k̂) + a3ĵ = a3ĵ – a2
|\(\vec{a}\) × î| = \(\sqrt{a_{3}^{2}+\left(-a_{2}\right)^{2}}=\sqrt{a_{3}^{2}+a_{2}^{2}}\)
= \(\sqrt{a_{3}^{2}+\left(-a_{2}\right)^{2}}=\sqrt{a_{3}^{2}+a_{2}^{2}}\)
∴ |\(\vec{a}\) × î|2 = a32 + a22 ……….(1)

\(\vec{a}\) × ĵ = (a1î + a2ĵ + a3k̂) × ĵ
= a1(î × ĵ) + a2(ĵ × ĵ) + a3(k̂ × ĵ)
= a1k̂ + a2(0) + a3(-î)
= a1k̂ – a3
|\(\vec{a}\) × ĵ| = \(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{3}^{2}}\)
∴ |\(\vec{a}\) × ĵ|2 = a12 + a32 ………(2)

\(\vec{a}\) × k̂ = (a1î + a2ĵ + a3k̂) × k̂
= a1(î × k̂) + a2(ĵ × k̂) + a3(k̂ × k̂)
= -a1ĵ + a2î + a3(0)
|\(\vec{a}\) × k̂| = \(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\)
∴ |\(\vec{a}\) × k̂|2 = a12 + a22 …….(3)

(1), (2), (3) |\(\vec{a}\) × î|2 |\(\vec{a}\) × ĵ|2 |\(\vec{a}\) × k̂|2
= a32 + a22 + a12 + a32 + a12 + a22
= 2(a12 + a22 + a32)
= 2(\(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\)) = 2|\(\vec{a}\)|2
= RHS. எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

Question 9.
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) என்ற அலகுவெக்டர்களுக்கு \(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = \(\vec{a}\) . \(\vec{c}\) = 0 மற்றும் ந \(\vec{b}\)-க்கும் \(\vec{c}\)-க்கும் இடைப்பட்ட கோணம். \(\frac{\pi}{3}\) எனில், \(\vec{a}\) = ±\(\frac{2}{\sqrt{3}}(\vec{b} \times \vec{c})\) என நிரூபிக்க.
தீர்வு :
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) என்பன அலகு வெக்டர்கள்.
⇒ |\(\vec{a}\)| = |\(\vec{b}\)| = |\(\vec{c}\)| = 1
\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = \(\vec{a}\) . \(\vec{c}\) = 0
மற்றும் \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\frac{\pi}{3}\) எனில்
\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) = \(\vec{a}\) . \(\vec{c}\) = 0
⇒ \(\vec{a}\) ஆனது \(\vec{b}\) நக்கும் (க்கும் செங்குத்து
\(\vec{a}\) ஆனது \(\vec{b}\) × \(\vec{c}\) க்கு செங்குத்து எனில்

⇒ \(\vec{a}\) = λ (\(\vec{b}\) × \(\vec{c}\)) (∵ λ ஒரு எண்ண ளவு)
∴ |\(\vec{a}\)|2 = λ2 |\(\vec{b}\) × \(\vec{c}\)|2

⇒ \(\vec{a}\) = λ \(\vec{b}\) × \(\vec{c}\) ………..(1)
⇒ 1 = λ2[|b|2 |c|2 – (\(\vec{b}\) . \(\vec{c}\))2]
[∵ |\(\vec{a}\)| = 1, |\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\)|2 = |\(\vec{a}\)|2 |\(\vec{b}\)|2 – (\(\vec{a}\) . \(\vec{b}\)2]

⇒ 1 = λ2[(1)(1) – |\(\vec{b}\)|2 |\(\vec{c}\)|2 cos2 \(\frac{\pi}{3}\)]
[∵ \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) க்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\frac{\pi}{3}\)]

⇒ 1 = λ2[1 – cos2 \(\frac{\pi}{3}\)]
⇒ 1 = λ2(1 – (\(\frac{1}{2}\))2)
⇒ 1 = λ2(\(\frac{3}{4}\))
⇒ λ2 = \(\frac{4}{3}\)
⇒ λ = ±\(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
⇒ λ = ± \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) என (1)-ல் பிரதியிட
\(\vec{a}\) = ± \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) (\(\vec{b}\) × \(\vec{c}\))
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.4

Question 10.
2î + ĵ – k̂ மற்றும் î + 2ĵ + k̂ஆகிய வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தை வெக்டர் பெருக்கத்தைப் பயன்படுத்திக் காண்க.
தீர்வு :
\(\vec{a}\) = 2î + ĵ – k̂
\(\vec{b}\) = î + 2ĵ + k̂
\(\vec{a}\) , \(\vec{b}\) வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ வைக் காண
\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & 1 & -1 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right|\)
= î(1 + 2) – ĵ(2 + 1) + k̂(4 – 1)
= 3î – 3ĵ + 3k̂ = 3(î- ĵ + k̂) j
|\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\)| = 3\(\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=3 \sqrt{3}\)
|\(\vec{a}\)| = \(\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1+1}\) = √6
|\(\vec{b}\)| = \(\sqrt{1^{2}+2^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{1+4+1}\) = √6

sin θ = \(\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}}\) = \(\frac{3 \sqrt{3}}{6}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
= sin \(\frac{\pi}{3}\)
∴ θ = \(\frac{\pi}{3}\)