Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 9.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3

Question 1.
பின்வரும் சார்புகளுக்கு இடப்புற, வலப்புற எல்லைகளில் மதிப்பைக் காண்க
(a) x = -2-ல் f(x) = \(\frac{x^{2}-4}{\left(x^{2}+4 x+4\right)(x+3)}\)
(b) x = \(\frac{\pi}{2}\)-ல் f(x) = tan x

(a) x = -2-ல் f(x) = \(\frac{x^{2}-4}{\left(x^{2}+4 x+4\right)(x+3)}\)
தீர்வு :
f(x) = \(\frac{x^{2}-4}{\left(x^{2}+4 x+4\right)(x+3)}\)
f(-2) = Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3 1
= \(\lim _{x \rightarrow-2^{-}} \frac{x-2}{(x+2)(x+3)}\)
= \(\frac{-V e}{0(-V e)}\) = ∞
∴ f(-2) → ∞ (x → -2 எனும் பொழுது )
f(-2+) = Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3 2
f(-2+) = \(\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \frac{x-2}{(x+2)(x+3)}\)
= Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3 3 = – ∞
∴ f(-2+) → ∞ (x → -2+ எனும் பொழுது )

(b) f(x) = tan x at x = \(\frac{\pi}{2}\)
f(x) = tan x
x = \(\frac{\pi}{2}\)-ல் f(x) = tan x ஐக் காளை
\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}\) tan x = ∞
∴ \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}\) f(x) → ∞

\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}\) tan x = – ∞
∴ \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}\) f(x) → – ∞
பின்வரும் எல்லைகளின் மதிப்பைக் காண்க

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3

Question 2.
\(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}\left(x^{2}-6 x+9\right)}\)
தீர்வு :
\(\lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x^{2}-9}{x^{2}\left(x^{2}-6 x+9\right)}\)
= Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3 4
= \(\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x+3}{x^{2}(x-3)}\)
= \(\frac{6}{\not 6^{\prime}(3-3)}=-\frac{2}{0}\) = – ∞
x → 3 எனில் f (3) → – ∞
\(\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x+3}{x^{2}(x-3)}\) = ∞

Question 3.
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3}{x-2}-\frac{2 x+11}{x^{2}+x-6}\)
தீர்வு :

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3 5

Question 4.
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+x}{x^{4}-3 x^{2}+1}\)
தீர்வு :
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+x}{x^{4}-3 x^{2}+1}\)
தொகுதியிலிருந்து x3, பகுதியிலிருந்து x4 ஐ வெளியில் எடுக்க

= \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{4}\left(1-\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right)}\)

= \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}{x\left(1-\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}\right)}=\frac{1}{\infty}\) = 0
[∵ \(\frac{1}{x}\) → 0; x → ∞]

∴ \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+x}{x^{4}-3 x^{2}+1}\) = 0

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3

Question 5.
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}-5 x}{x^{2}-3 x+1}\)
தீர்வு :
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}-5 x}{x^{2}-3 x+1}\) = \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}\left(1-\frac{5}{x^{3}}\right)}{x^{2}\left(1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}\)

= \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}\left(1-\frac{5}{x^{3}}\right)}{\left(1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}\) = ∞
[∵ \(\frac{1}{x}\) → 0; x → ∞]

\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}-5 x}{x^{2}-3 x+1}\) = ∞

Question 6.
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+x-3 x^{3}}{1+x^{2}+3 x^{3}}\)
தீர்வு :

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3 6

Question 7.
\(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{3}}{2 x^{2}-1}-\frac{x^{2}}{2 x+1}\right)\)
தீர்வு :

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3 7

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3

Question 8.
நிறுவுக
(i) \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{3 n^{2}+7 n+2}=\frac{1}{6}\)
(ii) \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+2^{2}+\ldots+(3 n)^{2}}{(1+2+\ldots+5 n)(2 n+3)}=\frac{9}{25}\)
(iii) \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}=1\)
தீர்வு :
(i) \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{3 n^{2}+7 n+2}=\frac{1}{6}\)
\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{3 n^{2}+7 n+2}\) = \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{3 n^{2}+7 n+2}\)
[∵ Σn = \(\frac{n(n+1)}{2}\)]
= Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3 8
= \(\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\left(3+\frac{7}{n}+\frac{2}{n^{2}}\right)}\)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{6}\) = RHS
∴ எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

(ii) \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+2^{2}+\ldots+(3 n)^{2}}{(1+2+\ldots+5 n)(2 n+3)}=\frac{9}{25}\)
Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3 9

(iii) \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}=1\)
LHS = \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}\)
= \(\lim _{n \rightarrow \infty} \Sigma \frac{1}{n(n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}+n}\)

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3 10

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3

Question 9.
மீன் வள அறிவியலின் முக்கிய பிரச்சனை நீரோடைகளில் உள்ள முட்டையிடத் தகுதியான மீன்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிட்டு இந்தத் தகவலைப் பயன்படுத்தி இனப்பெருக்கக் காலத்தில் ஆற்றுக்குள் நுழையும் மீன் பிடிப்புக்குத் தகுந்த மீன்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவதாகும்.

S என்பது முட்டையிடும் நிலையில் உள்ள மீன்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் R என்பது மீன் பிடிப்புக்கு தகுந்த மீன்களின் எண்ணிக்கையாகும். “பிவர்ட்டன் ஹோல்ட்”ன் இனப்பெருக்கச் சார்பு R(S) = \(\frac{\mathbf{S}}{(\alpha \mathbf{S}+\beta)}\) பா இங்கு α β என்பன மிகை மாறிலிகள். இந்தச் சார்பு இனப்பெருக்க நிலையில் இருக்கும் மீன்களின் எண்ணிக்கை தேவையான அளவு அதிகரிக்கும் போது அறுவடைக்குத் தகுந்த மீன்களின் எண்ணிக்கை தோராயமாக மாறிலியாக அமையும் என நிறுவுக.
தீர்வு :
R(S) = \(\frac{\mathbf{S}}{(\alpha \mathbf{S}+\beta)}\)
இனப்பெருக்கம் அதிகம் வர வாய்ப்பு உள்ளதால்
நாம் lim R(S) ஐக் காண்போம்.
∴ \(\lim _{S \rightarrow \infty} R(S)=\lim _{S \rightarrow \infty} \frac{S}{\alpha S+\beta}\)
= Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3 11
= \(\lim _{s \rightarrow \infty} \frac{1}{\alpha+\frac{\beta}{\mathrm{S}}}\)
[∵ S → ∞ ஆகும் பொழுது \(\frac{1}{S}\) → 0 ஆகும்]
= \(\frac{1}{\alpha+0}=\frac{1}{\alpha}\)
∴ இனப்பெருக்கச் R(S) ஆனது ஒரு மாறிலி என நிருபிக்கப்பட்டது.

Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.3

Question 10.
ஒரு தொட்டியில் 5000 லிட்டர் நல்ல நீர் உள்ளது என்க. ஒரு லிட்டருக்கு 30 கி அளவு உப்பு கொண்ட உவர் நீர் 25 லி/நிமிடம் என்ற அளவில் தொட்டியில் செலுத்தப்படுகின்றது. 1 நிமிடங்களில் இந்த உவர் 30t நீரின் அடர்த்தி (கிராம் / லிட்டர்) C(t) = \(\frac{30 t}{200+t}\) என தரப்பட்டுள்ளது. 1 – 0 எனில் அடர்த்தி எவ்வாறு மாறும்?
தீர்வு :
C(t) = \(\frac{30 t}{200+t}\)
\(\lim _{t \rightarrow \infty}\) C(t) = \(\lim _{t \rightarrow \infty}\) \(\frac{30 t}{200+t}\) = \(\lim _{t \rightarrow \infty}\) \(\frac{30 t}{t\left(1+\frac{200}{t}\right)}\)
= \(\lim _{t \rightarrow \infty}\) \(\frac{30}{1+\frac{200}{t}}=\frac{30}{0+1}\) = 30
[∵ t → ∞ எனில் \(\frac{1}{t}\) → 0]
t → ∞ எனில் உவர்நீரின் அடர்த்தி 30 கிராம் ஆகும்.