Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 9.3 Textbook Questions and Answers, Notes.
TN Board 11th Maths Solutions Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3
Question 1.
பின்வரும் சார்புகளுக்கு இடப்புற, வலப்புற எல்லைகளில் மதிப்பைக் காண்க
(a) x = -2-ல் f(x) = \(\frac{x^{2}-4}{\left(x^{2}+4 x+4\right)(x+3)}\)
(b) x = \(\frac{\pi}{2}\)-ல் f(x) = tan x
(a) x = -2-ல் f(x) = \(\frac{x^{2}-4}{\left(x^{2}+4 x+4\right)(x+3)}\)
தீர்வு :
f(x) = \(\frac{x^{2}-4}{\left(x^{2}+4 x+4\right)(x+3)}\)
f(-2–) =
= \(\lim _{x \rightarrow-2^{-}} \frac{x-2}{(x+2)(x+3)}\)
= \(\frac{-V e}{0(-V e)}\) = ∞
∴ f(-2–) → ∞ (x → -2– எனும் பொழுது )
f(-2+) =
f(-2+) = \(\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \frac{x-2}{(x+2)(x+3)}\)
= = – ∞
∴ f(-2+) → ∞ (x → -2+ எனும் பொழுது )
(b) f(x) = tan x at x = \(\frac{\pi}{2}\)
f(x) = tan x
x = \(\frac{\pi}{2}\)-ல் f(x) = tan x ஐக் காளை
\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}\) tan x = ∞
∴ \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}\) f(x) → ∞
\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}\) tan x = – ∞
∴ \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}\) f(x) → – ∞
பின்வரும் எல்லைகளின் மதிப்பைக் காண்க
Question 2.
\(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}\left(x^{2}-6 x+9\right)}\)
தீர்வு :
\(\lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x^{2}-9}{x^{2}\left(x^{2}-6 x+9\right)}\)
=
= \(\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x+3}{x^{2}(x-3)}\)
= \(\frac{6}{\not 6^{\prime}(3-3)}=-\frac{2}{0}\) = – ∞
x → 3– எனில் f (3) → – ∞
\(\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x+3}{x^{2}(x-3)}\) = ∞
Question 3.
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3}{x-2}-\frac{2 x+11}{x^{2}+x-6}\)
தீர்வு :
Question 4.
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+x}{x^{4}-3 x^{2}+1}\)
தீர்வு :
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+x}{x^{4}-3 x^{2}+1}\)
தொகுதியிலிருந்து x3, பகுதியிலிருந்து x4 ஐ வெளியில் எடுக்க
= \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{4}\left(1-\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right)}\)
= \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}{x\left(1-\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right)}=\frac{1}{\infty}\) = 0
[∵ \(\frac{1}{x}\) → 0; x → ∞]
∴ \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+x}{x^{4}-3 x^{2}+1}\) = 0
Question 5.
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}-5 x}{x^{2}-3 x+1}\)
தீர்வு :
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}-5 x}{x^{2}-3 x+1}\) = \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}\left(1-\frac{5}{x^{3}}\right)}{x^{2}\left(1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}\)
= \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}\left(1-\frac{5}{x^{3}}\right)}{\left(1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}\) = ∞
[∵ \(\frac{1}{x}\) → 0; x → ∞]
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}-5 x}{x^{2}-3 x+1}\) = ∞
Question 6.
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+x-3 x^{3}}{1+x^{2}+3 x^{3}}\)
தீர்வு :
Question 7.
\(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{3}}{2 x^{2}-1}-\frac{x^{2}}{2 x+1}\right)\)
தீர்வு :
Question 8.
நிறுவுக
(i) \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{3 n^{2}+7 n+2}=\frac{1}{6}\)
(ii) \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+2^{2}+\ldots+(3 n)^{2}}{(1+2+\ldots+5 n)(2 n+3)}=\frac{9}{25}\)
(iii) \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}=1\)
தீர்வு :
(i) \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{3 n^{2}+7 n+2}=\frac{1}{6}\)
\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{3 n^{2}+7 n+2}\) = \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{3 n^{2}+7 n+2}\)
[∵ Σn = \(\frac{n(n+1)}{2}\)]
=
= \(\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\left(3+\frac{7}{n}+\frac{2}{n^{2}}\right)}\)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{6}\) = RHS
∴ எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.
(ii) \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+2^{2}+\ldots+(3 n)^{2}}{(1+2+\ldots+5 n)(2 n+3)}=\frac{9}{25}\)
(iii) \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}=1\)
LHS = \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}\)
= \(\lim _{n \rightarrow \infty} \Sigma \frac{1}{n(n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}+n}\)
Question 9.
மீன் வள அறிவியலின் முக்கிய பிரச்சனை நீரோடைகளில் உள்ள முட்டையிடத் தகுதியான மீன்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிட்டு இந்தத் தகவலைப் பயன்படுத்தி இனப்பெருக்கக் காலத்தில் ஆற்றுக்குள் நுழையும் மீன் பிடிப்புக்குத் தகுந்த மீன்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவதாகும்.
S என்பது முட்டையிடும் நிலையில் உள்ள மீன்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் R என்பது மீன் பிடிப்புக்கு தகுந்த மீன்களின் எண்ணிக்கையாகும். “பிவர்ட்டன் ஹோல்ட்”ன் இனப்பெருக்கச் சார்பு R(S) = \(\frac{\mathbf{S}}{(\alpha \mathbf{S}+\beta)}\) பா இங்கு α β என்பன மிகை மாறிலிகள். இந்தச் சார்பு இனப்பெருக்க நிலையில் இருக்கும் மீன்களின் எண்ணிக்கை தேவையான அளவு அதிகரிக்கும் போது அறுவடைக்குத் தகுந்த மீன்களின் எண்ணிக்கை தோராயமாக மாறிலியாக அமையும் என நிறுவுக.
தீர்வு :
R(S) = \(\frac{\mathbf{S}}{(\alpha \mathbf{S}+\beta)}\)
இனப்பெருக்கம் அதிகம் வர வாய்ப்பு உள்ளதால்
நாம் lim R(S) ஐக் காண்போம்.
∴ \(\lim _{S \rightarrow \infty} R(S)=\lim _{S \rightarrow \infty} \frac{S}{\alpha S+\beta}\)
=
= \(\lim _{s \rightarrow \infty} \frac{1}{\alpha+\frac{\beta}{\mathrm{S}}}\)
[∵ S → ∞ ஆகும் பொழுது \(\frac{1}{S}\) → 0 ஆகும்]
= \(\frac{1}{\alpha+0}=\frac{1}{\alpha}\)
∴ இனப்பெருக்கச் R(S) ஆனது ஒரு மாறிலி என நிருபிக்கப்பட்டது.
Question 10.
ஒரு தொட்டியில் 5000 லிட்டர் நல்ல நீர் உள்ளது என்க. ஒரு லிட்டருக்கு 30 கி அளவு உப்பு கொண்ட உவர் நீர் 25 லி/நிமிடம் என்ற அளவில் தொட்டியில் செலுத்தப்படுகின்றது. 1 நிமிடங்களில் இந்த உவர் 30t நீரின் அடர்த்தி (கிராம் / லிட்டர்) C(t) = \(\frac{30 t}{200+t}\) என தரப்பட்டுள்ளது. 1 – 0 எனில் அடர்த்தி எவ்வாறு மாறும்?
தீர்வு :
C(t) = \(\frac{30 t}{200+t}\)
\(\lim _{t \rightarrow \infty}\) C(t) = \(\lim _{t \rightarrow \infty}\) \(\frac{30 t}{200+t}\) = \(\lim _{t \rightarrow \infty}\) \(\frac{30 t}{t\left(1+\frac{200}{t}\right)}\)
= \(\lim _{t \rightarrow \infty}\) \(\frac{30}{1+\frac{200}{t}}=\frac{30}{0+1}\) = 30
[∵ t → ∞ எனில் \(\frac{1}{t}\) → 0]
t → ∞ எனில் உவர்நீரின் அடர்த்தி 30 கிராம் ஆகும்.