Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.5

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் naசார்புகள் Ex 9.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 11th Maths Solutions Chapter 9 கணங்கள், தொடர்புகள் மற்றும் சார்புகள் Ex 9.5

Question 1.
f(x) = 2x² + 3x – 5 R-ன் எல்லா புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியானது என நிறுவுக.
தீர்வு :
f(x) = 2x² + 3x – 5
ஒரு இயற்கணித சார்பு, பல்லுறுப்புச் சார்பு இச்சார்பு R-மெய்யெண்கள் தொகுப்பில் தொடர்ச்சி யானது என்பதால் f(x)-ம் R தொடர்ச்சியானது.

Question 2.
பின்வருவனவற்றின் தொடர்ச்சித் தன்மையை ஆராய்க .
(i) x + sin x
(ii) x² cos x
(iii) e^x tan x
(iv) e^2x + x²
(v) x.inx
(vi) \(\frac{\sin x}{x^{2}}\)
(vii) \(\frac{x^{2}-16}{x+4}\)
(viii) |x + 2| + |x – 1|
(ix) \(\frac{|x-2|}{|x+1|}\)
(x) cot x + tan x
தீர்வு :
(i) x + sin x
f(x) = x + sin x என்க. பல்லுறுப்பு இயற்கணிதச் சார்பு R-ல் தொடர்ச்சியானது. மேலும் வட்டச்சார்பு sin x- ம் x ∈ IR -ல் தொடர்ச்சியானது.

(ii) x² cos x
f(x) = x² cos x இதில் x² ஆனது R-ல் தொடர்ச்சியானது. வட்டச்சார்பு cos x -ம் R-ல் தொடர்ச்சியானது.
f(x) = x² cos x -ம் x ∈ R-ல் தொடர்ச்சியானது.

(iii) f(x) = e^x tan x என்க.
e^x -ஆனது R-ல் தொடர்ச்சியானது. tan x-ஆனது \(\frac{\pi}{2}\)-ன் ஒற்றைப்படை மடங்குகளுக்கு R-ல் தொடர்ச்சியற்றது.
∴ f(x) = e^x tan x ஆனது \(\frac{\pi}{2}\)-ன் ஒற்றைப்படை மடங்குகளுக்கு R-ல் தொடர்ச்சியற்றது.

(iv) f(x) = e^2x + x² என்க .
படிக்குறிச்சார்பு f(x) = e^x, R-ன் எல்லா புள்ளிகளுக்கு, தொடர்ச்சியானது. மேலும் x² என்ற பல்லுறுப்புக்கோவை R-ன் எல்லா புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியானது.
∴ f(x) = e^2x + x² ஆனது R-ன் எல்லா புள்ளி களிலும் தொடர்ச்சியானது.

(v) f(x) = x. In(x)
பல்லுறுப்புக்கோவை x ஆனது R-ல் தொடர்ச்சியானது. ஆனால் மடக்கைச் சார்பு Inx ஆனது (x > 0), (0, ∞)-ல் தொடர்ச்சியானது.
∴ f(x) = x In (x) ஆனது (0, ∞)-ல் தொடர்ச்சியானது.

(vi) f(x) = \(\frac{\sin x}{x^{2}}\)
f(x) = x ஆனது x = 0 -ல் வரையறுக்கப்படவில்லை. ஆனால் sin x ஆனது R-ல் உள்ள எல்லா புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியானவை .
∴ f(x) ஆனது R -{0} -ல் தொடர்ச்சியானது.

(vii) f(x) = \(\frac{x^{2}-16}{x+4}\)
பல்லுறுப்புக் கோவை R-ன் எல்லா புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியானது. இருப்பினும் f(x) ஆனது x=-4-ல் வரையறுக்கப்படவில்லை.
∴ f(x) = \(\frac{x^{2}-16}{x+4}\) ஆனது R – {-4} -ல் தொடர்ச்சியானது.

(viii) f(x) = |x + 2| + |x – 1|
மட்டுச்சார்பு R-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் தொடர்ச்சியானது.

(ix) f(x) = \(\frac{|x-2|}{|x+1|}\)
மட்டுச்சார்பு R-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் தொடர்ச்சியானது. ஆனால் x = -1 -ல் வளை வரை அமையாது. எனவே f(x)-ஆனது
R – (-1) -ல் மட்டுமே தொடர்ச்சியானது.

(x) f(x) = cot x + tan x
cotx ஆனது -ன் மடங்குகளிலும் tanx ஆனது (2n+1)\(\frac{\pi}{2}\)-லும் தொடர்ச்சியற்றது.
∴ f(x) = cot x + tan x ஆனது (2n+1)\(\frac{\pi}{2}\) + \(\frac{\pi}{2}\) -ல் உள்ள புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியற்றது. ⇒ f(x)ஆனது R – \(\frac{n \pi}{2}\),n∈ Z-ல் தொடர்ச்சியானது.

Question 3.
பின்வரும் சார்புகளுக்குத் தொடர்ச்சித் தன்மையைக் கொடுக்காத புள்ளிகளைக் காண்க.
(i) f(x) =\(\left\{\begin{array}{ll}
4 x+5, & x \leq 3 \\
4 x-5, & x>3
\end{array}\right.\)

(ii) f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
x+2, & x \geq 2 \\
x^{2}, & x<2 \end{array}\right.\) (iii) f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll} x^{3}-3, & x \leq 2 \\ x^{2}+1, & x>2
\end{array}\right.\)

(iv) f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
\sin x, & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} \\
\cos x, & \frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2} \end{array}\right.\) தீர்வு : (i) fx) =\(\left\{\begin{array}{ll} 4 x+5, & x \leq 3 \\ 4 x-5, & x>3
\end{array}\right.\)\(\lim _{x \rightarrow 3^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 3^{-}}\)(4x + 5)
= 4(3) + 5 = 17

\(\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\) (4x – 5)
= 12 – 5 = 7

\(\lim _{x \rightarrow 3^{-}}\) f(x) ≠ \(\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\) f(x)
∴ f(x) ஆனது x = 3-ல் தொடர்ச்சியற்றது.

(ii) f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
x+2, & x \geq 2 \\
x^{2}, & x<2
\end{array}\right.\)

\(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) x² = 2² = 4

\(\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\) x + 2 = 2 + 2 = 4
Also f(2) = x + 2 = 2 + 2 = 4
∴ \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\) f(x) = f(2) = 4
∴ f(x) ஆனது R-ல் உள்ள எல்லா புள்ளிகளுக்கும் தொடர்ச்சியானது.

(iii) f(x) = f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
x^{3}-3, & x \leq 2 \\
x^{2}+1, & x>2
\end{array}\right.\)

\(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\)(x³ – 3) = 8 – 3 = 5

\(\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\) x² + 1 = 4 + 1 = 5

மேலும் f(2) = x³ – 3 = 2³ – 3 = 8 – 3 = 5
∴ \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\) f(x) = f(2) = 5
∴ f(x) ஆனது R-ன் எல்லா புள்ளிகளுக்கும், தொடர்ச்சியானது.

(iv) f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
\sin x, & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} \\
\cos x, & \frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}
\end{array}\right.\)

\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{4}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{4}}\) cos x = cos \(\frac{pi}{4}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{-}}{4}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{-}}{4}}\) sin x = sin \(\frac{pi}{4}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
மேலும், f(\(\frac{pi}{4}\)) = sin \(\frac{pi}{4}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

∴ \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{4}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{-}}{4}}\) f(x) = f(\(\frac{pi}{4}\)) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ ஆனது (0, \(\frac{pi}{2}\))-ல் தொடர்ச்சியானது.

Question 4.
கொடுக்கப்பட்ட சார்புக்குக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி x₀-இல் தொடர்ச்சியானதா அல்லது தொடர்ச்சியற்றதா எனக் காரணத்துடன் கூறுக.
(i) x₀ = 1, f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
\frac{x^{2}-1}{x-1}, & x \neq 1 \\
2, & x=1
\end{array}\right.\)

(ii) x₀ = 3, f(x) = \(\left\{\begin{array}{cl}
\frac{x^{2}-9}{x-3}, & x \neq 3 \\
5, & x=3
\end{array}\right.\)
தீர்வு :
(i) f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
\frac{x^{2}-1}{x-1}, & x \neq 1 \\
2, & x=1
\end{array}\right.\)

\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) \(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)
=
= \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) x + 1 = 1 + 1 = 2
\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) x + 1 = 2
f(1) = 2
∴ \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) f(x) = f(1) = 2
∴ f(x) ஆனது x₀ = 1-ல் தொடர்ச்சியானது.

(ii) f(x) = \(\left\{\begin{array}{cl}
\frac{x^{2}-9}{x-3}, & x \neq 3 \\
5, & x=3
\end{array}\right.\)

\(\lim _{x \rightarrow 3^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) \(\frac{x^{2}-9}{x-3}\)
=
= \(\lim _{x \rightarrow 3^{-}}\) x + 3 = 6
ஆனால் f (3) = 5
∴ \(\lim _{x \rightarrow 3^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\) f (x) ≠ f(3)
∴ f(x)ஆனது x₀ = 3 -ல் தொடர்ச்சியானது.

Question 5.
\(\left\{\begin{array}{cl}
\frac{x^{3}-1}{x-1}, & x \neq 1 \\
3, & x=1
\end{array}\right.\) என்ற சார்பு (-∞, ∞)-இல் 3, x=1 தொடர்ச்சியானது எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
f(x) = \(\left\{\begin{array}{cl}
\frac{x^{3}-1}{x-1}, & x \neq 1 \\
3, & x=1
\end{array}\right.\)

\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) \(\frac{x^{3}-1}{x-1}\)
=
= \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) (x² + x + 1) = 3
\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) (x² + x + 1)
\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) f (x) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) f(x) = f (1)= 3
∴ f(x)ஆனது (-∞, ∞)-ல் தொடர்ச்சியானது.

Question 6.
f (x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
\frac{x^{4}-1}{x-1}, & x \neq 1 \\
\alpha, & x=1
\end{array}\right.\) என வரையறுக்கப்பட்ட x = 1 சார்பில் x = 1-இல் சார்பு தொடர்ச்சியானது எனில் -ன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
\frac{x^{4}-1}{x-1}, & x \neq 1 \\
\alpha, & x=1
\end{array}\right.\)

\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) f(x) = \(\frac{x^{4}-1}{x-1}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) \(\frac{\left(x^{2}\right)^{2}-1^{2}}{x-1}\)
= \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) \(\frac{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-1\right)}{x-1}\)
=
= (2) (2) = 4

\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) α =
\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) α= \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) (x² + 1) (x + 1) = 4
\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) α = 4
f(x) ஆனது x = 1, ஒரு பக்க எல்லை = சார்பின் மதிப்பு.
∴ f(1) = α = 4
∴ α = 4

Question 7.
f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
0, & x<0 \\
x^{2}, & 0 \leq x<2 \\
4, & x \geq 2
\end{array}\right.\), என்ற சார்பின் வளைவரையை வரைக. இச்சார்பு (- 0, )-ல் தொடர்ச்சியானது என நிறுவுக.
தீர்வு :
f (x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
0, & x<0 \\
x^{2}, & 0 \leq x<2 \\
4, & x \geq 2
\end{array}\right.\)

\(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) x² = 4
\(\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\) 4 = 4
மற்றும் f(2) = 4
∴ \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\) f (x) = \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\) f (x) = f(2) = 4 ஃ ∴ f(x) ஆனது (-∞, ∞)-ல் தொடர்ச்சியானது.

Question 8.
f மற்றும் g தொடர்ச்சியான சார்புகள் மேலும் f(3) = 5 மற்றும் \(\lim _{x \rightarrow 3}\)[2 f (x) – g(x)] = 4, எனில் g(3)-ஐக் காண்க.
தீர்வு :
\(\lim _{x \rightarrow 3}\)[(2f (x) – g(x)] = 4
f(3) = 5
⇒ \(\lim _{x \rightarrow 3}\) 2 . f (x) – \(\lim _{x \rightarrow 3}\) g(x) = 4
⇒ 2. f(3) – g(3) = 4 [∵ f(x), g(x) தொடர்ச்சியான சார்பு]
⇒ 2(5) – g(3) = 4
⇒ 10 – g(3) = 4
⇒ -g(3) = 4 – 10
⇒ -g(3) = -6
⇒ g(3) = 6

Question 9.
சார்பு தொடர்ச்சியற்றதாக உள்ள புள்ளிகளைக் காண்க. இந்தப் புள்ளிகளில் எந்தப் புள்ளிகளுக்கு f-க்கு வலப்பக்கத் தொடர்ச்சி, இடப்பக்கத் தொடர்ச்சி மற்றும் எதுவுமில்லை என உள்ளதைக் காண்க. f -ன் வளைவரையை வரைக.
(i) f (x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
2 x+1, & x \leq-1 \\
3 x, & -1<x<1 \\
2 x-1, & x \geq 1
\end{array}\right.\)

(ii) f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
(x-1)^{3}, & x<0 \\
(x+1)^{3}, & x \geq 0
\end{array}\right.\)
தீர்வு :
\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) f (x) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) 3x = 3
\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) f (x) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) 2x – 1 = 2 – 1 = 1
\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) f(x)
f(1) = (2x – 1) = 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1
∴ f(x) ஆனது x = 1-ல் தொடர்ச்சியானது.

(ii) f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
(x-1)^{3}, & x<0 \\
(x+1)^{3}, & x \geq 0
\end{array}\right.\)

\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\) (x – 1)³ = (-1)³ = -1
\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) (x + 1)³ = 1³ = 1
f(0) = (x + 1)³ = 1³ = 1
∴ \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\) f(x) = f(0)

Question 10.
f பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது:
f(x) = \(\left\{\begin{array}{rr}
0 . & x<0 \\
x, & 0 \leq x<1 \\
-x^{2}+4 x-2, & 1 \leq x<3 \\
4-x, & x \geq 3
\end{array}\right.\) இந்தச் சார்பு தொடர்ச்சியானதா?
தீர்வு :
\(\left\{\begin{array}{rr}
0 . & x<0 \\
x, & 0 \leq x<1 \\
-x^{2}+4 x-2, & 1 \leq x<3 \\
4-x, & x \geq 3
\end{array}\right.\)
(i) x = 0 எனும் புள்ளியில்
\(\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\) 0 = 0
\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\) f(x) = x = 0 மற்றும் f (0) = x = 0
\(\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\) f(x) = f(0) = 0
∴ f(x) ஆனது x = 0 -ல் தொடர்ச்சியானது.

(ii) x = 1 என்னும் புள்ளியில்
\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) f (x) = x = 1
\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) f(x) = -x² + 4x – 2 = -1 + 4- 2 = 4 – 3= 1
f(1) = -x² + 4x – 2 = -1 + 4 – 2 = 1
\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\) f (x) = \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\) f (x) = (1) = 1
∴ f(x) ஆனது x = 1 -ல் தொடர்ச்சியானது.

(iii) x = 3 எனும் புள்ளியில்
\(\lim _{x \rightarrow 3^{-}}\) f (x) = \(\lim _{x \rightarrow 3^{-}}\) – x² + 4x – 2
= – (3)² + 4(3) – 2
= -9 + 12 – 2 = 1

\(\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\) f (x) = \(\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\) 4 – x = 4 – 3 = 1
f(3) = 4 – 3 = 1| .
∴ \(\lim _{x \rightarrow 3^{-}}\) f (x) = \(\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\) f(x) = f (3) = 1
∴ f(x) ஆனது x= 3 -ல் தொடர்ச்சியானது.

Question 11.
பின்வரும் சார்புகளில் எவற்றுக்கு x = x₀ ல் நீக்கக் கூடிய தொடர்ச்சியற்ற தன்மை உள்ளது எனக் காண்க? தொடர்ச்சியற்ற தன்மை இருக்குமானால், f -ன் x ≠ x₀ -க்கு ஏற்றவாறு R-இல் தொடர்ச்சியாக இருக்குமாறு g என்ற சார்பைக் காண்க.
(i) f(x) = \(\frac{x^{2}-2 x-8}{x+2}\), x₀ = -2
(ii) f(x) = \(\frac{x^{3}+64}{x+4}\), x₀ = -4
(iii) f(x) = \(\frac{3-\sqrt{x}}{9-x}\), x₀ = 9
தீர்வு:
f(x) = \(\frac{x^{2}-2 x-8}{x+2}\), x₀ = -2
f(x) ஆனது x =-2-ல் அமையாது.
∴ இதற்கு x=- 2 – ல் நீக்கக் கூடிய தொடர்ச்சியற்ற தன்மை உள்ளது.
\(\lim _{x \rightarrow-2}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow-2}\) \(\frac{x^{2}-2 x-8}{x+2}\)

\(\lim _{x \rightarrow-2}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow-2}\) \(\frac{(x-4)(x+2)}{(x+2)}\)
= \(\lim _{x \rightarrow-2}\) x – 4 = -2 -4 = -6
∴ g(x) ஓர் தொடர்ச்சியான சார்பு

g(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
\frac{x^{2}-2 x-8}{x+2} & , x \neq-2 \\
-6, & x=-2
\end{array}\right.\) என எழுதலாம்.

(ii) f(x) = \(\frac{x^{3}+64}{x+4}\)
x = – 4 -ல் சார்பு அமையாது.
∴ f(x) ஆனது x = -4 -ல் நீக்கக் கூடிய தொடர்ச்சியற்ற தன்மை பெற்றுள்ளது.
\(\lim _{x \rightarrow-4}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow-4}\) \(\frac{x^{3}+64}{x+4}\)
= \(\lim _{x \rightarrow-4}\) \(\frac{(x+4)\left(x^{2}-4 x+16\right)}{(x+4)}\)
= \(\lim _{x \rightarrow-4}\) x² – 4x + 16
= (-4)² -4(-4) + 16
= 16 + 16 + 16 = 48
∴ தொடர்ச்சியான சார்பு g(x) ஆனது.
g(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
\frac{x^{3}+64}{x+4} & , x \neq-4 \\
48 & , x=-4
\end{array}\right.\) என எழுதலாம்.

(iii) f(x) = \(\frac{3-\sqrt{x}}{9-x}\)
x = 9 -ல் வளைவரை அமையாது.
∴ f(x) ஆனது x = 9 -ல் நீக்கக்கூடிய தொடர்ச்சியற்ற தன்மையை பெற்றுள்ளது.
\(\lim _{x \rightarrow 9}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 9}\) \(\frac{3-\sqrt{x}}{9-x}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 9}\) \(\frac{(3-\sqrt{x})}{(3+\sqrt{x})(3-\sqrt{x})}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 9}\) \(\frac{1}{(3+\sqrt{x})}=\frac{1}{3+\sqrt{9}}\)
= \(\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}\)
தொடர்ச்சியற்ற புள்ளியை நீக்கியபின் தொடர்ச்சியான சார்பு g(x) ஆனது.
g(x) = \(\left\{\begin{array}{cl}
\frac{3-\sqrt{x}}{9-x} & , x \neq 9 \\
\frac{1}{6} & , x=9
\end{array}\right.\) என எழுதலாம்.

Question 12.
g(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
x^{2}-b^{2} & ; x<4 \\
b x+20 & ; x \geq 4
\end{array}\right.\) என்ற சார்பு (-∞, ∞) ல் தொடர்ச்சியானது எனில் மாறிலி ந -ஐக் காண்க.
தீர்வு :
g(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}
x^{2}-b^{2} & ; x<4 \\
b x+20 & ; x \geq 4
\end{array}\right.\)

\(\lim _{x \rightarrow 4^{-}}\) g(x) = \(\lim _{x \rightarrow 4^{-}}\) x² – b²
= 4² – b² = 16 – b² …………(1)
\(\lim _{x \rightarrow 4^{+}}\) g(x) = \(\lim _{x \rightarrow 4^{+}}\) bx + 20
= b(4) + 20 …………. (2)
g(4) = bx + 20
= b(4) + 20 …………..(3)
g(x) ஆனது (-∞, ∞)ல் தொடர்ச்சியானது என்பதால்
\(\lim _{x \rightarrow 4^{-}}\) g(x) = \(\lim _{x \rightarrow 4^{-}}\) g(x) = g(4)
(1), (2), (3)
16 – b² = 4b + 20
⇒ b² + 4b + 4 = 0
⇒ (b + 2) (b + 2) =0
⇒ (b + 2)² = 0
⇒ b + 2 = 0
⇒ b = -2

Question 13.
f(x) = x sin \(\frac{\pi}{x}\) என்க. f(0) ன் எந்த மதிப்புக்கு எல்லா இடங்களிலும் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்?
தீர்வு :
f(x) = x sin \(\frac{\pi}{x}\)
-x ≤ x sin \(\frac{\pi}{x}\) ≤ x
g(x) = -x, f(x) =x sin \(\frac{\pi}{x}\)
h(x) = x
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) g(x) = 0, \(\lim _{x \rightarrow 0}\) h(x) = 0
இடையீட்டுத் தேற்றத்தின்படி
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) x sin \(\frac{\pi}{x}\) = 0 = f(0)
⇒ f(0) = 0
f(x) தொடர்ச்சியானதாக இருக்க வேண்டும் எனில்
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) x sin \(\frac{\pi}{x}\) = 0 = f(0)
⇒ f(0) = 0

Question 14.
f(x) = \(\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}\) என்ற சார்பு x = 1-ல் வரையறுக்கப் படவில்லை f(1)-ன் எந்து மதிப்பிற்கு x = 1-ல் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்?
தீர்வு:
f(x) = \(\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}\)
f(x) ஆனது x= 1-ல் வரையறுக்கப்படவில்லை .
∴ \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 1}\) \(\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 1}\) \(\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 1}\) \(\frac{x+1}{x^{2}+x+1}\)

= \(\frac{1+1}{1+1+1}=\frac{2}{3}\)
x = 1 -ல் f(x) தொடர்ச்சியானதாக இருக்க,
\(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) = f (1) = \(\frac{2}{3}\)
⇒ f(x) = \(\frac{2}{3}\)

Question 15.
பின்வரும் வளைவரைகளுக்கு x = x₀ -ல் எவ்வாறு தொடர்ச்சியற்று உள்ளது எனக்கூறுக?

(a)

(b)

(c)

(d)
தீர்வு :
(a) இடது பக்க எல்லையும் வலது பக்க எல்லையும் x = x₀ -ல் சமமாக இல்லை .
(b) x = x₀ f(x) -ன் சார்பு வரையறுக்கப்படவில்லை .
∴ x = x₀ -ல் தொடர்ச்சியற்றதாய் அமையும்.
(c) x = x₀ -ல் f(x) ன் எல்லை அமையாது.
(d) x = x₀ -ல் இடதுபக்க எல்லையும் வலது பக்க எல்லையும் சமமாக இல்லை.