Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.1

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 9.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.1

1 முதல் 6 வரை உள்ள கணக்குகளுக்குக் கணிப்பானைப் பயன்படுத்தி அட்டவணையைப் பூர்த்தி செய்து அதன் மூலம் எல்லை மதிப்பைக் கணக்கிடுக.

Question 1.
\(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{x^{2}-x-2}\)

தீர்வு :
\(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{x^{2}-x-2}\)
f(x) = \(\frac{x-2}{x^{2}-x-2}\)
= = \(\frac{1}{x+1}\) என்க .
அட்டவணையிலிருந்து x ஆனது 2 ஐ நெருங்கும் போது f (x) ஆனது எல்லா நிலைகளிலும் \(0 . \overline{3}\)
ஐ நெருங்குகிறது என தெளிவாகிறது.
∴ \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{x^{2}-x-2}\) = \(0 . \overline{3}\)

Question 2.
\(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{x^{2}-4}\)

தீர்வு :
இங்கு f (x) = \(\frac{x-2}{x^{2}-4}\) =
= \(\frac{1}{x+2}\)
[∵ a² – b² = (a + b) (a – b)]
அட்டவணையிலிருந்து, X ஆனது 2ஐ நெருங்கும் போது
f(x) ஆனது 0.25 (தோராயமாக) நெருங்குகிறது.
∴ \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{x^{2}-4}\) = 0.25

Question 3.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{x}\)

தீர்வு :

x 0-வை நோக்கிச் செல்ல, f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{0+3}+\sqrt{3}}=\frac{1}{2 \sqrt{3}}\) நோக்கிச் செல்கிறது.
மேலும் அட்டவணையிலிருந்து x 0வை நோக்கிச் செல்ல, எல்லா நிலைகளிலும் f (x) = 0.288 (தோராயமாக ) நோக்கிச் செல்கிறது.
∴ \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{x}\) = 0.288

Question 4.
\(\lim _{x \rightarrow-3} \frac{\sqrt{1-x}-2}{x+3}\)

தீர்வு :

மேலும் அட்டவணையிலிருந்து தெளிவாகிது, x₀ ஆனது –3 ஐ நோக்கிச் செல்ல f(x) ஆனது -0.25 (தோராயமாக) ஐ நோக்கி செல்கிறது எல்லா நிலைகளிலும்
∴ \(\lim _{x \rightarrow-3} \frac{\sqrt{1-x}-2}{x+3}\) = -0.25

Question 5.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}\)

தீர்வு :
f(x) = \(\frac{\sin x}{x}\) என்க
அட்டவணையிலிருந்து, 0 விற்கு அருகிலுள்ள மதிப்புகளுக்கு f (x) ஆனது 0.999ஐ நெருங்குகிறது.
∴ \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}\) = 0.999
∴ \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}\) ≈ 1

Question 6.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{x}\)

தீர்வு :
f(x) = \(\frac{\cos x-1}{x}\) என்க
அட்டவணையிலிருந்து தெளிவாகிறது x-ன் மதிப்பு 0வை நெருங்க, f (x)-ன் மதிப்பு 0.0004 (தோராயமாக) வை நெருங்குகிறது.

∴ \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{x}\) = 0 (தோராயமாக) 7 முதல் 15 வரை உள்ள கணக்குகளுக்கு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எல்லை மதிப்பு காண்க (உள்ளது எனில்). எல்லை மதிப்பு இல்லை எனில், காரணத்தை விளக்குக.

Question 7.
\(\lim _{x \rightarrow 3} 4-x\)
தீர்வு:

எனும் பொழுது
y = 1
\(\lim _{x \rightarrow 3} 4-x\) = 1

Question 8.
\(\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+2\right)\)
தீர்வு :

\(\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+2\right)\) = 1 x = 1
எனும் பொழுது வளைவரை y அச்சின் 3 ஐக் குறிக்கும். x = 1 எனில் y = 3
∴ \(\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+2\right)\) = 3

Question 9.
\(\lim _{x \rightarrow 2}\) இங்கு f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
\mathbf{4}-x, & x \neq 2 \\
0, & x=2
\end{array}\right.\)
தீர்வு :

x = 2 எனும் பொழுது
y = 4 – 2 = 2
∴ \(\lim _{x \rightarrow 2}\) f (x) = 2

Question 10.
\(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) இங்கு f(x) = \(\left\{\begin{array}{cl}
x^{2}+2, & x \neq 1 \\
1, & x=1
\end{array}\right.\)
தீர்வு :

x = 1 எனும் பொழுது
y = 1² + 2 = 3
∴ \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) = 3

Question 11.
\(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{1}{x-3}\)

தீர்வு :
\(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{1}{x-3}\)
x = 3 எனில், வரைபடம் x, y அச்சுக்களை சந்திப்பதில்லை
∴ எல்லை மதிப்பு இல்லை.

Question 12.
\(\lim _{x \rightarrow 5} \frac{|x-5|}{x-5}\)

தீர்வு :

\(\lim _{x \rightarrow 5} \frac{|x-5|}{x-5}\)
x = 5 எனும் பொழுது வரைபடம் y-அச்சை சந்திப்பதில்லை.
∴ எல்லை மதிப்பு இல்லை.

Question 13.
\(\lim _{x \rightarrow 1}\) sin πx
தீர்வு :

\(\lim _{x \rightarrow 1}\) sin πx எனும் பொழுது வளைவரை x- அச்சை தொடும்
∴ \(\lim _{x \rightarrow 1}\) sin πx = 0

Question 14.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) sec x

தீர்வு :

\(\lim _{x \rightarrow 0}\) sec x
x = 0 எனும் பொழுது வளைவரை y அச்சின் 1-ல் காத்தாகப்
∴ \(\lim _{x \rightarrow 0}\) sec x = 1

Question 15.
\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\) tan x

தீர்வு :

\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\) tan x = 0
x = \(\frac{\pi}{2}\) எனில் வளைவரை y அச்சைத் தொடுவதில்லை.
∴ \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\) tan x ற்கு தீர்வு இல்லை .

16, 17 கணக்குகளுக்கு f ன் வரைபடம் வரைந்து x, ன் எந்த மதிப்புகளுக்கு \(\lim _{x \rightarrow x_{0}}\) f(x) உள்ளது என்பதைக் காண்க.

Question 16.
f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
x^{2}, & x \leq 2 \\
8-2 x, & 2<x<4 \\
4, & x \geq 4
\end{array}\right.\)
தீர்வு:

x = 4 எனில் வளைவரைக்கு தீர்வு இல்லை.
∴ x = 4 ஐத் தவிர மற்ற மதிப்புகளுக்கு வளைவரைக்கு எல்லை மதிப்புள்ளது.

Question 17.
f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
\sin x, & x<0 \\ 1-\cos x, & 0 \leq x \leq \pi \\ \cos x, & x>\pi
\end{array}\right.\)
தீர்வு :
f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
\sin x, & x<0 \\ 1-\cos x, & 0 \leq x \leq \pi \\ \cos x, & x>\pi
\end{array}\right.\)

(π, 2) புள்ளி சாத்தியமில்லை. ஏனென்றால் வளைவரையின் வீச்சு (-1, 1).
x₀ = π, எனும் மதிப்பைத் தவிர மற்ற மதிப்புகளுக்கு வளைவரைக்கு எல்லை உண்டு.

Question 18.
கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை நிறைவு செய்யும் சார்பின் வரைபடம் வரைக.

(i) f(0) வரையறுக்கப்படவில்லை
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) f (x) = 4
f(2) = 6
\(\lim _{x \rightarrow 2}\) f(x) = 3

(ii) f(-2) = 0
f(2) = 0
\(\lim _{x \rightarrow 2}\) f (x) = 0,
\(\lim _{x \rightarrow 2}\) f (x) என்ற எல்லை மதிப்பு இல்லை
தீர்வு :
(i)

(ii)

Question 19.
\(\lim _{x \rightarrow 8}\) f(x) = 25 என்ற குறியீட்டு முறையின் பொருளைச் சுருக்கமாக விளக்குக.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட சார்பிற்கு எல்லை மதிப்பு உள்ளது. x → 8 என்பது x ஆனது 8ஐ நெருங்கும்பொழுது சார்பின் மதிப்பு 25ஐ பெறுகிறது. சார்பின் கீழ் (இடது எல்லை) மதிப்பு = வலது பக்க எல்லை மதிப்பு. அதாவது
\(\lim _{x \rightarrow 8^{-}}\) f (x) = \(\lim _{x \rightarrow 8^{+}}\) f (x) = 25
f(8^–) = f(8⁺) = 25 ஆகும்.

Question 20.
f(2) = 4, எனில், x-ன் மதிப்பு 2-ஐ நெருங்கும் போது f(x)-ன் எல்லை மதிப்பைப் பற்றி ஏதேனும் முடிவு செய்ய இயலுமா?
தீர்வு :
\(\lim _{x \rightarrow 2}\) f(2) = 4 என்பது சார்பின் மதிப்பு ஆதலால் X ஆனது 2ஐ நெருங்கும் போது f(x)-ன் எல்லை மதிப்பைப் பற்றி எதுவும் முடிவு செய்ய இயலாது.

Question 21.
x-ன் மதிப்பு 2-ஐ நெருங்கும் போது f(x) -ன் எல்லை மதிப்பு 4 எனில், f(2)-ஐப் பற்றி ஏதேனும் முடிவு செய்ய இயலுமா? விடைக்கான விளக்கம் தருக.
தீர்வு :
\(\lim _{x \rightarrow 2}\) f (x) = 4
சார்பு f(2)-ன் மதிப்பைப் பற்றி எதுவும் முடிவு செய்ய இயலாது. ஏனெனில் சார்பின் மதிப்பும் எப்பொழுதும் எல்லை மதிப்பிற்கு சமமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை .

Question 22.
f(3^–) மற்றும் f(3⁺) கண்டு, அவற்றின் மூலம் \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{x-3}\) -க்கு மதிப்பு இருக்குமானால் அந்த மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :

Question 23.
f(x) =\(\left\{\begin{array}{cl}
\frac{|x-1|}{x-1}, & x \neq 1 \\
0, & x=1
\end{array}\right.\) எனில் \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) -ன் மதிப்பு உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு :
f(x) =\(\left\{\begin{array}{cl}
\frac{|x-1|}{x-1}, & x \neq 1 \\
0, & x=1
\end{array}\right.\)
f(1^–) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{|x-1|}{x-1}\) = = -1
f(1⁺) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{|x-1|}{x-1}\) = = 1
f(1^–) ≠ f(1⁺), f(x) -ற்கு எல்லை மதிப்பு இல்லை