# Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.4

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 8.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

## TN Board 11th Maths Solutions Chapter 8 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 8.4

Question 1.
$$\vec{a}$$ = 2î + ĵ + 3k̂ மற்றும் $$\vec{b}$$ = 3î + 5ĵ – 2k̂ எனில் $$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$ – ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
$$\vec{a}$$ = 2î + ĵ + 3k̂
$$\vec{b}$$ = 3î + 5ĵ – 2k̂
$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$ = (2î + ĵ + 3k̂) × (3î + 5ĵ – 2k̂)
$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$ = $$\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & -2 \end{array}\right|$$
= î(-2 – 15) – ĵ(-4 – 9) + k̂(10 – 3)
= -17î + 13ĵ + 7k̂
|$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$|= $$\sqrt{(-17)^{2}+13^{2}+7^{2}}|$$
= $$\sqrt{289+169+49}=\sqrt{507}$$

Question 2.
$$\vec{a}$$ × ($$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$) + $$\vec{b}$$ × ($$\vec{c}$$ + $$\vec{a}$$) + $$\vec{c}$$ × ($$\vec{a}$$ $$\vec{b}$$) = 0 எனக் காட்டுக.
தாவு:
LHS = $$\vec{a}$$ × ($$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$) + $$\vec{b}$$ × ($$\vec{c}$$ + $$\vec{a}$$) + $$\vec{c}$$ × ($$\vec{a}$$ $$\vec{b}$$)
= $$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$ + $$\vec{a}$$ × $$\vec{c}$$ + $$\vec{b}$$ × $$\vec{c}$$ + $$\vec{b}$$ × $$\vec{a}$$ × + $$\vec{c}$$ × $$\vec{a}$$ + $$\vec{c}$$ × $$\vec{b}$$
=
= RHS : எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

Question 3.
î + 2ĵ + k̂ மற்றும் î + 3ĵ + 4k̂ என்ற வெக்டர்கள் உள்ள தளத்திற்கு செங்குத்தாகவும் எண்ணளவு 10√3 உடைய அலகு வெக்டர்களைக் காண்க.
தீர்வு :
$$\vec{a}$$ = î + 2ĵ + k̂
$$\vec{b}$$ = î + 3ĵ + 4k̂
$$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$ வெக்டர் தளத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ள அலகு
வெக்டர் = $$\left|\begin{array}{lll} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right|$$
= î(8 – 3) – ĵ(4 – 1) + k̂(3 – 2)
= 5î – 3ĵ + k̂
|$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$|= $$\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}+1^{2}}$$
= $$\sqrt{25+9+1}=\sqrt{35}$$
∴ 10√3 எண்ணளவு கொண்ட அலகு வெக்டர்
= ± 10√3$$\left(\frac{5 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{35}}\right)$$

Question 4.
$$\vec{a}$$ = î + ĵ + k̂ மற்றும் ந் $$\vec{b}$$ = î + 2ĵ + 3k̂ எனில், $$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$ மற்றும் $$\vec{a}$$ – $$\vec{b}$$, ஆகியவற்றிற்கு தனித்தனியாக
செங்குத்தாக உள்ள வெக்டர்களைக் காண்க.
தீர்வு :
$$\vec{a}$$ = î + ĵ + k̂
$$\vec{b}$$ = î + 2ĵ + 3k̂
∴ $$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$ = 2î + 3ĵ + 4k̂
$$\vec{a}$$ – $$\vec{b}$$ = -ĵ – 2k̂
($$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$), ($$\vec{a}$$ – $$\vec{b}$$) இவற்றிக்கு செங்குத்தான அலகு வெக்டர் காண
($$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$) × ($$\vec{a}$$ – $$\vec{b}$$) = $$\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \end{array}\right|$$
= î(-6 + 4) – ĵ(-4 + 0) + k̂(-2 + 0)
= î(-2) + 4ĵ – 2k̂
= -2î + 4ĵ – 2k̂
இதன் எண்ண ளவு = ($$\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}$$
= $$\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}$$
= $$\sqrt{4 \times 6}=2 \sqrt{6}$$
∴ செங்குத்து அலகு வெக்டர் = $$\frac{(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})}{|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})|}$$
செங்குத்து அலகு வெக்டர் = ± $$\frac{1}{2 \sqrt{6}}$$ (-2î + 4ĵ – 2k̂)
= ± $$\frac{\not \mathcal{2}(-\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{\not \mathcal{2} \sqrt{6}}=\pm \frac{(-\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{\sqrt{6}}$$

Question 5.
î + 2ĵ + 3k̂ மற்றும் 3î – 2ĵ + k̂ஆகியவற்றை அடுத்தடுத்த பக்கங்களாக கொண்ட இணைகரத்தின் பரப்பளவைக் காண்க.
தீர்வு :
$$\vec{a}$$ = î + 2ĵ + 3k̂
$$\vec{b}$$ = 3î – 2ĵ + k̂
$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$ = $$\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \end{array}\right|$$

= î(2 + 6) – ĵ(1 – 9) + k̂(-2 – 6)
= î(8) – ĵ(-8) + k̂(-8)
= 8î + 8ĵ -8k̂
= 8(î + ĵ -k̂)
|$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$| = 8$$\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}$$ = 8√3
இணைகரத்தின் பரப்பு = |$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$| = 8√3 ச.அலகுகள்.

Question 6.
A(3, -1, 2), B(1, -1, -3) மற்றும் C(4, -3, 1) ஆகியவற்றை உச்சிப்புள்ளிகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் காண்க.
தீர்வு :
A(3, -1, 2), B(1, -1, -3), C(4, -3, 1) என்பன ∆ABC-யின் மூன்று உச்சிகள்
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$ = $$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$ – $$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$
= (î – ĵ – 3k̂) – (3î – ĵ + 2k̂)
= -2î – 5k̂

$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$ = $$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$ – $$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$
= (4î – 3ĵ + k̂) – (3î – ĵ + 2k̂)
= î – 2ĵ – k̂

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$ × $$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$ = $$\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 0 & -5 \\ 1, & -2 & -1 \end{array}\right|$$
= î(-10) – ĵ(2 + 5) + k̂(4)
= -10î – 3ĵ + 4k̂
|$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$ × $$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$| = $$\sqrt{(-10)^{2}+(-7)^{2}+4^{2}}$$
= $$\sqrt{100+49+16}=\sqrt{165}$$
∴ தேவையான பரப்பு = $$\frac{1}{2}$$ |$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$ × $$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$|
= $$\frac{1}{2}$$ $$\sqrt{165}$$ ச. அலகுகள்.

Question 7.
முக்கோணம் ABC ன் உச்சிப்புள்ளிகள் A, B, C -ன் நிலை வெக்டர்கள் முறையே $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$ எனில், முக்கோணம் ABC-ன் பரப்பளவ $$\frac{1}{2}$$ |$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$ + $$\vec{b}$$ × $$\vec{c}$$ + $$\vec{c}$$ × $$\vec{a}$$| நிரூபித்து, இதிலிருந்து A, B, C ஆகியவை ஒரே நேர்க்கோட்டிலமைய நிபந்தனையைக் காண்க.
தீர்வு :
∆ABC யின் உச்சிகளின் நிலைவெக்டர்கள் $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$
∴ $$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$ = $$\vec{a}$$, $$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$ = $$\vec{b}$$, $$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$ = $$\vec{c}$$

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$ = $$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$ – $$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$ = $$\vec{b}$$ – $$\vec{a}$$
$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$ = $$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$ – $$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$ = $$\vec{c}$$ – $$\vec{a}$$

∴ $$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$ × $$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$ = ($$\vec{b}$$ – $$\vec{a}$$) × ($$\vec{c}$$ – $$\vec{a}$$)
= $$\vec{b}$$ × $$\vec{c}$$ – $$\vec{b}$$ × $$\vec{a}$$ – $$\vec{a}$$ × $$\vec{c}$$ + $$\vec{a}$$ × $$\vec{a}$$
= $$\vec{b}$$ × $$\vec{c}$$ – $$\vec{b}$$ × $$\vec{a}$$ – $$\vec{a}$$ × $$\vec{c}$$ + $$\vec{0}$$

(∵ $$\vec{a}$$ × $$\vec{a}$$ = $$\vec{0}$$, $$\vec{b}$$ × $$\vec{a}$$ = -($$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$), $$\vec{a}$$ × $$\vec{c}$$ = ($$\vec{c}$$ × $$\vec{a}$$))

|$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$ × $$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$| =
|$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$ + $$\vec{b}$$ × $$\vec{c}$$ + $$\vec{c}$$ × $$\vec{a}$$|

∴ ∆ABC -யின் பரப்பு = $$\frac{1}{2}$$ |$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$ × $$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$|
= $$\frac{1}{2}$$ |$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$ + $$\vec{b}$$ × $$\vec{c}$$ + $$\vec{c}$$ × $$\vec{a}$$|

A, B, C ஒரு கோடமைப் புள்ளிகளாக இருக்க நிபந்தனை ∆-ன் பரப்பு = 0
∴ |$$\frac{1}{2}$$ |$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$ + $$\vec{b}$$ × $$\vec{c}$$ + $$\vec{c}$$ × $$\vec{a}$$| = 0
⇒ |$$\frac{1}{2}$$ |$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$ + $$\vec{b}$$ × $$\vec{c}$$ + $$\vec{c}$$ × $$\vec{a}$$| = 0 இதுவே A, B, C ஒரே கோட்டிலமைவதற்கான நிபந்தனை ஆகும்.

Question 8.
எந்த ஒரு வெக்டர் 4-க்கும்
|$$\vec{a}$$ × î|2 |latex]\vec{a}[/latex] × ĵ|2 |latex]\vec{a}[/latex] × k̂|2 = 2|$$\vec{a}$$|2 என நிரூபிக்க
தீர்வு :
$$\vec{a}$$ = a1î + a2ĵ + a3
$$\vec{a}$$ × î = (a1î + a2ĵ + a3k̂) × î
= a2(ĵ × î) + a3(k̂ × î)
= a2(-k̂) + a3ĵ = a3ĵ – a2
|$$\vec{a}$$ × î| = $$\sqrt{a_{3}^{2}+\left(-a_{2}\right)^{2}}=\sqrt{a_{3}^{2}+a_{2}^{2}}$$
= $$\sqrt{a_{3}^{2}+\left(-a_{2}\right)^{2}}=\sqrt{a_{3}^{2}+a_{2}^{2}}$$
∴ |$$\vec{a}$$ × î|2 = a32 + a22 ……….(1)

$$\vec{a}$$ × ĵ = (a1î + a2ĵ + a3k̂) × ĵ
= a1(î × ĵ) + a2(ĵ × ĵ) + a3(k̂ × ĵ)
= a1k̂ + a2(0) + a3(-î)
= a1k̂ – a3
|$$\vec{a}$$ × ĵ| = $$\sqrt{a_{1}^{2}+a_{3}^{2}}$$
∴ |$$\vec{a}$$ × ĵ|2 = a12 + a32 ………(2)

$$\vec{a}$$ × k̂ = (a1î + a2ĵ + a3k̂) × k̂
= a1(î × k̂) + a2(ĵ × k̂) + a3(k̂ × k̂)
= -a1ĵ + a2î + a3(0)
|$$\vec{a}$$ × k̂| = $$\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$$
∴ |$$\vec{a}$$ × k̂|2 = a12 + a22 …….(3)

(1), (2), (3) |$$\vec{a}$$ × î|2 |$$\vec{a}$$ × ĵ|2 |$$\vec{a}$$ × k̂|2
= a32 + a22 + a12 + a32 + a12 + a22
= 2(a12 + a22 + a32)
= 2($$\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$$) = 2|$$\vec{a}$$|2
= RHS. எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

Question 9.
$$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$ என்ற அலகுவெக்டர்களுக்கு $$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = $$\vec{a}$$ . $$\vec{c}$$ = 0 மற்றும் ந $$\vec{b}$$-க்கும் $$\vec{c}$$-க்கும் இடைப்பட்ட கோணம். $$\frac{\pi}{3}$$ எனில், $$\vec{a}$$ = ±$$\frac{2}{\sqrt{3}}(\vec{b} \times \vec{c})$$ என நிரூபிக்க.
தீர்வு :
$$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$ என்பன அலகு வெக்டர்கள்.
⇒ |$$\vec{a}$$| = |$$\vec{b}$$| = |$$\vec{c}$$| = 1
$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = $$\vec{a}$$ . $$\vec{c}$$ = 0
மற்றும் $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$ வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் $$\frac{\pi}{3}$$ எனில்
$$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$ = $$\vec{a}$$ . $$\vec{c}$$ = 0
⇒ $$\vec{a}$$ ஆனது $$\vec{b}$$ நக்கும் (க்கும் செங்குத்து
$$\vec{a}$$ ஆனது $$\vec{b}$$ × $$\vec{c}$$ க்கு செங்குத்து எனில்

⇒ $$\vec{a}$$ = λ ($$\vec{b}$$ × $$\vec{c}$$) (∵ λ ஒரு எண்ண ளவு)
∴ |$$\vec{a}$$|2 = λ2 |$$\vec{b}$$ × $$\vec{c}$$|2

⇒ $$\vec{a}$$ = λ $$\vec{b}$$ × $$\vec{c}$$ ………..(1)
⇒ 1 = λ2[|b|2 |c|2 – ($$\vec{b}$$ . $$\vec{c}$$)2]
[∵ |$$\vec{a}$$| = 1, |$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$|2 = |$$\vec{a}$$|2 |$$\vec{b}$$|2 – ($$\vec{a}$$ . $$\vec{b}$$2]

⇒ 1 = λ2[(1)(1) – |$$\vec{b}$$|2 |$$\vec{c}$$|2 cos2 $$\frac{\pi}{3}$$]
[∵ $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$ க்கு இடைப்பட்ட கோணம் $$\frac{\pi}{3}$$]

⇒ 1 = λ2[1 – cos2 $$\frac{\pi}{3}$$]
⇒ 1 = λ2(1 – ($$\frac{1}{2}$$)2)
⇒ 1 = λ2($$\frac{3}{4}$$)
⇒ λ2 = $$\frac{4}{3}$$
⇒ λ = ±$$\frac{2}{\sqrt{3}}$$
⇒ λ = ± $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ என (1)-ல் பிரதியிட
$$\vec{a}$$ = ± $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ ($$\vec{b}$$ × $$\vec{c}$$)
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

Question 10.
2î + ĵ – k̂ மற்றும் î + 2ĵ + k̂ஆகிய வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தை வெக்டர் பெருக்கத்தைப் பயன்படுத்திக் காண்க.
தீர்வு :
$$\vec{a}$$ = 2î + ĵ – k̂
$$\vec{b}$$ = î + 2ĵ + k̂
$$\vec{a}$$ , $$\vec{b}$$ வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ வைக் காண
$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$ = $$\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|$$
= î(1 + 2) – ĵ(2 + 1) + k̂(4 – 1)
= 3î – 3ĵ + 3k̂ = 3(î- ĵ + k̂) j
|$$\vec{a}$$ × $$\vec{b}$$| = 3$$\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=3 \sqrt{3}$$
|$$\vec{a}$$| = $$\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1+1}$$ = √6
|$$\vec{b}$$| = $$\sqrt{1^{2}+2^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{1+4+1}$$ = √6

sin θ = $$\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}}$$ = $$\frac{3 \sqrt{3}}{6}$$ = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
= sin $$\frac{\pi}{3}$$
∴ θ = $$\frac{\pi}{3}$$