# Samacheer Kalvi 12th Maths Solutions Chapter 2 Complex Numbers Ex 2.3

## Tamilnadu Samacheer Kalvi 12th Maths Solutions Chapter 2 Complex Numbers Ex 2.3

Question 1.
If z1 = 1 – 3i, z2 = -4i, and z3 = 5, show that
(i) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
(ii) (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)
Solution:
(i) z1 = 1 – 3i, z2 = -4i, z3 = 5
(z1 + z2) + z3
= (1 – 3i – 4i) + 5
= (1 – 7i) + 5
= 6 – 7i …… (1)
z1 + (z2 + z3)
= (1 – 3i) + (-4i + 5)
= 6 – 7i ……. (2)
from (1) & (2) we get
∴ (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

(ii) (z1 z2) z3 = [(1 – 3i) (-4i]5
= [-4i + 12 i2]5
= [-12 – 4i] 5
= -60 – 20i ……. (1)
z1 (z2 z3) = (1 – 3i)[(-4i)(5)]
= (-20i + 60 i2)
= -20i – 60 ……. (2)
from (1) & (2) we get
∴ (z1 z2)(z3) = z1 (z2 z3)

Question 2.
If z1 = 3, z2 = -7i, and z3 = 5 + 4i, show that
(i) z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
(ii) (z1 z2) z3 = z1 z3 + z2 z3
Solution:
(i) z1 = 3, z2 = -7i, z3 = 5 + 4i
z1 (z2 + z3) = 3 (-7i + 5 + 4i)
= 3 (5 – 3i)
= 15 – 9i …… (1)
z1 z2 + z1 z3 = 3 (-7i) + 3 (5 + 4i)
= -21i + 15 + 12i
= 15 – 9i …… (2)
from (1) & (2), we get
∴ z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3

(ii) (z1 + z2) z3 = (3 – 7i) (5 + 4i)
= 15 + 12i – 35i – 28 i2
= 15 – 23i + 28
= 43 – 23i ……. (1)
z1 z3 + z2 z3 = 3(5 + 4i) – 7i(5 + 4i)
= 15 + 12i – 35i – 28 i2
= 15 – 23i + 28
= 43 – 23i ….. (2)
from (1) & (2), we get
∴ (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3

Question 3.
If z1 = 2 + 5i, z2 = -3 – 4i, and z3 = 1 + i, find the additive and multiplicative inverse of z1, z2, and z3.
Solution:
z1 = 2 + 5i
(а) Additive inverse of z1 = -z1 = -(2 + 5i) = -2 – 5i
(b) Multiplicative inverse of
$$z_{1}=\frac{1}{z_{1}}=\frac{1}{2+5 i} \times \frac{2-5 i}{2-5 i}=\frac{(2-5 i)}{4+25}=\frac{2-5 i}{29}$$

z2 = -3 – 4i
(a) Additive inverse of z2 = -z2 = -(-3 – 4i) = 3 + 4i
(b) Multiplicative inverse of
$$z_{2}=\frac{1}{z_{2}} \frac{1}{-3-4 i} \times \frac{-3+4 i}{-3+4 i}=\frac{-3+4 i}{9+16}=\frac{-3+4 i}{25}$$

z3 = 1 + i
(а) Additive inverse of z3 = -z3 = -(1 + i) = -1 – i
(b) Multiplicative inverse of
$$z_{3}=\frac{1}{z_{3}} \frac{1}{1+i} \times \frac{1-i}{1-i}=\frac{1-i}{2}$$

### Samacheer Kalvi 12th Maths Solutions Chapter 2 Complex Numbers Ex 2.3 Additional Problems

Question 1.
If z1 = 4 – 7i, z2 = 2 + 3i and z3 = 1 + i show that.
(i) z1 + (z2 + z3) = (Z1 + z2) + Z3
(ii) (Z1 z2) z3 = Z1 (z2 z3)
Solution:
(i) Z1 + (z2 + z13) = 4 – 7i + (2 + 3i + 1 + i) = 4 – 7i + (3 + 4i) = 7 – 3i
(z1 + z2) + z3 = (4 – 7i + 2 + 3i) + (1 + i) = (6 – 4i) + (1 + i)
= 7 – 3i …(2)
From (1) and (2) we get, z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

(ii) (z1z2) z3 = (4 – 7i) + (2 + 3i) (1 + i) = (8 + 12i – 14 i + 21) (1 + i)
= (29 – 2i)(1 + i) = 29 + 29i – 2i + 2
= 31 + 27i ….(1)
Z1 (z2z3) = (4 – 7i) [(2 + 3i) (1 + i)] = 4 – 7i [2 + 2i + 3i – 3]
= 4 – 7i[5i – 1] = 20i – 4 + 35 + 7i
= 31 + 27i …(2)
From (1) and (2) we get, (Z1Z2) z3 = z1 (z2z3)

Question 2.
Given z1 = 1 + i, z2 = 4 – 3i and z3 = 2 + 5i verify that.
Z1(Z2 Z3) = Z1 Z2 – z1z3
Solution:
Z1 = 1 + i,
z2 = 4 – 3i,
z3 = 2 + 5i
Z1 (z2 – z3) = 1 + i[(4 – 3i) – (2 + 5i)] = 1 + i[2 – 8i] = 2 – 8i + 2i + 8
= 10 – 6i …(1)
Z1 z2 = (1 + i) (4 – 3i) = 4 – 3i + 4i + 3 = 7 + i
Z1Z3= (1 + i) (2 + 5i) = 2 + 5i + 2i – 5 = 7i – 3
Z1Z2 – Z1 z3 = 7 + i – (7i – 3) = 7 + i – 7i + 3
= 10 – 6i …(2)
From (1) and (2) we get, Z1 (z2 – z3) = z1 z2 – z1 z3

Question 3.
Given z1 = 4 – 7i and z2 = 5 + 6i find the additive and multiplicative inverse of z1 + z2 and Z1 – Z2.
Solution:
Z1 = 4 – 7i, z2 = 5 + 6i
Z1 + z2 = 4 – 7i + 5 + 6i = 9 + i
Additive inverse of z1 + z2 = – (z1 + z2) = – (9 – i) = i – 9